帶跳的McKean-Vlasov隨機微分方程解的存在唯一性

王 如， 馬 麗，2*

（1.海南師范大學 數學與統計學院，海南 海口 571158；2.海南師范大學 海南省數學研究中心，海南 海口 571158）

隨機模型在很多科學和工程的分支中起著重要的作用，例如隨機控制、自動化、生物數學、濾波等。隨機微分方程本質上是帶有隨機項和隨機系數的偏微分方程，若隨機微分方程的系數依賴于分布，則稱之為McKean-Vlasov 隨機微分方程，又稱為分布依賴的隨機微分方程或Mean-field隨機微分方程，該方程最早出現在文獻[1-2]中。研究該方程的困難之處在于系數依賴于測度，因此隨機微分方程經典的方法不能用，例如，在研究解的存在唯一性時要考慮測度空間及合適的度量。此外，該方程可看作交互粒子的極限，由于粒子有交互作用，因此蒙特卡洛方法不適用，研究該方程具有一定的挑戰性。

目前已有大量文獻研究了由布朗運動驅動的McKean-Vlasov隨機微分方程解的存在唯一性。在系數連續、局部有界、局部Lyapunov條件下，文獻[3]用了局部化的方法得到了D?Rd上的McKean-Vlasov隨機微分方程的弱解的存在唯一性，此外，在全局Lyapunov條件下得到了弱解的唯一性。當擴散系數是非退化的，漂移系數和擴散系數關于空間變量滿足某些可積性條件，關于測度變量滿足Lipschitz 條件時，文獻[4]得到了強解的存在唯一性。當系數關于測度變量在弱收斂的拓撲下連續，關于空間變量滿足線性增長條件、擴散系數非退化條件下，通過對分布迭代，文獻[5]得到了弱解的存在唯一性。在方程系數關于空間變量滿足線性增長，擴散矩陣一致非退化條件下，文獻[6]通過系數光滑化、Krylov估計、矩的估計及Skorokhod表示定理得到了弱解的存在性。文獻[7]在系數為有界且聯合連續，擴散項為非退化的條件下，得到了帶有公共噪音的McKean-Vlasov隨機微分方程弱解的存在唯一性。

關于帶跳測度的McKean-Vlasov隨機微分方程解的正則性方面的文獻不多。在擴散系數與漂移系數均是有界的且滿足全局Lipschitz 條件，跳測度的系數滿足線性增長條件且有界的條件下，文獻[8]得到了解的存在唯一性。文獻[9]研究了由α-stable過程驅動的McKean-Vlasov 隨機微分方程。在α-stable項的系數為1，漂移系數有界、關于測度滿足Lipschitz連續、關于空間變量滿足H?lder連續的條件下，借助于Krylov估計、Prohov定理及Skorohod表示定理得到了弱解的存在性，再由逐軌道唯一性得到強解的存在唯一性。文獻[10]在方程系數滿足全局Lipschitz條件和線性增長條件下得到了由Lévy過程驅動的McKean-Vlasov隨機微分方程解的存在唯一性，并證明了It?公式。

本研究考慮了帶跳測度的McKean-Vlasov 隨機微分方程的解的存在唯一性，在系數滿足連續性及局部有界性的條件下，用局部化的方法，結合It?公式、弱收斂、Skorohod表示定理等工具，得到了弱解的存在唯一性。本研究創新點如下：首先，把文獻[10]的全局Lipschitz條件推廣到局部Lipschitz條件，構造了截斷函數，此截斷函數滿足文獻[10]的條件，因此對部分過程可以用It?公式，進而用局部化的方法得到了弱解的存在唯一性；其次，把文獻[9]中的模型推廣到帶跳測度項，在跳測度滿足一定條件下，得到弱解的存在唯一性。本研究不要求擴散項系數的非退化性，允許方程中含有跳測度，從而拓展了McKean-Vlasov的隨機微分方程解的存在唯一性方面的結果。

本研究安排如下：第一節首先給出一些符號和定義，并證明弱解的存在性。第二節證明弱解的唯一性。

1 弱解的存在性證明

2 弱解的唯一性證明