非自治隨機時滯廣義Kuramoto-Sivashinsky方程的拉回隨機吸引子

李 勇，張強恒，李揚榮

西南大學 數學與統計學院，重慶 400715

文獻[1]研究了廣義Kuramoto-Sivashinsky方程的整體吸引子及其性質，文獻[2]對隨機廣義Kuramoto-Sivashinsky方程的隨機吸引子進行了研究．本文主要研究在一維有界區域O=[-L，L]上的時滯廣義Kuramoto-Sivashinsky方程

(1)

(E1)g(0)=0，g′(l)≤b；

(E2) |f(l)|≤A1|l|p，|f′(l)|≤A2|l|p-1；

(E3)φ′(l)≤m，|φ′(l)|≤B1|l|q，|φ″(l)|≤B2|l|q-1；

其中A1，A2，B1，B2，m，CF和LF是正實數，b是負實數，而且2≤p<7，1

拉回隨機吸引子最初是由文獻[3]提出來的，文獻[4-5]對非自治隨機動力系統的拉回隨機吸引子問題進行了討論，文獻[6-7]對時滯微分方程的拉回隨機吸引子的問題進行了一系列的討論．本文主要研究在狀態空間Xρ=C([-ρ，0]，L2(O))上的拉回隨機吸引子的存在性．

1 連續非自治隨機動力系統

在空間(Ω，F，P)上定義一簇遍歷的保測變換{θt}t∈R：

θtω(·)=ω(·+t)-ω(t) ?ω∈Ω，t∈R

(2)

(3)

(4)

Ψ(t，τ，ω，ψ)(·)=vt+τ(·，τ，θ-τω，ψ)

(5)

(6)

其中λ為龐加萊不等式常數．定義映射

(7)

(8)

(9)

2 解的一致估計

引理1假設(E1)，(E2)，(E3)，(E4)，(5)式和(6)式成立，則對任意的τ∈R，ω∈Ω和D∈D，存在T=T(τ，ω，D)≥4ρ+1，使得對任意t≥T，σ∈[τ-3ρ-1，τ]，ψ∈D(τ-t，θ-tω)，v滿足

‖vσ(·，τ-t，θ-τω，ψ)‖2≤R(τ，ω)

其中R(τ，ω)定義為

(10)

C為依賴于τ，ω和D的正實數．

證用方程(4)與v做內積，得

(11)

由(E1)，(E2)，(E3)，(E4)，對任意ε>0有

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

由(5)式和(11)-(16)式可得

(17)

(18)

(19)

用τ-t和θ-τω分別代替τ和ω，則σ≥τ-t+ρ，令σ∈[τ-3ρ-1，τ]，則t≥4ρ+1，可以得到

(20)

(21)

由(2)式和(8)式，對任意ε>0和ω∈Ω，存在T(ε，ω)≥4ρ+1，使得對任意|t|≥T(ε，ω)都有

(22)

(23)

(24)

則由(20)-(24)式可得，存在T≥4ρ+1，當t≥T時引理1成立．

引理2[1]V是周期為2L的光滑周期函數，成立以下不等式：

引理3假設(E1)，(E2)，(E3)，(E4)，(5)式和(6)式成立，則對任意的τ∈R，ω∈Ω和D∈D，存在T=T(τ，ω，D)≥4ρ+1，使得對任意t≥T，σ1∈[τ-ρ-1，τ]，ψ∈D(τ-t，θ-tω)，v滿足

其中R1(τ，ω)為依賴于τ，ω和D的正實數．

證用方程(4)與-vxx做內積，得

(25)

由假設(E1)，(E2)，(E3)，(E4)以及引理2和Young不等式，得

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

則由(25)-(32)式可以得出

(33)

由引理1可得

(34)

(35)

令τ∈R，t≥4ρ+1，ω∈Ω，κ∈(τ+s-2ρ-1，τ+s-ρ-1)，s∈[-ρ，0]，σ1∈[τ-ρ-1，τ]，對(33)式在[κ，σ1+s]上求積分，用τ-t和θ-τω分別代替τ和ω，則由(34)，(35)式可以得出

(36)

與(36)式的證明類似，對(33)式在[τ-ρ，τ]上積分，由(34)，(35)和(36)式可得

(37)

其中Q1(τ，ω)，Q2(τ，ω)為依賴于τ，ω和D的正實數．由(5)，(36)和(37)式得引理3成立．

引理4假設(E1)，(E2)，(E3)，(E4)，(5)和(6)式成立，則對任意τ∈R，ω∈Ω和D∈D，存在T=T(τ，ω，D)≥4ρ+1，使得對任意t≥T，ψ∈D(τ-t，θ-tω)，v滿足

其中R2(τ，ω)是依賴于τ，ω和D的正實數．

證用方程(4)與vxxxx做內積，可得

(38)

由假設(E1)，(E2)，(E3)，(E4)以及引理2，可得

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

由(38)-(43)式可以得出

(44)

由引理2可得

(45)

令τ∈R，t≥4ρ+1，ω∈Ω，κ1∈(τ+s-1，τ+s)，s∈[-ρ，0]，κ1≤κ2，對(44)式在[κ1，κ2+s]上求積分，用τ-t和θ-τω分別代替τ和ω，再用τ代替κ2，由(34)，(35)，(45)式可得

(46)

與(46)式的證明類似，對(44)式在[τ-ρ，τ]上積分，由(34)，(35)，(45)，(46)式可得

(47)

3 拉回吸引子

引理5假設(E1)，(E2)，(E3)，(E4)，(5)式和(6)式成立，則非自治隨機動力系統Ψ有一個閉的可測的D-拉回吸收集K={K(τ，ω)：τ∈R，ω∈Ω}∈D，K(τ，ω)定義為

其中R(τ，ω)由(10)式定義．

證由引理1，對任意的τ∈R，ω∈Ω和D∈D，存在T=T(τ，ω，D)>0，使得對任意t≥T有

Ψ(t，τ-t，θ-tω，D(τ-t，θ-tω))?K(τ，ω)

引理6假設(E1)，(E2)，(E3)，(E4)，(5)式和(6)式成立，則非自治隨機動力系統Ψ在Xρ上是D-拉回預緊的．

為了證明在Xρ上vτ(·，τ-tn，θ-τω，ψn)是預緊的，首先證明vτ(·，τ-tn，θ-τω，ψn)在Xρ上等度連續，由假設(E1)，(E2)，(E3)，(E4)以及引理1、引理3、引理4和(4)式可知，存在N1=N1(τ，ω)>0，使得對任意n>N1有

其中c=c(τ，ω)>0．因此對任意n>N1，s1，s2∈[-ρ，0]，且s1>s2，有

定理1假設(E1)，(E2)，(E3)，(E4)，(5)式和(6)式成立，則連續非自治隨機動力系統Ψ在Xρ上存在D-拉回隨機吸引子．

證由于引理5和引理6的結論滿足文獻[3]中D-拉回隨機吸引子的存在性條件，所以連續非自治隨機動力系統Ψ在Xρ上存在D-拉回隨機吸引子．