一次函數背景下的存在性問題

王帥兵

(湖南省鄭州市孜文教育信息咨詢有限公司 450000)

一、兩定一動型，注意好“一上一下”

兩定一動型，是指在給定兩個點的情況下，另一點在一條線上運動所產生的面積問題，解決這類問題，要做好題目分析，有一邊與坐標軸平行時直接求解；沒有邊與坐標軸平行時，用好“鉛錘法”(或“割補法”)，同時注意好“一上一下”.

例1如圖1所示，一次函數y=2x+4的圖像與坐標軸分別交于點A、B，在一次函數的圖象上是否存在一點P，使得△AOP的面積為3？

圖1

例2如圖2所示，直線y=1/2x與直線y=-x+3相交于點A，點B是直線y=1/2x上的一個點，且橫坐標為4.如果點P是直線y=-x+3上的一個動點，且滿足△ABP的面積為9，那么點P的坐標為____.

圖2 圖3 圖4

二、等腰三角形，用好“兩圓一線”

在一次函數的背景下，等腰三角形的存在性問題可以借助圖形的基本性質來解，利用同端點、等長度作圓和線段垂直平分線.

例3如圖5所示，直線y=x+4與坐標軸交于點A和點B，在x軸上是否存在點P，使得△ABP為等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標.

圖5 圖6

三、直角三角形，利用頂點來分類

對于直角三角形的存在性，可以利用頂點來分類，然后結合具體條件求解.

例4如圖7所示，在平面直角坐標系xoy中， 三角板的直角頂點P的坐標為(2，2)， 一條直角邊與x軸的正半軸交于點A，另一直角邊與y軸交于點B， 三角板繞點P在坐標平面內轉動的過程中，當△POA為直角三角形時，請求出所有滿足條件的點B的坐標.

圖7 圖8 圖9

思路分析分析題設條件可得，∠POA=45°，不可能為直角，△POA的另兩個角可以是直角.如圖8，當OA⊥AP時，可求出點B的坐標為(0，2)；如圖9，當OP⊥PA時，點B和點O重合，點B坐標為(0，0).綜上所述，點B的坐標為(0，2)或(0，0).

四、等腰直角三角形，借助弦圖輕松解

等腰直角三角形的分類問題，可以在構造基本直角的情況下，借助弦圖求解.

例5如圖10所示，直線y=-2x+4與坐標軸交于點A和點B，在第一象限內是否存在點P，使得△ABP為等腰直角三角形？

圖10 圖11

思路分析由題設條件易得，A(2，0)、B(0，4)，OA=2，OB=4.利用Rt△AOB作弦圖，如圖11所示，其中P1、P2、P3是滿足條件的點.利用弦圖中的全等三角形的性質，以及線段長與坐標的相互轉化，可得三點的坐標分別為：P1(4,6)、P2(6,2)、P3(3,3).

五、全等三角形，對應后綜合求解

全等三角形的存在性問題，要注意好頂點的對應，然后借助多種基本方法解題.

例6如圖12所示，在平面直角坐標系中作矩形OABC，點B坐標為(4，8)，將△ABC對折，使點A與點C重合，折痕交AB于點D，坐標系內是否存在點P(除點B外)，使△APC與△ABC全等？若存在，直接寫出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

圖12 圖13 圖14

六、等距離軌跡問題，借助坐標軸三角形構造相似

在一次函數背景下的等距離軌跡問題，可以借助一次函數圖像與坐標軸的交點，構造相似圖形，求出點的坐標，進而找到點所在直線的表達式.

圖15 圖16

綜上，解決一次函數的存在性問題，一定要研究好背景圖形，調用基本技巧和方法，構圖確定位置，畫圖解答.