最優化問題的二階最優性條件中臨界錐不同表達形式的研究

曲皓月，張 杰，王夢茹

（遼寧師范大學 數學學院，遼寧 大連 116029）

非線性規劃是帶有等式和不等式約束的約束優化問題，是最優化理論中較常見的一種數學模型，在交通運輸、物流管理、投資組合等諸多社會經濟生活領域有重要的應用。對非線性規劃最優性條件的研究已經相當成熟，可見于各種優化方法的教材，如文獻[1-5]。但在這些教材中對非線性規劃二階最優性條件的描述中，所涉及到的臨界錐有著多種不同的表達形式，初學者在接觸這部分知識時可能會感到困惑。因此歸納出不同教材中臨界錐的不同表達形式并對它們之間的聯系進行研究是非常有意義的，這會讓初學者對臨界錐及二階最優性條件有更深層次的理解，并使得二階最優性條件有統一的表達式。本研究考慮如下形式的非線性規劃問題：

其中，f,hi,i= 1,2,…,p,gj,j= 1,2,…,q是Rn到R 的映射且二次連續可微，總結了不同教材中臨界錐的六種表達形式，給出了這些集合之間的聯系，并給出這些集合相等的充分條件。文章安排如下：第一節給出預備知識，接下來在第二節中給出主要結果。首先給出一些預備知識。

1 預備知識

本節給出的預備知識主要來自于國內外優化方法的經典教材和專著，見文獻[1-7]。點x∈Rn被稱為問題（1）的可行點，如果x滿足（1）的約束條件。所有可行點所組成的集合稱為可行域，記（1）的可行域為X，

則稱d是X在x*處的線性化可行方向，X在x*處的所有線性化可行方向的集合記為LFD(x*,X)。

定義4 設x*∈X,d∈Rn，如果存在序列dk(k= 1,2,…)和δk＞0(k= 1,2,…)使得x*+δkdk∈X，?k且有dk→d和δk→0，則稱d是X在x*處的序列可行方向，X在x*處的所有序列可行方向的集合記為SFD(x*,X)。

注意到根據文獻[3]中的定義，LFD(x*,X)和SFD(x*,X)中不含有零方向，但在文獻[4]和文獻[6]的定義中，這兩個集合含有零方向。本研究采用了后者的定義，原因是此時的方向集合是閉集合，方便后續的研究，也與錐優化中線性化切錐和切錐的定義相一致。

定義5 設Y是有限維Hilbert空間，Z是Y中的閉子集，x∈Z，則Z在x處的切錐定義為

2 臨界錐不同表達形式的相互關系

所以得到C(x*)?S(x*,μ*,λ*)，證畢。

如果線性無關約束規范不成立時，會存在d∈F(x*,μ*,λ*)但d?S(x*,μ*,λ*)的情況，本研究引用文獻[8]中用來研究Guignard約束規范的例子進行說明。

例1 考慮下述優化問題：

證明 由定理1 只需證明C(x*)?F(x*,μ*,λ*)，根據文獻[6]中的定理8.2.7 可知在M-F 約束規范下，LFD(x*,X)= SFD(x*,X)=TX(x*)，所以根據定理1 中（vii）的后半部分證明直接得到C(x*)?F(x*,μ*,λ*)，證畢。

3 結論

本研究總結歸納了不同最優化方法教材中的臨界錐的表達形式，給出了這些臨界錐的關系，并得到了保證這些臨界錐相等的充分條件。