Volterra型算子在導數Hardy空間上的緊性及譜

林慶澤

（中山大學 數學學院，廣東 廣州 510275）

用H(Δ)表示復平面單位圓盤Δ:={z:|z|＜1}上所有解析函數f所組成的函數空間。當1 ≤p＜∞時，用Hp表示復平面單位圓盤Δ上所有滿足

當g(z)≡z時，左邊的廣義積分算子就成為經典Volterra積分算子Tz，這個廣義積分算子是在積分方程的研究過程中引進的一個非常重要的線性算子。Pommerenke在70年代左右研究BMOA函數的增長性時首次引進了本文所要研究的一般型的算子Tg，同時證明了Tg算子在H2空間上是有界的當且僅當g∈BMOA，即g是Δ上的具有有界均值振蕩的解析函數[2]。在Pommerenke的工作的基礎上，Aleman等人將其結論推廣至覆蓋0 ＜p＜∞范圍的Hardy 空間Hp(0 ＜p＜∞)以及Bergman 空間Ap(0 ＜p＜∞)上，同時考慮了緊性等相關的一些問題[3-5]。之后，關于Tg和Sg算子的有界性和緊性等問題的研究一直是算子理論與復分析交叉方向的一個非常重要的研究內容，其中，文獻[6]在深入地研究了新型Qp函數空間上的Carleson測度問題的同時，刻畫了該空間上的Tg算子的有界性等一些相關的基本性質，是一件非常值得注意的研究工作。

1 Volterra型算子在導數Hardy空間上的緊性

由泛函分析中的基本定義[9]可知，線性算子T從Banach 空間X到Banach 空間Y上是有界的當且僅當對于Banach空間X中的任一有界集E，T(E)?Y也是一個有界集，此時，記T∈B(X→Y)；另一方面，線性算子T從Banach空間X到Banach空間Y上是緊的當且僅當對于Banach空間X中的任一有界集E，T(E)?Y在空間Y內的閉包是緊的，同樣地，記X到Y上的所有緊算子的集合為B0(X→Y)。

引理1[8]若1 ≤p＜∞，Tg∈B(Sp→Sp)當且僅當g∈Sp。

引理2[8]若1 ≤p＜∞，Sg∈B(Sp→Sp)當且僅當g∈H∞。

定理1 若1 ≤p＜∞，Tg∈B0(Sp→Sp)當且僅當g∈Sp。

證明 若g∈Sp，則由引理1 可知，Tg∈B(Sp→Sp)。 因為g∈Sp，所以g'∈Hp，根據文獻[7]可知Mg':Sp→Hp是緊的。由于Tz是Hp空間到Sp空間上的有界線性算子且Tg=TzMg'，因此Tg∈B0(Sp→Sp)。

反過來，若Tg∈B0(Sp→Sp)，則Tg∈B(Sp→Sp)，因此由引理1可知g∈Sp，證畢。

由引理1和定理1可知，當1 ≤p＜∞時，Tg∈B(Sp→Sp)與Tg∈B0(Sp→Sp)是等價的。

定理2 若1 ≤p＜∞，則Sg∈B0(Sp→Sp)當且僅當g= 0。

故g= 0，證畢。

2 Volterra型算子在導數Hardy空間上的譜

這一節主要刻畫Volterra型算子在導數Hardy空間上的譜，關于譜的相關基本知識可參考文獻[9]。

定理3 令1 ≤p＜∞，若Tg∈B(Sp→Sp)，則Tg的譜是σ(Tg)={0}。

證明 由引理1和定理1可知，Tg∈B(Sp→Sp)與Tg∈B0(Sp→Sp)是等價的，由Tg的定義可知，Tg不存在非零的特征值，因此由緊算子的譜定理[9]可知，σ(Tg)={0}，證畢。