表象變換和久期微擾理論在耦合杜芬方程中的應用*

李朝剛 汪茂勝 方泉 彭雪城 黃萬霞

(安徽師范大學物理與電子信息學院, 安徽省光電材料科學和技術重點實驗室, 蕪湖 241002)

1 引 言

在物理學中, 模式間的非線性耦合是調節振子體系屬性的一個重要手段.與單模非線性體系相比, 兩模或多模非線性耦合的復雜體系展現出了更多的迷人屬性[1?4], 特別是模間耦合可以在這些體系中產生出“雜化”模(“dressed”mode), 而它們可以有效修改整個體系的屬性, 導致各種各樣的有趣現象和應用.2004 年Cross 等[5]對非線性頻率牽引引起的無功耦合系統的同步進行了解析建模, 證明耦合非線性納米機械諧振器系統可以通過其頻率與振蕩振幅的關系自同步到一個公共頻率.2010 年Westra 等[6]研究微諧振器中多模耦合的詳細實驗特征.非線性耦合允許使用任意彎曲模態作為另一模態振幅的自探測器, 提出了一種測量存儲在特定諧振模態中的能量的方法.2014 年Peng 等[7]研究了耦合光學諧振腔中的PT 對稱破缺, 研究結果可能導致新一代合成光學系統的出現, 使芯片上的操作和控制光的傳播成為可能.2016 年Zhou 和Chong[8]對基于耦合微腔的非線性光隔離器的非線性動力學進行了理論研究, 研究結果表明, 存在增益飽和的非線性系統的漸近穩定性邊界與潛在線性系統的PT 對稱破缺躍遷之間的對應關系, 利用這一對應關系可以實現一種主動控制的非線性光隔離器, 在這種隔離器中, 強光隔離器可以通過諧振腔間隔的微小變化來開啟和關閉.2017 年Abdollahi[9]研究在存在瞬態和非瞬態非線性情況下, 單個及耦合微環諧振器的非線性動力學, 建立了基于微環諧振器能量耦合和功率耦合的方法來分析和研究微環諧振器系統中各種類型的不穩定性, 包括雙穩定性、自脈動和倍周期振蕩,這一研究結果為實現實際集成光學器件奠定了基礎.同年, Bernard 等[10]報告了在芯片集成微諧振腔內的Fano 諧振腔的完全模式交叉的建模、 仿真和實驗演示, 當腔耦合光泵被材料部分吸收時, 通過非線性熱光學調諧實現共振線形狀的連續重塑,利用這種可調性來不斷探索表現出非對稱Fano 相互作用的不同族準簡并模之間的耦合.同年,Assawaworrarit 等[11]提出理論并進行了實驗證明,PT 對稱電路包含一個非線性增益飽和元件提供魯棒的無線功率傳輸.2018 年Sarma 和Sarma[12]證明了在由庫侖相互作用耦合的兩個弱非線性機械諧振器系統中可以實現聲子封鎖.2019 年Yao等[13]通過感應線圈耦合實現了兩個非線性電路之間的同步, 電感耦合有利于實現兩個混沌Chua 系統的同步.同年Ding 等[14]在塵埃等離子體中觀察到非線性模態耦合和內部共振, 在內部共振開始時激發水平運動.2020 年Zheng 等[15]介紹了一種基于非線性頻移的高真空光懸浮納米顆粒位置、質量和密度測量方法.能夠以微小的偏差來控制懸浮振蕩器的振幅, 并利用精確的非線性頻移測量來進行高精度校準.與此同時, 對于幾種可以近似解析求解的非線性方程的研究也陸續出現, 如非線性杜芬耦合方程[16?19]、非線性馬修耦合方程[20?23]等.尤其是經常遇到的杜芬耦合方程, 更是一度被人們關注.對于杜芬耦合方程, 一般是采用先求解線性方程的本征模, 耦合方程的試探解是本征模的線性疊加, 利用久期微擾理論, 在某些近似條件下, 杜芬耦合方程退化為兩個解耦的方程, 但是這種求解過程過于繁雜.本文基于二階微分方程的彈簧振子模型可以退化為一階微分方程的耦合模理論(coupled mode theory, CMT)的工作[24], 首先將二階耦合杜芬方程化為一階微分方程, 然后對線性部分做表象變換, 同時結合非線性部分的久期微擾理論, 得到一階解耦的方程.最后為了驗證理論的正確性,實施了彈簧連接的音叉耦合實驗, 研究結果表明理論模型和實驗結果符合得很好.該研究對非線性理論推廣到光、電耦合體系及不同領域的交叉耦合體系有一定的指導意義.

2 從耦合的杜芬方程到兩個解耦的CMT

2.1 二階耦合方程化為一階耦合方程

從兩個音叉耦合體系入手建立體系的動力學方程.設 m1和 m2分別為兩個音叉的等效質量, 為了方便, 研究的兩個音叉近似相同, 故質量可以統一設為m, x1和 x2分別為兩音叉的橫向位移,α1和 α2為立方非線性系數, 即著名的杜芬非線性系數, ω1, ω2分別是兩個音叉的固有頻率, gD1(t) 和gD2(t)分別表示為驅動力驅動振子1 和振子2, 其中 D =ξ/m,ξ 為彈簧的硬度系數, Q1, Q2分別是兩個音叉的品質因子, 如圖1(a)所示.

杜芬非線性效應的理論研究可以使用久期微擾理論來研究, 該系統的動力學方程[25]為:

其中 i2=?1 , ω0為頻率參考點, Aj(T) 為隨時間慢變的復振幅,是高階小量, 考慮到有

圖1 雙模耦合體系的相關參數示意圖 (a)非線性振子模型; (b)解耦的CMTFig.1.Parameters’ schematic diagram of two-mode coupled system: (a) Nonlinear oscillator model; (b) decoupled CMT.

其中為了討論方便, 取 ω0=ω1.方程(1)和(2)可改寫為[24]:

方程(6)和(7)可以寫成矩陣形式:

方程組(8)是耦合的一階微分方程組, 將輸入信號用輸入端口和傳輸損耗來替代, 方程組(8)就退化為CMT 的動力學方程[26].在此, 為了便于與文獻[25]的結論進行比較, 輸入信號表達形式保持不變, 不失普遍性, 仍稱方程組(8)為CMT.

2.2 相似矩陣的計算

將方程組(8)右邊第一項做對角化:

求得其本征值為

其中 ω[I]([I]=I,II) 是對耦合方程中線性部分的矩陣方程進行對角化得到的“雜化”模[I]本征圓頻率, 其中=(ω1+ω2)/2 , δ =(ω2?ω1)/2 ,=其本征矢為:

2.3 線性項的相似變換

聯立(13)式, 很容易得到基矢、回復力和相互作用項、外界輸入項以及阻尼項在“雜化”表象中的表示:

其中對于兩個很接近的共振子體系, 有 γ1≈γ2, 經過計算, 非對角元項趨近0.因此以(eI, eII)為基矢的表象稱為簡正模表象.

2.4 非線性項的變換

由于非線性項不滿足相似變換, 為了實現非線性項的變換, 設

其中粗體部分表示的是矢量, AI和 AII表示振動模等效位移, 它是隨時間慢變的.因子 1 /2 的引入是因為實部是物理偏移.將(18)式代入(1)式和(2)式非線性項, 計算可得

根據量子力學中矢量向基矢投影, 就可以得到標量方程, 用乘以(20)式兩邊, 可以得到非線性項對第 I 個本征矢的貢獻:

2.5 兩個獨立的一階微分方程

聯立(14)式—(17)式和(21)式可得

其中,

方程組(22)與文獻[25]給出的結果完全相同.

設方程(22)的解為

將(23)式代入方程(22), 解得

由(24)式和(25)式可得:

若 βI≈βII～0 , 上面兩個模式是完全獨立的, (26)式和(27)式可以分別擬合實驗測量的兩個振動峰.

3 實驗設計、實驗測量及理論解釋

為了驗證理論的正確性, 做了音叉耦合實驗,兩個共振頻率接近的型號為DH4615 的音叉1 和2(簡稱F1 和F2)通過兩根勁度系數為k 的彈簧連接起來, 兩個型號FD-VR-A 的受迫振動與共振實驗儀, 簡稱為R1 和R2.用一根導線將F2 的驅動線圈與R2 的信號源連接起來, 用另一根導線將F2 的探測線圈與R2 的電路輸入端連接起來, 因此R2 即充當驅動源又充當接受器.用一根導線將音叉1(F1)的探測線圈的輸出端與R1 的電路輸入端連接起來, 因此R1 只充當接受器, 如圖2(a)所示.圖2(b)為兩根音叉耦合的局部放大圖.尺寸為0.8 mm×8.0 mm×100.0 mm 的兩個彈簧將兩根音叉連接起來, 兩根彈簧的兩端用吸鐵石將其固定在音叉臂的對稱位置.為了使兩個臂的質量接近相等, 分別在兩個音叉的另一個臂的相應位置, 加上一個配重的等質量的吸鐵石.調節低頻信號發生器上的輸出信號頻率, 將輸出頻率從小往大處調節,找到此時的共振振幅最大值, 也即交流電壓表示數的最大值, 調節驅動信號強度, 使譜線具有一個最佳的信噪比.記錄每一步的輸出頻率以及對應的交流電壓表的示數值.此為耦合情況下音叉系統振幅譜的實驗數據.隨后, 去掉彈簧和R1, 分別用R2測量F1 和F2 單獨存在的振幅譜.

圖2 (a)音叉耦合實驗測量系統; (b)耦合音叉的放大圖Fig.2.(a) Tuning fork coupling experimental measurement system; (b) enlarged view of coupled tuning fork.

圖3 (a)中藍色方形代表F1 的實驗測量振幅譜, 紅色圓圈代表F2 的實驗測量振幅譜, 從圖中可以看出, F1 的固有頻率為 2 43.5 Hz , F2 的固有頻率為 2 45 Hz , 兩個模式的頻率差為 1.5 Hz.圖3(b)中藍色圓圈代表R2 的頻率由低到高測量的振幅譜(簡稱為升頻譜), 而紅色方框代表R2 的頻率由高到低測量的振幅譜(簡稱為降頻譜).從圖中可以看出: 1)無論是升頻譜還是降頻譜, 都是兩個明顯的峰, 升頻譜一個位于 2 30 Hz , 另一個位于 2 40.6 Hz ,而降頻譜一個位于 2 30 Hz , 另一個位于 2 39.1 Hz ;2)在 2 36 和 2 43 Hz 頻率區間內升頻譜和降頻譜明顯不同, 并且高頻模式對應的升頻峰和降頻峰相差1.5 Hz , 即在該波段升頻譜和降頻譜形成了明顯的回線, 稱為振滯回線.

眾所周知, 一個受迫振動的音叉就是一個被激發的模式, 可以用單模CMT 研究[24,27,28], 其中傳輸效率為

其中 γej,γoj,ωj(j =1,2) 分別表示第j 個模式的傳輸損耗、內部歐姆損耗以及固有圓頻率.圖3(a)中藍色實線表示用(28)式對F1 的實驗譜擬合的結果, 紅色虛線代表F2 的擬合譜, 相應的擬合參數分 別 為 γe1=0.2,γo1=0.2,ω1=243.4,γe2=0.18 ,γo2=0.2,ω1=244.95 , 單位為 2 π Hz.因此無耦合理論中的圓頻率與音叉共振圓頻率相對應.為了研究振滯回線的來源機制, 用(26)式和(27)式對實驗譜進行擬合, 如圖3(b)所示.圖3(b)中的墨綠色實線是理論擬合譜, 相關擬合參數為 ωI=230 ,γI=0.7, ωII=242.2 , γII=0.6 , 單位都是 2 π Hz.與入射源相關的擬合參數為|gDI(t)/ω1|=0.17 ,|gDII(t)/ω1|=0.12 , 它們的單位都是 m /s.與立方杜芬系數相關的擬合系數為αI=?1300,βI=0,αII=?2000,βII=0 , 單位是 N /m3.圖3(b)中黑色豎直虛線為分別過升頻譜的最高點和降頻譜的最高點向下做的垂線, 根據杜芬非線性理論, 在兩條黑色虛線之間是非線性不穩定區域, 從圖3(b)中可以看出理論和實驗相符.在遠離共振位置的理論和實驗的差異, 一方面來源于理論研究近共振情況, 即解析表達式來源于共振處的近似, 另一方面來源于忽略了 β 的作用.通過擬合參數可以看出,立方杜芬系數越大, 振滯回線越明顯.

圖3 (a)單個音叉振動時的實驗振幅譜和擬合譜; (b)兩個音叉耦合時的實驗振幅譜和擬合譜Fig.3.(a) Experimental amplitude spectrum and fitting spectrum of single tuning fork vibration; (b) experimental amplitude spectrum and fitting spectrum of two tuning fork coupling.

4 結 論

理論上用久期微擾理論和表象變換, 將二階耦合杜芬方程組退化為兩個退耦合一階微分方程組,得到了模式振幅譜的表達式.隨后, 為了驗證理論的正確性, 設計了彈簧連接的兩個音叉耦合實驗,研究表明理論很好地解釋了實驗現象.該研究對理論探究杜芬非線性現象有一定的指導意義, 也便于理論推廣到光電非線性耦合體系.

感謝王勤謀、石風華以及張季謙等老師給予的有益討論.