面向梯級水庫多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度的進(jìn)化算法研究

紀(jì)昌明，馬皓宇，彭 楊

（華北電力大學(xué)水利與水電工程學(xué)院，北京 102206）

1 研究背景

水庫作為一種徑流調(diào)節(jié)的工程手段，在實(shí)現(xiàn)水能資源的合理高效利用上發(fā)揮著重要作用。隨著我國金沙江、雅礱江、瀾滄江等流域水庫群的相繼建成與互聯(lián)智能電網(wǎng)的有序推進(jìn)，梯級水庫已成為承載多方利益訴求的水資源利用載體，亟需開展多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度的研究，以有效協(xié)調(diào)水庫防洪、發(fā)電、供水、生態(tài)等多方面的任務(wù)，滿足新形勢下的調(diào)度要求［1-3］。

梯級水庫多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度包括生成備選方案集與方案優(yōu)選這兩部分，首先求解所構(gòu)建的多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度模型得到一定數(shù)量的非劣解，接著通過理想點(diǎn)法、均變率法等多目標(biāo)決策方法從中挑選出最佳方案。本文的重點(diǎn)在于第一部分即研究模型的高性能計算方法，以期在給定的計算資源下獲得一組高質(zhì)量的非劣解集供調(diào)度人員決策。而水庫調(diào)度領(lǐng)域目前主要有兩種求解方式：通過約束法、權(quán)重法等方法將多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)變?yōu)閱文繕?biāo)優(yōu)化，再利用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法求解；通過NSGA-Ⅱ、MOPSO等基于Pareto支配理論的經(jīng)典多目標(biāo)進(jìn)化算法（MOEAs）求解。

多目標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)閱文繕?biāo)求解的方法早期便得到了應(yīng)用：Foued BA 等［4］應(yīng)用隨機(jī)目標(biāo)規(guī)劃處理水庫群的多目標(biāo)調(diào)度問題，并以突尼斯北部的多庫系統(tǒng)為例驗(yàn)證方法的有效性；梅亞東等［5］建立了兼顧發(fā)電量與保證出力的黃河上游梯級水電站優(yōu)化調(diào)度模型，采用約束懲罰法將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)，利用DP-DDDP的組合算法完成求解；武新宇等［6］利用灰色關(guān)聯(lián)度法將多目標(biāo)優(yōu)化模型轉(zhuǎn)換成多個單目標(biāo)優(yōu)化模型，使用逐步優(yōu)化算法獲得非劣解集；黃草等［7］以長江上游15座大型水庫為研究對象，建立包含發(fā)電、河道外供水與河道內(nèi)生態(tài)用水等目標(biāo)的非線性優(yōu)化調(diào)度模型，提出E-POA作為求解算法以提高效率。該方法雖能有效降低多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解難度，但存在較多的缺點(diǎn)：（1）權(quán)重系數(shù)等實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)變的重要參數(shù)只能依據(jù)主觀經(jīng)驗(yàn)設(shè)置，目前尚無客觀合理的取值規(guī)則可循；（2）每次求解僅能得到一個調(diào)度方案，且因問題Pareto前沿的形狀未知，多次計算可能無法獲得等計算次數(shù)規(guī)模的非劣解集，即無法保證能為決策者提供一定規(guī)模的備選方案集；（3）非線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃等傳統(tǒng)單目標(biāo)算法在處理大規(guī)模水電調(diào)度問題上存在嚴(yán)重的“維數(shù)災(zāi)”問題。

上述缺點(diǎn)導(dǎo)致該方法的使用受到限制，許多學(xué)者開始利用經(jīng)典MOEAs：Chang L C 等［8］構(gòu)建最小化各庫供水短缺指數(shù)的臺灣翡翠與石門水庫的優(yōu)化調(diào)度模型，通過NSGA-Ⅱ算法進(jìn)行研究；覃暉等［9］建立三峽梯級水電站的中長期發(fā)電優(yōu)化調(diào)度模型，提出SPDE算法完成求解；Ahmadi M等［10］利用NSGA-Ⅱ算法研究Karoon4水電站的多目標(biāo)發(fā)電優(yōu)化調(diào)度，并提取其最優(yōu)運(yùn)行規(guī)則；Luo J等［11］考慮安康水庫防洪與供水兩方面目標(biāo)，提出一種基于偏好選擇的多目標(biāo)免疫算法MOIA-PS 求解模型；王麗萍等［12］建立溪洛渡-向家壩梯級水庫多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度模型，采用NSGA-Ⅱ算法獲取非劣解集，接著引入結(jié)構(gòu)方程模型定量分析各目標(biāo)間的互饋關(guān)系。該方法計算效率較高，單次求解即可得到一組調(diào)度方案，且對問題的目標(biāo)函數(shù)與約束條件的形式不作要求，但缺陷在于經(jīng)典MOEAs的算法性能通常隨決策空間或目標(biāo)空間維數(shù)的增長而下降，隨著水庫群規(guī)模的不斷擴(kuò)大與調(diào)度管理要求的不斷提升，梯級水庫多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度本質(zhì)上已屬于大規(guī)模高維多目標(biāo)優(yōu)化問題，其復(fù)雜性是經(jīng)典算法所難以解決的。

如何處理多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度的高維特性已成為計算關(guān)鍵，而水庫調(diào)度領(lǐng)域尚未針對此提出或引入相應(yīng)的優(yōu)化策略或算法，故本文以多目標(biāo)粒子群算法為基礎(chǔ)，采用超體積指標(biāo)保證高維目標(biāo)空間下算法的選擇壓力，采用問題變換策略保證高維決策空間下算法的搜索力度，提出LMPSO（Large-scale Many-objective Particle Swarm Optimization）算法，通過溪洛渡-向家壩梯級水庫的實(shí)例研究，驗(yàn)證所提方法在梯級水庫多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度這一實(shí)際工程問題中的應(yīng)用效果。

2 梯級水庫多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度模型

本文以金沙江下游最末梯級的溪洛渡-向家壩為研究對象，考慮發(fā)電、河道外供水與河道內(nèi)生態(tài)用水這三方面目標(biāo)，構(gòu)建溪洛渡-向家壩梯級水庫發(fā)電-供水-生態(tài)的多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度模型。

2.1 目標(biāo)函數(shù)

（1）發(fā)電目標(biāo)：調(diào)度期內(nèi)的發(fā)電量f1、發(fā)電保證率f2與棄水量f3。

式中：t和i分別為時段編號與水庫水電站編號；T和n分別為調(diào)度期時段總數(shù)與水庫水電站總數(shù)；Ni，t為i電站t時段的平均出力，kW；Δt為單位時段長度，h或s；表示t時段系統(tǒng)出力Nt是否滿足保證出力，1表示滿足，0表示不滿足；為i庫t時段的平均棄水流量，m3/s。

（2）供水目標(biāo)：調(diào)度期內(nèi)的供水缺水量f4、供水保證率f5與供水最長破壞歷時f6。

（3）生態(tài)目標(biāo)：調(diào)度期內(nèi)的生態(tài)缺水量f7、生態(tài)保證率f8與生態(tài)最長破壞歷時f9。

2.2 約束條件

（1）水量平衡約束：

式中：Vi，t和Vi，t+1為i庫t時段的時段初末庫容，億m3；Qi-1,t、Qi,t和分別為（i-1）庫t時段的平均出庫流量和i庫t時段的平均出入庫流量，m3/s。

（2）水位約束：

式中：Zi，t為i庫t時段初水位；和為i庫t時段初的水位上下限，m。

（3）流量約束：

（4）出力約束：

（5）邊界約束：

式中：Zi,start和Zi,end為i庫給定的調(diào)度期初末水位，m。

3 求解算法

3.1 基于超體積指標(biāo)處理高維目標(biāo)空間高維多目標(biāo)優(yōu)化問題（MaOPs）一般指目標(biāo)個數(shù)大于5 的多目標(biāo)優(yōu)化問題（MOPs）［13］，經(jīng)典MOEAs多用于處理2 ～3維目標(biāo)的MOPs，由于以下兩方面的原因難以解決MaOPs：（1）高維目標(biāo)空間下算法的收斂壓力喪失。此時種群中大部分個體之間相互非支配，導(dǎo)致基于非支配排序的選擇策略失效，算法的選擇進(jìn)程被多樣性指標(biāo)所支配；（2）高維目標(biāo)空間下結(jié)果的多樣性難以保證。種群個體在高維目標(biāo)空間內(nèi)分布稀疏，導(dǎo)致基于目標(biāo)空間內(nèi)歐氏距離的多樣性維持策略失效。為解決上述問題學(xué)者們提出了一系列方法，大致可分為4類［14-19］：直接修改傳統(tǒng)Pareto支配的定義；采用算法的性能評價指標(biāo)作為選擇標(biāo)準(zhǔn)；基于分解思想將原問題分解為一組簡單的子問題；刪除冗余或不相關(guān)的目標(biāo)以實(shí)現(xiàn)維度縮減。本文選擇第2類處理方法，將超體積指標(biāo)作為個體適應(yīng)值引導(dǎo)算法的交配選擇與環(huán)境選擇。

超體積指標(biāo)（hypervolume）由Zitzler E 等［20-21］提出并用于定量比較不同MOEAs 的性能，是目前最為通用的集合質(zhì)量度量標(biāo)準(zhǔn)之一。該指標(biāo)具有優(yōu)秀的數(shù)學(xué)性質(zhì)，是已知的唯一與Pareto支配嚴(yán)格單調(diào)的一元指標(biāo)［22-23］，且不同于GD、IGD等指標(biāo)，其可在Pareto前沿未知的情況下同時評價解集的收斂性與多樣性，故可應(yīng)用于實(shí)際的科研與工程問題中。超體積指標(biāo)IH定義如下：

式中：A為決策空間內(nèi)的待評價集合；r為目標(biāo)空間內(nèi)的參考點(diǎn)；λ為勒貝格測度；H（A，r）表示目標(biāo)空間Z內(nèi)被A對應(yīng)的目標(biāo)向量集f（A）與r所包圍的區(qū)域。

IH以單個標(biāo)量值衡量整個集合的質(zhì)量，而選擇操作要求指標(biāo)的評價對象是集合中的單個個體，故需對該指標(biāo)進(jìn)行修改。此處使用修改后的超體積指標(biāo)，將移除集合中某一個體所造成的超體積損失值作為評判該個體優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，其定義如下［24］：

式中：k為待移除個體的總數(shù)；表示目標(biāo)空間內(nèi)被a和A中其它任意（i-1）個個體所共同且唯一弱支配的區(qū)域。

（1）準(zhǔn)備階段：首先輸入估算所需參數(shù)：集合A、參考點(diǎn)r、參數(shù)k以及取樣規(guī)模M；接著構(gòu)建包含所有Hi（a，A，r）的樣本空間S，為方便體積計算與樣本點(diǎn)生成，令S為包含所有Hi（a，A，r）的邊長軸平行的最小超立方體；最后完成參數(shù)ai的計算與適應(yīng)值vi的初始化。

（2）取樣階段：首先均勻隨機(jī)生成樣本點(diǎn)sj∈S，j=1，…，M；接著針對每一個樣本點(diǎn)sj，檢查其是否位于任何滿足1≤i≤k且a∈A的Hi（a，A，r）區(qū)域內(nèi)，檢測方法為獲取A內(nèi)所有弱支配sj的個體組成的集合UP，若其基數(shù)滿足1≤|UP|≤k，則sj位于所有滿足i=|UP|且a∈UP的Hi（a，A，r）內(nèi)，更新A中相應(yīng)個體的適應(yīng)值；最后即可獲得集合A中個體的適應(yīng)值。

3.2 基于問題變換處理高維決策空間影響優(yōu)化問題復(fù)雜性與求解難度的一個重要因素是決策變量的維數(shù)，大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化問題（Large-scale MOPs）通常指維數(shù)在200以上的多目標(biāo)優(yōu)化問題［27］，大多數(shù)多目標(biāo)算法在30維以下的問題上表現(xiàn)良好而無力解決高維問題，主要原因在于：為使搜索能覆蓋整個決策空間，種群的規(guī)模應(yīng)隨決策變量維數(shù)的增長而擴(kuò)大，即實(shí)現(xiàn)高維決策空間內(nèi)的有效搜索需要大規(guī)模種群集合，而實(shí)際設(shè)計中為保證計算效率，學(xué)者們一般將種群規(guī)模限制在10 ～1000的范圍內(nèi)，致使高維情況下無法搜尋至決策空間內(nèi)的部分區(qū)域，導(dǎo)致所得結(jié)果往往并不理想。為解決該難題目前傾向于使用一種名為協(xié)同進(jìn)化（cooperative coevolution，CC）的機(jī)制，其由Potter和De Jong［28］提出并成功應(yīng)用于求解大規(guī)模優(yōu)化問題。CC基于分解思想，按一定的劃分原則將問題的高維決策向量分解為一組低維決策子向量，由多個相互獨(dú)立的種群同時優(yōu)化向量的不同部分，并在規(guī)定階段進(jìn)行重組以開展整體優(yōu)化，由此將復(fù)雜的高維優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一組簡單的低維子問題，通過多種群協(xié)同優(yōu)化的方式完成求解。

然而協(xié)同進(jìn)化并不適用于梯級水庫多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度，其原因在于該問題的約束條件復(fù)雜繁多，通常包括調(diào)度期內(nèi)各時段初末的水位約束與各時段內(nèi)的平均流量、出力約束，無論是以各庫各時段初的水位為決策變量，還是以各庫各時段內(nèi)的平均出庫流量為決策變量，都必須將其作為一個整體進(jìn)行優(yōu)化，以保證優(yōu)化過程中個體的可行性，避免算法在不可行域內(nèi)的無效搜索。為此本文引入問題變換策略［29］，在整體優(yōu)化的前提下實(shí)現(xiàn)搜索空間的降維，以期有效降低問題的求解難度。

首先介紹問題變換的相關(guān)概念。令Z為n維決策向量與m維目標(biāo)向量的多目標(biāo)優(yōu)化問題，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

圖1 基于蒙特卡洛法的指標(biāo)估算流程圖

對于任意決策向量x′，可通過變換函數(shù)ψ與權(quán)重向量w將其轉(zhuǎn)化為另一決策向量x，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

在ψ內(nèi)參數(shù)x′給定的情況下，改變w的值即可獲得不同的決策向量x，由此將Z轉(zhuǎn)換為新的問題Zx′，將待優(yōu)化對象由決策向量x轉(zhuǎn)變?yōu)闄?quán)重向量w：

轉(zhuǎn)換后搜索空間的維數(shù)依然為n，為實(shí)現(xiàn)降維進(jìn)行變量分組，與CC不同各組變量并未實(shí)行相互獨(dú)立的優(yōu)化：將n維決策變量劃分為γ組{g1，…，gγ}，接著修改權(quán)重變量與決策變量間的對應(yīng)關(guān)系，由一一對應(yīng)改為一個權(quán)重變量與一組決策變量相對應(yīng)，由此將待優(yōu)化的權(quán)重向量w由n維降至γ維。通過上述方法將n維決策空間的多目標(biāo)優(yōu)化問題Z變換為γ維的問題Zx′，再利用MOEAs 進(jìn)行求解，即可在降維后的子空間內(nèi)更快更徹底地搜索優(yōu)秀個體。然而該方法有一明顯缺點(diǎn)，被劃分至同一組中的決策變量，當(dāng)相應(yīng)權(quán)重變量的值改變時其值將一同改變，即同一組變量的值無法相互獨(dú)立地變化，這將較大程度地限制算法在原決策空間內(nèi)的可搜索區(qū)域。

3.3 LMPSO算法本文選擇以速度限制策略為特征，在低維MOPs上表現(xiàn)優(yōu)異的多目標(biāo)粒子群算法SMPSO［30］為基礎(chǔ)，以3.1節(jié)的超體積指標(biāo)I h k取代擁擠距離這一傳統(tǒng)的多樣性指標(biāo)，以3.2節(jié)的問題變換作為實(shí)現(xiàn)搜索空間降維的手段，由此提出一種能有效處理梯級水庫多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度這一大規(guī)模高維多目標(biāo)優(yōu)化問題的進(jìn)化算法LMPSO。首先對改進(jìn)策略的應(yīng)用細(xì)節(jié)進(jìn)行說明：

（2）問題變換降低搜索空間維數(shù)。算法求解原問題理論上能探索整個決策空間，但在高維情況下的收斂速度可能非常慢，致使給定迭代次數(shù)下所得結(jié)果的收斂性較差，而問題變換策略能在決策向量整體優(yōu)化下實(shí)現(xiàn)搜索空間的降維，使算法能更深入地挖掘較小空間內(nèi)的優(yōu)化信息，進(jìn)而提高收斂速度，但缺點(diǎn)正如3.2節(jié)末尾所述，其限制了決策空間內(nèi)的搜索范圍，不利于維護(hù)多樣性，因而降低了算法近似整個Pareto前沿的能力。為此采取原問題與變換后問題交替優(yōu)化的形式，以兼顧結(jié)果的收斂性與多樣性，并在變換后問題的優(yōu)化階段，從存檔中選取不同個體的決策向量作為變換函數(shù)ψ的參數(shù)x′，以探索決策空間內(nèi)的不同區(qū)域。

接著給出LMPSO的算法流程圖，如圖2所示。

最后對圖2中的重要操作，即優(yōu)化操作Optimise和更新操作Update進(jìn)行說明。

優(yōu)化操作記為Optimise（Z，Pop，t），輸入?yún)?shù)分別為待優(yōu)化問題Z、初始種群Pop和最大函數(shù)評價次數(shù)t，該操作的流程如圖3所示，具體步驟為：

（1）初始化個體歷史最優(yōu)集合Pbest與種群歷史最優(yōu)集合Gbest。Pbest用于記錄種群Pop中每個個體所經(jīng)歷過的最優(yōu)位置，將其初始化為Pop；Gbest的初始化則較為復(fù)雜，首先將Pop內(nèi)位于第一非支配層的個體添加至Gbest，接著檢查|Gbest|是否超過給定值size，若是則基于適應(yīng)值迭代刪除較差個體，最后計算Gbest內(nèi)各個成員的適應(yīng)值I|Gbest|h作為交配選擇的依據(jù)。

圖2 LMPSO算法流程圖

（2）更新種群Pop，再利用Pop更新Gbest與Pbest，重復(fù)此操作直至函數(shù)評價次數(shù)達(dá)到t。首先針對種群中的每個個體，從Gbest中基于I|Gbest|h選取優(yōu)秀個體作為粒子速度更新的參數(shù)gbest，從Pbest中選取對應(yīng)編號的個體作為參數(shù)pbest，以此計算個體的速度與位置，有必須滿足的硬性約束則需檢查并修正決策向量；接著利用新生成的Pop，將其與Gbest混合并對混合集合執(zhí)行如Gbest初始化般的操作以更新Gbest，將其與Pbest內(nèi)的個體一一比較以更新Pbest。

更新操作記為Pop=Update（Gbest，W_Gbest1，…，W_Gbestq），輸入?yún)?shù)分別為原問題Z的優(yōu)化成果Gbest和變換后問題Zx′的q次優(yōu)化成果{W_Gbestk}k=1，···，q，該操作的流程如圖4所示，具體步驟為首先清空給定規(guī)模size的種群集合Pop，接著從所有存檔的混合集合mixedGbest中挑選優(yōu)秀個體加入Pop，按|mixedGbest|分為三種情況：

圖3 Optimise操作流程圖

（1）|mixedGbest|＜size。此時為滿足Pop的規(guī)模要求，對mixedGbest集合執(zhí)行交叉變異操作，生成（size-|mixedGbest|）個新個體以填充集合，令Pop=mixedGbest。

（2）|mixedGbest|=size。令Pop=mixedGbest即可。

（3）|mixedGbest|＞size。此時對mixedGbest集合執(zhí)行非支配排序，從第1層開始將各層個體依次移入Pop直至|Pop|≥size，若|Pop|＞size，則基于迭代刪除最后加入的層中（|Pop|-size）個個體。

4 實(shí)例分析

金沙江作為長江上游河段，起于青海省、四川省交界處的玉樹州直門達(dá)，止于四川省宜賓市東北翠屏區(qū)合江門的長江干流河段，全長3481 km，流域面積為50.2萬km2，流域地形呈北高南低。溪洛渡-向家壩梯級水庫位于金沙江的下游干流，作為開發(fā)與利用金沙江水能資源的骨干工程，該系統(tǒng)以發(fā)電為主，兼有防洪、攔沙、供水、生態(tài)等任務(wù)，其參數(shù)與拓?fù)鋱D如表1與圖5所示。

本文以溪洛渡-向家壩梯級水庫為研究實(shí)例，以2.1節(jié)中的發(fā)電、供水和生態(tài)這三方面的指標(biāo)最優(yōu)為目標(biāo)，建立梯級水庫多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度模型，并利用LMPSO算法完成求解。為驗(yàn)證所提算法的有效性，將計算結(jié)果與4 種具有代表性的MOEAs 進(jìn)行比較，即NSGA-Ⅱ、SMPSO、NSGA-Ⅲ及KnEA，且為測試各算法在不同維度的決策空間與目標(biāo)空間上的表現(xiàn)，分別以2010—2012年和2007—2012年為調(diào)度期，以月和旬為調(diào)度時段，在來水已知條件下，分別以（f1，f4，f7）、（f1，f2，f4，f5，f7，f8）和（f1，…，f9）為目標(biāo)，構(gòu)建12種維度組合的多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度問題Zi，j，其中i為決策向量的維數(shù)，，j為目標(biāo)向量的維數(shù)，j∈{3，6，9}。

圖4 Update操作流程圖

表1 梯級水庫特征參數(shù)

4.1 參數(shù)設(shè)置首先選取決策變量并決定約束條件和目標(biāo)函數(shù)的處理方式。為有效處理水量平衡、調(diào)度期初末水位限制等約束，將調(diào)度期內(nèi)各庫各時段初的水位作為決策變量以實(shí)現(xiàn)編碼；為滿足調(diào)度中的硬性約束，在計算前依據(jù)水位、流量、出力等約束條件構(gòu)建整個調(diào)度期梯級水庫的水位約束廊道，在計算中通過水庫當(dāng)前階段的水位值確定下一階段水位的可行范圍；由于算法涉及目標(biāo)空間內(nèi)的歐式距離計算，故需對各維目標(biāo)實(shí)現(xiàn)無量綱化，將其均轉(zhuǎn)化為越小越優(yōu)型。

圖5 梯級水庫拓?fù)鋱D

接著進(jìn)行算法的參數(shù)設(shè)置，分為通用參數(shù)與特有參數(shù)。通用參數(shù)設(shè)為：每個算法在每個問題上獨(dú)立運(yùn)行30次，每次運(yùn)行的種群與存檔的規(guī)模均取100，每次運(yùn)行的最大函數(shù)評價次數(shù)取105。特有參數(shù)設(shè)為：4種對比算法的特有參數(shù)均參考原文獻(xiàn)進(jìn)行設(shè)置；LMPSO 中，為估算超體積指標(biāo)將取樣規(guī)模設(shè)為104，為實(shí)現(xiàn)問題變換將分組策略、分組規(guī)模與變換函數(shù)分別設(shè)為線性分組、12與區(qū)間交集變換，算法單次運(yùn)行的每輪迭代中，當(dāng)優(yōu)化原問題時令最大函數(shù)評價次數(shù)為103，當(dāng)優(yōu)化變換后問題時令決策向量的選取規(guī)模為目標(biāo)向量維數(shù)，種群與存檔規(guī)模均為50，最大函數(shù)評價次數(shù)為500。

最后選擇算法的性能評價指標(biāo)。本文以超體積指標(biāo)IH綜合評價所得解集的收斂性與多樣性，且為檢驗(yàn)不同算法的指標(biāo)值之間是否存在顯著差異，使用顯著性水平a=0.01的Mann-Whitney U檢驗(yàn)。

4.2 結(jié)果分析通過比較5種算法在12個維度組合的多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度問題Zi，j上所取得的IH值，以評價各算法處理該類問題的性能，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。表中第2 ～6列括號外的數(shù)字為對應(yīng)列算法在對應(yīng)行問題上所測得的IH指標(biāo)中位數(shù)的相對值，該值是對應(yīng)列算法在對應(yīng)行問題上獨(dú)立運(yùn)行30次所統(tǒng)計的結(jié)果，不同算法在同一問題上的最優(yōu)值以粗體標(biāo)記，表現(xiàn)過差的算法其值以破折號標(biāo)記。第2 ～6列括號內(nèi)的數(shù)字為對應(yīng)列算法在對應(yīng)行問題上的得分，該值表示參與求解的方法中表現(xiàn)顯著優(yōu)于對應(yīng)列算法的數(shù)量。

表2 不同算法的結(jié)果對比

首先分析不同維度的問題上各個算法的表現(xiàn)。當(dāng)變量維數(shù)i與目標(biāo)維數(shù)j較小時，SMPSO能取得高質(zhì)量的非支配解集，其在Z72，3上的指標(biāo)值與最佳的KnEA無顯著差距，在Z144，3和Z216，3上均取得最優(yōu)的IH值，由此驗(yàn)證了SMPSO在解決低維問題上的優(yōu)秀性能。當(dāng)目標(biāo)維數(shù)j增加時，SMPSO的表現(xiàn)隨之惡化，原因在于該算法并未針對高維目標(biāo)空間設(shè)計相應(yīng)的策略，而NSGA-Ⅲ和KnEA 的表現(xiàn)則較低維情況有明顯提升，且NSGA-Ⅲ在Z72，9上取得最優(yōu)值，KnEA在Z72，6和Z144，6上的表現(xiàn)與最佳的LMPSO無顯著差距，原因在于NSGA-Ⅲ和KnEA是專門用于處理MaOPs的方法，NSGA-Ⅲ采用了基于參考點(diǎn)的多樣性維護(hù)策略，KnEA則提出在選擇操作中優(yōu)先考慮拐點(diǎn)，兩者在處理變量維數(shù)較低的高維多目標(biāo)優(yōu)化問題上表現(xiàn)較好。當(dāng)變量維數(shù)i也增加時，即可觀察到LMPSO 較其它算法的顯著優(yōu)勢，在Z216，6、Z216，9、Z432，6與Z432，9這4 個大規(guī)模高維多目標(biāo)優(yōu)化問題（i＞200 且j＞5）上，LMPSO均獲得最佳指標(biāo)值，且在最高維數(shù)的Z432，9上其值明顯高于其它算法，這歸功于LMPSO不僅利用超體積指標(biāo)來指導(dǎo)算法的選擇操作，以保證高維目標(biāo)空間下的收斂壓力與集合多樣性，而且采用問題變換策略對搜索空間進(jìn)行降維，以確保高維決策空間內(nèi)信息的高效挖掘。NSGA-Ⅱ這一經(jīng)典算法在除Z72，3的其它問題上表現(xiàn)均不理想，尤其在高維問題上其值常接近0。

接著評價各個算法在該類問題上的總體表現(xiàn)。本文所提出的LMPSO在12個問題上取得了8個最優(yōu)的IH值，在Z216，3和Z72，9上的指標(biāo)值與最優(yōu)值無顯著差異，由此體現(xiàn)出LMPSO較其它方法的競爭力，SMPSO 在Z144，3和Z216，3這兩個問題上取得最優(yōu)值，NSGA-Ⅲ和KnEA 則分別在Z72，9與Z72，3上取得最好的結(jié)果。對表2中不同算法括號內(nèi)的分?jǐn)?shù)進(jìn)行累加可得，LMPSO取得最佳的總分?jǐn)?shù)3，接著是KnEA其分?jǐn)?shù)為12，SMPSO與NSGA-Ⅲ的分?jǐn)?shù)非常接近，分別為24和25，NSGA-Ⅱ則取得最差的分?jǐn)?shù)43。由此表明在超體積指標(biāo)IH評價非支配解集質(zhì)量的條件下，LMPSO在處理多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度問題上的總體表現(xiàn)顯著優(yōu)于其它4種對等比較的方法，其解集質(zhì)量具有明顯的優(yōu)勢，故更適合作為梯級水庫多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度的求解方法。

5 結(jié)論

梯級水庫多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度這一問題的高維特性日益凸顯，如何實(shí)現(xiàn)有效處理已成為水庫調(diào)度領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)與難點(diǎn)。本文提出以多目標(biāo)粒子群算法為基礎(chǔ)框架的LMPSO算法，針對所優(yōu)化問題的高維特征，利用超體積指標(biāo)作為適應(yīng)值以指導(dǎo)算法的交配選擇與環(huán)境選擇，通過問題變換策略充分挖掘決策空間內(nèi)的優(yōu)化信息。最終以溪洛渡-向家壩梯級水庫為研究實(shí)例，將4種多目標(biāo)進(jìn)化算法與LMPSO進(jìn)行比較分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：LMPSO算法的總體表現(xiàn)較對比算法有明顯提升，且在高維情況下其性能優(yōu)勢更為顯著，故更適合應(yīng)用于當(dāng)前形勢下的梯級水庫多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度中。下一步的工作將著力于研究LMPSO算法在其它類型的水資源多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度上的使用效果。