完全圖K2n的邊傳遞循環覆蓋

劉 寅，王 鼎

云南師范大學 數學學院，昆明 650500

在群論中，有限群被其真子群覆蓋的問題是一個有趣的課題，并有豐富的結論[1-5]．在組合數學中，圖的覆蓋問題也是一個熱門課題，覆蓋圖的各種結構在代數圖論和拓撲圖論中都有重要作用．文獻[6-8]建立了圖的覆蓋的一些基本理論，并成功地應用于分類某些小度數的對稱圖．文獻[9-10]利用計算機理論，分別對3度圖和Heawood圖的弧傳遞交換正則覆蓋進行了刻畫．特別地，完全圖作為一類典型的對稱圖，常常作為正規商圖出現在大量的對稱圖的研究中，其覆蓋問題也受到了眾多的關注．文獻[11-12]確定了完全圖的2-弧傳遞循環覆蓋和初等交換正則覆蓋．文獻[13]在對一類立方圖的研究中也刻畫了完全圖K4的s-正則循環覆蓋和初等交換覆蓋．近年來，文獻[14]利用電壓賦值的方法刻畫了完全圖K8的素數階弧傳遞循環正則覆蓋，其為K8的標準雙覆蓋K8，8-8K2．本文將圖的頂點數8推廣到一般的情況，主要考慮了完全圖K2n(n≥3)的邊傳遞循環正則覆蓋，拓展了文獻[14]的結果，并得到了一些新的圖類．

1 預備知識

若無特殊說明，本文提到的圖都是度數大于2的無向且連通的單圖．對于正整數n，用Cn表示n階循環群．對于兩個群N和H，用N×H表示N與H的直積，用N°H表示N與H的中心積，用N·H表示N被H的擴張，當這個擴張可裂時，用N∶H表示．

引理1[15]設Γ=Cos(G，H，HgH)，則下列結論成立：

反之，每個G-弧傳遞圖都同構于陪集圖Cos(G，Gα，GαhGα)，其中h為G的2-元素，且h2∈Gα，〈Gα，h〉=G．

引理2[16]設Γ為G-點傳遞局部本原圖，N?G在VΓ上至少有3個軌道，則：

證假設d不為素數，則d可表示為d=d1d2，其中d1為正整數，d2為素數．已知

則存在正整數e1≤e2

1+q+…+qd1-1=2e11+qd1+…+q(d2-1)d1=2e2

顯然2e1|(qd1-1)，(qd1-1)|(qd1f-1)(f≥1)，所以2e1|(qd1f-1)，即存在整數a，使得qd1f=2e1a+1．故存在整數a1，a2，…，ad2-1，使得

2e2=1+qd1+…+q(d2-1)d1=d2+2e1(a1+a2+…+ad2-1)

又因為d2為素數，所以d2=2，e1=1．于是1+q+…+qd1-1=2e1=2，從而d1=2，q=1，這與q≠1矛盾．故d為素數．

引理5[18]設T=PSL(d，q)，若Mult(T)≠C(d，q-1)，則Mult(T)的取值情況為表1所示．

表1 Mult(T)的取值

2 主要結論

構造1假設2n-1為素數，m=2km′，其中0≤k≤1，m′|(2n-1-1)．設K=〈a〉?Cm，T=PSL(2，2n-1)，〈b，c〉=〈b〉∶〈c〉?C2n-1∶C2n-1-1為T的極大拋物子群．則正規化子NT(〈c〉)?D2n-2．取NT(〈c〉)的 2 階元記為g．令

引理6構造1中的圖Δ為完全圖K2n的K×T-弧傳遞Cm-覆蓋．

證已知〈b，c〉為T的極大拋物子群且g?〈b，c〉，則〈b，c，g〉=T．令X=〈E，(am′，g)〉，則由T為非交換單群可知1×T′=1×T?X′，其中T′，X′分別為T與X的換位子群．特別地，因為(1，g-1)，(1，c-1)∈X，所以(am′，1)，(a2k，1)∈X，從而X=K×T，而Δ為連通圖，由E?C2n-1∶C2n-1-1可知|VΔ|=|K×T∶E|=2nm．進一步地，由g∈NT(〈c〉)可知

E∩E(am′，g)?C2n-1-1|E∶E∩E(am′，g)|=2n-1

從而Δ為2nm階2n-1度K×T-弧傳遞圖．

令K×1=N，則N?Cm為K×T的正規子群．已知E中任意元e都可表示為(a2i，bjci)的形式．若e∈N，則bjci=1，于是bj=ci=1，從而2n-1|i，a2i=1．因此e=1，N∩E=1．又因為N半正則且在VΔ上有2n(>3)個軌道，由引理 2可知，Δ為ΔN的Cm-覆蓋，其中ΔN?K2n．

構造2假設2n-1為素數，m=2km′，其中1≤k≤2，m′|(2n-1-1)．設K=〈a〉?Cm，S=SL(2，2n-1)，使得K°S為中心積且K∩S?C2．則存在元素b，c∈S，2 階元g∈NS(〈c〉)，使得

〈b，c〉=〈b〉∶〈c〉?C2n-1∶C2n-1-1〈b，c，g〉∈S

令

引理7構造2中的圖Λ為完全圖K2n的K°S-弧傳遞Cm-覆蓋．

證類似于引理6的證明，易知K∩F=1且Λ為2nm階2n-1度K°S-弧傳遞圖．由于K在VΛ上有2n(>3)個軌道，由引理2知，Λ為ΛK的弧傳遞Cm-覆蓋．而ΛK為2n個點上的2n-1度圖，所以ΛK?K2n．

定理1設圖Γ為完全圖K2n的邊傳遞Cm-覆蓋，其中n≥3，則Γ為下列圖之一：

證已知Γ為完全圖K2n的邊傳遞Cm-覆蓋，不妨設X為Γ的保纖群，K為覆蓋變換群，則X作用在Γ上邊傳遞，且K=〈a〉?Cm為X的正規子群，Y=X/K在Σ=K2n上邊傳遞．

若Y在VΣ上3-傳遞，則Σ為(Y，2)-弧傳遞圖，從而Γ為Σ的2-弧傳遞Cm-覆蓋．由文獻[11]的定理1.1知，K?C2，Γ?K2n，2n-2nK2，或K?C4，Γ為K2n的4-重覆蓋．

若Y在VΣ上不是3-傳遞的，則由Y在Σ上邊傳遞可知，Y作用在VΣ上2-齊次，從而為本原群．因此Y為幾乎單型本原群或者仿射型本原群．以下設Y的基柱為T，α∈VΓ，δ∈VΣ．

Gα?Gα/(Gα∩K)=GαK/K?Tδ

由Γ的頂點個數可知

|G∶Gα|=VΓ=|K||VΣ|=|K||T∶Tδ|

情形1Mult(T)?C(d，q-1)且d|(q-1)．

由d|(q-1)可知，d|(q2-1)，…，d|(qd-1-1)，因此

d|(d+(q-1)+(q2-1)+…+(qd-1-1))

注意到

所以d|2n，從而d=2．于是q=2n-1．故T=PSL(2，2n-1)．由G=K·T為中心擴張且Mult(T)?C2知G′?PSL(2，2n-1)，SL(2，2n-1)．因為

情形1.1 當G′?PSL(2，2n-1)時，G=K×G′．因為|VΓ|=2nm，計算可知

情形1.2 當G′?SL(2，2n-1)時，G=K°G′，其中K∩G′?C2．計算可得

情形2Mult(T)?C(d，q-1)，且d不整除q-1．

情形3Mult(T)≠C(d，q-1)．