U形渡槽內水體液面晃動對流作用試驗研究

王海波，李春雷，張昆航

（中國水利水電科學研究院工程抗震研究中心，北京 100048）

1 研究背景

大型渡槽結構是長距離調水工程的主要建筑物。我國西南高地震烈度區調水工程中大型渡槽抗震安全問題十分突出，對長距離調水工程安全運行至關重要。渡槽結構震后修復難度大于其它交通類橋梁結構，并且因輸水線路中水體短時集中傾瀉，存在局地引發次生災害的風險，因此渡槽抗震設計引起社會及建設運營部門的高度重視。槽內水體質量與渡槽槽身結構質量相當甚至更大，不僅占據靜態荷載的主要部分，其與結構的流固動態相互作用也對輸水建筑物的地震響應產生重要影響。地震條件下因槽身結構運動而導致槽內水體橫向運動的流固動態耦合問題的十分復雜。渡槽結構的變形和運動導致槽內水體運動，而槽內水體的運動會對渡槽結構產生反作用，進而改變渡槽結構的地震響應。

在求解容器內水體對容器結構的動力相互作用理論方法中，一般假定水體為理性流體，忽略水體的可壓縮性，而容器被視為水體的剛性邊界，并假定水體做無旋運動而引入速度勢函數［1］。Housner［2］為方便求解容器結構的動力響應，基于剛性矩形容器內的液體受到無質量豎向薄膜約束分割的假定，推導出流體沖擊作用的等效質量，基于容器內液面為平面晃動假定推導出對流作用的等效質量及距容器底部的高度，用等效質量彈簧替代液體與容器的動力相互作用。事實上，這一方法將流固問題解耦簡化為純結構動力問題，因此在分析流體-結構動力響應中得到較廣泛的應用［3］。文獻［4］采用位移有限元法數值模擬計算結果，給出了對應于Housner簡化模型的U形渡槽的液面晃動頻率、等效質量等的回歸公式。我國的《水工建筑物抗震設計標準》（GB51247-2018）中有關渡槽地震響應的分析計算也采用了水體等效質量簡化模型［5］。隨著數值分析方法的進步及計算能力的提高，也有許多研究通過流固耦合基本方程的數值分析方法，求解計入結構變形的流固耦合問題［6-9］。

針對我國南水北調工程大型渡槽的抗震安全問題，國內研究人員開展了渡槽模型的振動臺試驗研究，對實際工程的水體-渡槽間的動力相互作用進行深入探討［10-12］，模型均為矩形斷面，幾何比尺1/30左右。張林讓等［12］研究了地震作用下和正弦波激勵下水體與槽體相互作用效應和機理，并將試驗結果和Housner簡化等效質量模型的計算結果進行了對比，結果表明，由Housner模型計算得到的動水壓力遠小于試驗實測值。

本文結合我國西南滇中調水工程的大型薄壁U 形渡槽，通過振動臺模型試驗，重點關注大型薄壁U 形輸水渡槽流固耦合相互作用。筆者前期主要分析了渡槽結構柔性對流體沖擊相互作用的影響［13］，本文將針對液面晃動的對流作用進行成果分析整理。試驗在中國水利水電科學研究院5 m×5 m大型振動臺上進行。振動臺為全數字閉環控制，最大水平向加速度1g，能夠準確再現地震運動。

2 試驗模型設計和測量

振動臺試驗模型選取單跨30 m的U形渡槽支座以上部分作為研究對象。模型幾何比尺1/10，單跨模型槽身長3.0 m（含6 mm 鄰跨槽體的間隙）。為減少渡槽端部約束條件對測試模型段的影響，相鄰槽身各取0.5 m 模型長度模擬，模型總長4.0 m，見圖1。單跨模型渡槽實測結構重量1.144 t，理論渡槽結構體積為0.4347 m3，對應材料容重2630 kg/m3。渡槽滿水狀態重量2.1367 t，與空槽重量差的水體重量0.9927 t，理論水體體積0.989 m3，水體實際重量約為槽身重量的86.8%。有關模型制作材料及各物理量的相似比尺以及試驗所用支座請參見文獻［13］，此處不再贅述。渡槽靜態豎向支座力見表1。

試驗安裝了共5 種，合計122 通道傳感器用于測量渡槽及槽內水體的地震響應。各傳感器位置詳細描述請參見文獻［13］。試驗數據采集采樣頻率為1000 Hz。

圖1 振動臺試驗渡槽模型及測點（單位：m）

表1 渡槽靜態豎向支座力 （單位：kN）

3 液面晃動頻率與阻尼比

試驗針對不同水位工況，采用0.1g、0.2g和0.4g三個強度水平、0.1 ～90 Hz頻段的穩態白噪聲激勵，分別測試了模型渡槽的橫槽向和豎向穩態響應。白噪聲激勵的采樣頻率為1000 Hz，計算用FFT長8192點，對應的頻率分辨率為0.122 Hz。對于渡槽結構自振特性的識別，可采用結構頂部的加速度響應傳遞函數。然而，槽內液體晃動頻率遠低于渡槽結構自振頻率，低頻加速度難以獲得高信噪比響應信號，因此選用水平橫槽向支座力傳遞函數用于識別槽內水體液面晃動自振特性。但是，0.122 Hz 的頻率分辨率在1 Hz 頻率范圍僅有8 個譜線點，很難準確識別1 Hz 附近液面晃動對應的模態。通過采用頻譜細化方法［14］，將低頻范圍的頻率分辨率提高8倍至0.01526 Hz，精確分辨出了液面晃動頻率附近的支座力傳遞特征，與原分辨率傳遞函數的對比見圖2。通過對水平支座力細化頻譜傳遞函數的模態識別分析，獲得了兩階液面晃動頻率及對應的模態阻尼比（見表2）。隨激勵水平增加或稱液面晃動幅度的增加，晃動頻率有微小下降。模態阻尼比均值0.738%。

圖2 頻譜細化水平支座力傳遞函數對比

表2 橫槽向液面晃動特征頻率及阻尼比

由于渡槽結構一階自振頻率（實測水平向約9.2 Hz［13］）遠高于槽內水體液面晃動頻率、結構模態阻尼遠大于液面晃動阻尼，故在非穩態加振記錄尾部的支座力變化均源于槽內水體的自由衰減液面晃動，參見圖3時程曲線。依據自由衰減波動時程同樣可分析計算出液面晃動的基頻特征頻率和對應的阻尼比［16］。阻尼比ξ按下式計算［15］：

式中Ak、Ak+m分別為第k個和第k+m個自由衰減波動曲線的幅值。

由24條水平向或豎向支座力自由衰減曲線得到的液面晃動頻率及阻尼比列于表3，一階晃動頻率均值為1.033 Hz，阻尼比0.763%。一階晃動頻率低于0.4g白噪聲激勵對應結果約0.3%。

對高度H、底寬2l的剛性矩形容器，在重力場g作用下，依據無漩流體力學方程及液面小幅波動假定推導出的容器液面波動特征頻率為：

圖3 非穩態加振支座力時程曲線

表3 自由衰減曲線計算液面晃動頻率和阻尼比結果

對同樣剛性矩形容器，Housner基于小幅波動液面為平面假定推導出的容器液面晃動基頻為［2］：

同樣對剛性容器，李遇春采用位移有限元數值模擬計算的U形渡槽液面晃動頻率回歸公式為［4］：

式中：R為U形槽底半徑；h+R為最大水深。

上述3個公式計算得到的試驗渡槽橫槽向液面晃動頻率也列于表2。矩形容器底寬2l取值與U形槽2R相同。

由于在Housner公式的推導中引入了小幅波動液面為平面假定，等價于增加了液面運動的約束，故得到的晃動基頻略高于流體力學方程導出的結果，但差異僅為0.35%。Jaiswal等［16］的試驗值也顯示Housner公式給出的頻率略高。按試驗渡槽的水深和槽寬，李遇春的U形槽和矩形槽回歸公式［9］給出的頻率結果差異很小，表明參與晃動水體主要限于液面附近，U形槽公式的晃動基頻略低于矩形槽的結果，體現了槽體形狀的影響。但李遇春的結果低于另外兩公式，李遇春將原因歸于水體的可壓縮性影響，但未見具體的分析對比結果。由表2可以看出，依據3種水平白噪聲穩態激勵響應識別出的液面晃動基頻與流體力學方程結果最為接近，但均略小，差異由0.63%至1.14%。原因有兩個，一是實際水體液面運動較理論推導的假定復雜得多，另一個是U形槽體形狀的影響。特別是實測晃動頻率隨激勵強度下降的趨勢，也反映了液面運動非線性的影響。

非常有趣的是依據白噪聲穩態激勵還識別出了液面晃動的二階頻率（表2），其值與流體力學方程導出的結果非常接近，最大差異僅為0.148%。顯然，液面運動的二階振型較一階振型對槽內深部形狀變化敏感度降低，故U 形槽實測二階頻率值更接近流體力學方程導出的矩形槽二階頻率結果。理論上，矩形槽或U形槽二階液面振型是關于槽體斷面軸線對稱振型，槽底部無不平衡水平力出現。但實際試驗模型不可能做到絕對對稱，基于這很小的不平衡水平力（參見表2）識別出了二階晃動頻率。

由3種水平白噪聲激勵和非平穩激勵后液面自由晃動實測頻率逐漸降低的趨勢看，液面晃動幅度增加會導致晃動頻率的微小下降。

白噪聲穩態激勵下的液面晃動模態阻尼比一階為0.64%～0.70%，二階為0.27%～0.53%，非平穩激勵后液面自由晃動對應基頻阻尼比約0.76%，較白噪聲穩態激勵有所增加，同樣源于非平穩激勵狀態液面晃動幅度加大、晃動形態更加復雜。

4 槽內液體對流作用

槽內液面晃動對流作用對渡槽產生的水平力及傾覆力矩是工程設計關注的重點。在Housner的簡化等效模型中，水體的對流作用被等效質量和等效彈簧所替代。然而，等效質量與等效彈簧與液面晃動強度無關。等效質量的大小是依據流體液面晃動壓力作用于槽壁的動量和槽內液體晃動總動能而確定的。在推導過程中采用了流體液面保持平面的假定。本文振動臺試驗在渡槽近跨中斷面設置了非接觸式激光位移計，對渡槽內液面高度變化進行了測量，非接觸測量完全避免了對液面運動的干擾。以下將根據試驗測試記錄的液面晃動波高幅值和水平支座力幅值定量，確定簡化等效模型中對應對流作用的等效質量M1。

盡管Housner只給出了矩形槽的簡化推導，這里將該方法應用于U形渡槽，如圖4所示。圖4中水體等效質量M0替代槽內流體的沖擊作用，作用高度為h0，對應的U形渡槽動力模型試驗結果見文獻［13］。等效質量M1和彈簧k1替代槽內水體液面晃動產生的對流作用，作用高度為h1。等效質量M1和彈簧k1系統的振動頻率就是上節討論的液面晃動頻率。

假設等效質量M1做正弦運動，位移為D1（t），其作用于槽壁的水平力F1（t）等于質量M1和其加速度之積，而其動能由質量M1和其速度的平方所決定，如以下公式：

圖4 U形渡槽流固相互作用簡化等效模型

上述運動方程忽略了阻尼項，故液面自由晃動時為一保守系統，其最大動能與最大勢能相等。在晃動液面假定為平面的條件下，其最大勢能Umax為：

式中：Aw為液面晃動最大波高，參見圖4；L為渡槽單跨長度；ρ為水體質量密度。

動能最大幅值與F1（t）幅值之比為：

由式（6）和式（9）即可得到對流作用等效質量M1與水平力幅值F1max和液面最大波高Aw的關系：

由圖3可以看到，非平穩激勵加振結束后，水平支座力快速進入單頻正弦衰減狀態，表明除液面基頻晃動的對流作用影響外，其它液面高階晃動對水平支座力影響基本可以忽略不計。然而，從非平穩激勵結束后槽內水體液面的波高時程看（圖5），尚有復雜非線性晃動持續存在，而非單一頻率的正弦波。特別是由式（10）可知，等效質量M1與水平力幅值F1max和最大波高Aw比值的平方成比例關系，因此對二者讀值的偏差十分敏感。為了減少波高幅值讀取過程中因復雜波形干擾產生的隨機誤差，波高取值中采用統一的單頻正弦衰減函數形式對自由晃動波高時程進行擬合，再從擬合函數曲線上讀取對應時刻的波高幅值，用以計算等效質量M1。

圖5 渡槽內液面波高時程

依據試驗記錄的槽內水體自由晃動時對應的支座總水平力幅值、槽壁處波高幅值以及由豎向支座力算出的對渡槽軸線的轉動彎矩，計算得到的等效質量M1和作用高度為h1列于表4。表4共計15個加振記錄，水平支座力幅值最大392.6 N，最小166.3 N，波高幅值最大37.25 mm，最小16.36 mm，等效質量M1均值為352.6 kg。根據實際模型渡槽端部支座球面鉸部位至液面垂直距離0.703 m，計算得到等效質量M1的作用高度h1的均值為0.417 m。

表4 液面晃動對流作用的等效質量M1和作用高度h1

Housner簡化等效模型給出的矩形槽等效質量系數和作用高度h1的計算僅與幾何形狀相關，具體公式如下：

文獻［4］采用位移有限元法給出的矩形槽等效質量系數擬合公式以0.511 替代了式（11）中的，約為0.969倍。而其給出的U形渡槽對流作用等效質量系數和作用高度h1的計算公式為：

上述公式中的Mw為槽內水體總質量。

按試驗渡槽水深H=0.546 m和槽半寬l=0.35 m算出矩形槽等效質量系數為0.333，等效質量M1為381.8 kg；U形渡槽公式給出的等效質量系數為0.371，等效質量M1為366.9 kg。盡管矩形槽和U形槽的等效質量系數有11%的差異，但等效質量M1的差異僅為4%，這反映了產生對流作用的液面晃動隨水深快速衰減的特征。U形渡槽公式給出的等效質量M1較波高與支座力幅值推算均值高約4%。矩形槽和U形渡槽公式給出的作用高度h1分別為0.397和0.416 m，試驗數據算出的h1均值與U形渡槽公式給出值僅差0.24%。

由穩態白噪聲的水平支座力對臺面加速度的傳遞函數也可對等效質量M1進行定量推測。支座力傳遞函數的量綱是單位激勵加速度下產生的支座力，與質量量綱相同。而假定在液面晃動頻率點對應的模態水平支座力均源于等效質量M1的運動，則模態水平支座力為等效質量M1與其模態加速度之積。前面試驗得到的液面晃動阻尼比很小，故等效質量M1的模態加速度與臺面加速度比為1/2ξ。由此不難得出，等效質量M1為模態水平支座力與2ξ之積。根據3種水平白噪聲激勵的水平支座力對臺面加速度的傳遞函數和識別出的液面晃動阻尼比表2推算，等效質量M1分別為259.5、288.7和276.6 kg，均值約為275 kg，約為由自由晃動波高得到的78%。數值偏低的原因是晃動頻率附近支座力傳遞函數的頻率分辨率仍然不夠高，導致模態水平支座力偏小。

上節液面晃動頻率及本節的等效質量M1和作用高度h1的試驗結果與基于剛性槽假定推導結果的良好一致性表明，對于液面晃動產生的水體-渡槽對流相互作用而言，試驗渡槽槽身剛度足夠大，視其為槽內水體的剛性邊界，完全能夠獲得精度很高的簡化等效模型參數。這一點與水體-渡槽間的沖擊作用等效質量對試驗渡槽槽身剛度較為敏感的特征明顯不同［13］。

根據頻率比尺，原型渡槽液面晃動頻率約為0.328 Hz。由圖3支座力地震響應及圖5地震過程中液面波高看，試驗對象渡槽液面晃動對流作用對結構地震響應影響占比并不高，這與晃動頻率附近地震動能量占比不高一致。盡管試驗中并未模擬槽墩結構，但原型渡槽槽墩及槽身結構橫槽向自振頻率約為1.5 Hz，因此導致液面晃動的地震動能量成分在槽墩頂部基本不會被放大。由此可以判斷，對于峰值加速度較高的中、近場地震，渡槽內水體液面晃動的對流作用對渡槽結構地震響應影響有限，而槽內液體的沖擊作用是決定渡槽結構地震響應的關鍵要素。對于長周期能量占比較高的遠場大震，地震時可能產生較大液面晃動，使槽內水體對流作用成為決定渡槽結構地震響應的主要因素。需要注意，在分析水體對流作用為主要因素的結構地震響應時，等效質量-彈簧對應的阻尼比與結構阻尼比的取值存在顯著差異。

5 結論

本文依托滇中調水工程，采用1/10物理模型通過振動臺試驗開展大型薄壁輸水渡槽流固動力相互作用研究。文中重點分析了穩態白噪聲激勵和非穩態激勵下槽內水體液面晃動對渡槽結構的對流作用，可得如下主要結論；（1）由3種強度穩態白噪聲激勵響應測得，模型渡槽液面晃動基頻分別為1.041、1.037和1.036 Hz，由非穩態激勵加震后槽內液面自由衰減晃動測得基頻1.033 Hz。晃動頻率呈現隨晃動幅度減小趨勢，但十分接近。試驗測試結果與按剛性矩形容器推導的小幅晃動頻率公式結果1.048 Hz基本一致，最大差異小于1.5%。由3種強度穩態白噪聲激勵響應還測得液面晃動二階頻率，與剛性矩形容器小幅晃動頻率公式結果更為一致，最大差異小于0.15%；（2）測試得到液面晃動基頻對應阻尼比0.72% ～0.83%，均值0.75%，遠低于結構地震響應數值分析中常用的5%阻尼比；（3）依據非穩態激勵加震后槽內液面自由衰減晃動記錄，分析得到U形渡槽模型的Housner簡化等效模型中對流作用的等效質量M1和作用高度h1，數值上與剛壁公式結果一致；（4）試驗所得液面晃動對流作用的基本參數，頻率、等效質量M1和作用高度h1與基于剛性槽假定推導結果的良好一致性表明，對于液面晃動產生的水體對流作用而言，試驗渡槽槽身剛度足夠大，視其為流體的剛性邊界，完全能夠獲得精度很高的簡化等效模型參數。

從渡槽抗震安全設計上看，渡槽液面晃動基頻對應的地震動輸入能量占比不高，槽墩及槽身結構自振頻率高出液面晃動基頻數倍，因此，對于峰值加速度較高的中、近場地震，渡槽內水體對流作用對渡槽結構地震響應影響有限，而槽內液體的沖擊作用是決定渡槽結構地震響應的關鍵要素。對于長周期能量占比較高的遠場大震，地震時可能產生較大液面晃動，使對流作用成為決定渡槽結構地震響應的主要因素。