蒙特卡洛法在燃油消耗量測量不確定度評定中的應用研究

張紅燭 徐明輝

寧波梅山卡達克汽車檢測有限公司 浙江 寧波 315000

引言

測量不確定度評定領域中的主要文件是ISO/IEC GUIDE 98-3:2008《測量不確定度第3部分：測量不確定度表示指南（GUM:1995）》。依據GUM，我國發布了JJF 1059.1-2012《測量不確定度評定與表示》。

GUM采用的是一個輸入輸出模型，即輸入量是輸出量的函數。對此，GUM提供了一個實施不確定度評定的程序，即GUM法。但是為了有效應用GUM法需滿足以下三個條件：

（1）數學模型的非線性不顯著；

（2）中心極限定理適用，即輸出量的PDF由高斯分布或t分布表示；

（3）韋爾奇-薩特思韋公式（Welch-Satterthwaite equation）足夠用來計算有效自由度。應用韋爾奇-薩特思韋公式要求假定輸入量相互獨立。

在實際應用當中，在不滿足或不知道這些條件是否滿足時采用GUM法，產生的結果只能視為一個近似值。

當條件不能完全滿足時，JJF 1059.1建議“可采用一些近似或者假設的方法處理，或者采用蒙特卡洛法（簡稱MCM）評定不確定度……”。

ISO/IEC GUIDE 98-3/Suppl.1:2008《測量不確定度第3部分：測量不確定度表示指南（GUM:1995）附件1：用蒙特卡洛方法傳播概率分布》（以下簡稱GUM附件1）是建立在“分布傳播”概念上。該方法直接使用設定給輸入量的PDF,而不是只使用分布的期望和標準偏差，然后通過測量模型，獲得被測量，即輸出量的PDF。GUM附件1推薦使用蒙特卡洛法來實現這個目的。基于GUM附件1，我國發布了JJF 1059.2-2012《用蒙特卡洛法評定測量不確定度》。

蒙特卡洛法（MCM）又稱統計模擬法、隨機抽樣技術，是使用隨機數來解決問題的一種方法。其基本方法是通過建立模型并對模型抽樣試驗來計算該事件發生的概率和隨機變量的數學期望。此外，該方法也適用于驗證應用GUM不確定度框架的返回的結果，以及在某些情況下GUM不確定度框架所作的假設可能不適用時。

1 基于MCM的測量不確定度的評定步驟

1.1 單批次MCM評定測量不確定度的步驟

（1）建立數學模型；

（2）定義輸出量Y，即被測量；

（3）確定Y所依賴的輸入量X1，X2…XN；

（4）建立Y和X1，X2…XN的數學關系模型Y=f（X1，X2…XN）；

（5）利用可獲信息，為輸入量Xi設定概率密度函數PDFgxi(ξi)，如正態分布、均勻分布等；

（6）選擇蒙特卡洛試驗次數M；

（7）（N個）輸入量的PDF抽樣，產生M個矢量xr；

（8）對每個矢量xr，計算模型給出的相應輸出量的值yr=f（xr）；

（9）計算輸出量的估計值y及y的標準不確定度u(y)，分別為模型值yr的算術平均值和標準偏差，r=1…M；

（10）將這些M個模型值yr按非遞減次序排序，這些排序的模型值提供了輸出量的分布函數Gy（η）的離散表示G；

（11）應用分布函數的離散表示G計算輸出量約定包含概率下的包含區間，計算過程為y的分布函數的離散表示G，計算在給定包含概率p(0＜p＜1)時Y的包含區間[yr，yr+q]，r為1，2，…，M—q任一值；如果pM為整數，則q=pM，否則q取pM+1/2的整數部分。當求得的包含區間為y的估計值Y的對稱區間時，即為給定包含概率下的擴展不確定度。

單批次MCM評定測量不確定度過程示意見圖1。

圖1 蒙特卡洛法評定不確定度

1.2 自適應MCM法評定不確定度

為了通過MCM獲得可靠的結果，一個基本的參數是試驗次數M，樣本數越大，則仿真結果越接近真實值，不確定度u(y)的仿真結果越準確，一般認為M=106通常能夠獲得95%的包含區間。但是測量過程的隨機特性和輸出量Y的分布實際上都會影響M值得選擇。為此，對MCM的實施以自適應的方式進行，自適應MCM的原理是試驗次數不斷增加，直至所需要的不同結果達到統計意義上的穩定。

自適應MCM的步驟：

（1）設ndig為適當小的正整數；

（2）設h=1，表示初次應用MCM；

（3）按單次蒙特卡洛的方法執行M次蒙特卡洛試驗，并得到M個模型值y1，y2…ym計算y(h)，u(y(h))，他們分別為Y的估計值，標準不確定度，概率p的包含區間的左、右端點；

（4）如果h=1，h加1，繼續步驟3）；

（5）計算Y的估計值y(1)，y(2)…y(h)的平均值的標準偏差sy，以相同方式計算u(y(1))，u(y(2))，…，u(y(h))的平均值的標準偏差su(y)，的平均值的標準偏差及的平均值的標準偏差；

（6）如果2sy，2su(y)，中的任何一個大于數值容差δ，則h加1返回步驟3），否則證明計算已經穩定，利用h×M個模型計算出y，u(y)和概率p的包含區間[1]。

自適應蒙特卡洛法評定不確定度流程見圖2。

圖2 自適應蒙特卡洛法評定不確定度步驟

2 用MCM法對商用車燃油消耗量進行不確定度評定

CNAS-GL023:2018《汽車和摩托車檢測領域典型參數的測量不確定度評估指南及實例》（以下簡稱指南）提供了多個在汽摩領域不確定度評估的實例，但該指南中所有的實例都是采用GUM法作為指導，本文采用自適應MCM法對該指南中商用車輛等速燃油消耗量檢測實例（以下簡稱實例）進行不確定評估，以驗證GUM法在本實例中的有效性。本次驗證過程中對模型的建立、不確定度來源的分析、輸入量分布的假設及試驗數據等全部參考實例。

2.1 模型建立

實例測試依據的文件為《GB/T 12545.2-2001 商用車輛燃料消耗量試驗方法》（以下簡稱方法）。

試驗方法為“車輛擋位采用直接擋或直接擋和超速擋，等速行駛通過 500m檢測路段，檢測通過該路段的時間及燃料消耗量。試驗車速從20km/h(最小穩定車速高于20km/h時，從30km/h)開始，以車速10km/h的整數倍數均勻選取車速，直至最高車速的90%，至少測定5個試驗車速。同一車速往返各進行2次[2]。”

檢測儀器、設備：

車速測定儀，經檢定合格，允差±0.5%。

燃油流量計，經檢定合格，允差±0.5%。

綜合氣象儀，經檢定合格，溫度允差±1℃，大氣壓力允差±1%。

依據方法，等速燃油消耗量的數學模型為

式中，Q——被測車輛等速燃料消耗量，L/100km。

V——被測車輛等速行駛 500m 消耗的燃油量，mL。

D——被測車輛等速行駛的距離，m。

依據測試方法，燃油消耗量的檢測值應按標準狀態進行校正，校正公式為

將模型改寫成由基本量組成形式：

依據實例，測量不確定度的來源主要包括：

（1）等速燃料消耗測量重復性；

（2）燃油流量計引入的標準不確定度；

（3）車速測定儀測量距離引入的不確定度；

（4）環境溫度校正引入的標準不確定度；

（5）大氣壓力校正引入的標準不確定度；

（6）燃料密度校正引入的不確定度。

進一步分析，車輛等速行駛500m消耗的燃油量V的誤差有兩部分組成[3]：由重復性引入的誤差和由燃油流量計引入的誤差，記重復性引入的誤差為因此模型進一步改寫為：

2.2 為輸入量設定PDF

依據實例，在同一檢測條件下，車輛等速往返行駛 5次，油耗檢測單程距離500m （環境溫度30.0℃，大氣壓力101kPa，燃料密度0.825g/ml），所得測量數據如表1所示：

表1 車輛等速燃油消耗量測量數據

表3-1中單次測量實驗標準偏差使用貝塞爾公式計算：

由于實際檢測中，規定往返重復檢測2次，以4次檢測結果的算術平均值為檢測結果，所以等速燃料消耗量檢測重復性標準偏差為：

依據實例做出的各輸入分量的PDF分布假設以及給出的誤差，各輸入量及其概率密度函數見表2：

表2 車輛等速燃油消耗量輸入量及其概率密度函數

2.3 模型計算

利用Python編寫代碼，代碼中幾個比較關鍵的點：

（1）利用Python擴展包numpy中的random.uniform函數可以生成均勻分布的隨機數數組，利用random.normal函數可以生成正態分布隨機數數組。

代碼片段：

（2）最短包含區間左右端點線_low和y_high的確定

依據JJF 1059.2中的說明，包含概率為p，試驗次數為M，設q=pM+1/2的整數部分。對M個模型值y1…yM從小到大進行排序，記為yr，r=1，2…M，Y的概率對稱包含區間為。則100p%包含區間的左、右端點分別為如需所需結果是最短包含區間[4-6]，則確定r=r*，對于每個值，使得r=1…M-q，使得

代碼片段：

（3）數值容差的計算

代碼片段：

上述代碼中，y_standard為計算出的輸出量的標準偏差，tol為數值容差，ndigit為標準不確定度的有效十進制數字的個數，一般取1或2，tol_divisor用來除數值容差，當用MCM來驗證GUM法時，tol_divisor一般取5。

（4）計算結果穩定性的確認

在自適應蒙特卡洛法過程中，當Y的估計值y，標準不確定度u(y)，約定概率下Y的包含區間的端點ylow和yhigh以上四個值得每一個可預期滿足所需的數值容差，證明結果已經穩定，否則應當回到前文單次蒙特卡洛的計算過程并使得計算次數加1[7]。

代碼片段：

2.4 MCM結果報告

利用編寫好的Python代碼進行計算，可以得出如下結果，見表3：

表3 MCM評定結果

3 比較分析

依照JJF 1059.2說明，對GUM法和MCM獲得的包含區間進行比較，確定由GUM及MCM獲得的包含區間在約定數值容差下是否一致。此數值容差根據包含區間的端點來評定，且與不確定度u（y）的有效十進制數字的有效數位相符合：

當dlow和dhigh不大于數值容差δ時，則GUM法通過驗證。

指南中通過GUM法給出實例的標準不確定度為0.12L/100km，取包含因子k=2，校準后的燃料消耗量為21.83L/100km。代入式（5）計算：

由上計算，可以得出dlow和dhigh小于數值容差δ，MCM法結果與GUM法結果一致，GUM法驗證通過[8-11]。

4 結束語

本文采用MCM法對實例中的商用車輛等速燃油消耗量不確定度進行評定，結果表明MCM法評定結果與GUM法評定結果一致，同時驗證了GUM法在本實例中的有效性。雖然本文MCM評定過程是針對商用車輛等速燃油消耗量檢測實例的，但是不難將本過程推廣為通用MCM不確定度評估過程以用于汽摩領域中其他檢測項目的不確定度評估。通過應用MCM法，一方面可以用于對GUM法有效性的驗證，亦可以用于當GUM法不適用或者無法確定GUM法是否適用時不確定度的評估。