任意初態下的工業機器人迭代學習控制

惠小健

西京學院 理學院，西安710123

執行重復運動的工業機器人的精確軌跡跟蹤控制，對保證生產安全，提升產品品質具有重要的意義。迭代學習控制算法是工業機器人最常用的控制算法[1-4]，但迭代學習控制算法實現軌跡跟蹤的前提是每次的迭代初值相同，該要求在實際工程中很難實現，為此，研究任意初態下的機器人軌跡精確跟蹤控制具有重要的工程應用意義。

迭代學習控制[5]（Iterative Learning Control，ILC）通過利用先前的軌跡跟蹤誤差和控制輸入信息來產生當前次的控制輸入，以實現對系統跟蹤估計的調整，在足夠次的迭代學習下，系統輸出達到對期望軌跡的精確跟蹤。迭代學習控制算法的核心是迭代學習的收斂性，而迭代初值則制約著迭代學習算法的收斂性[6-7]。綜合現有研究成果，迭代初值問題主要分三種情況[6-8]，第一種情況是迭代初值固定，第二種情況是迭代初值在期望值某一領域內變動，第三種情況則是任意初態下的迭代學習控制。只有第三種情況因最符合實際工程應用，使得其成為當前學者攻關的重點。對任意初態下的迭代學習控制算法，當前主要有兩種方法，一種是基于壓縮映射方法[9]，在固定PID迭代學習控制器的前提下，探討的是抑制任意初態的策略和保證PID 迭代學習控制收斂的條件。第二種算法則是基于李雅普諾夫函數推出的非線性迭代學習控制算法[10-12]，該方法是基于李雅普諾夫穩定理論，構造非線性迭代學習控制器，以實現對期望軌跡的局部精確跟蹤。隨著現代控制理論研究成果的成熟，如何將現代控制理論與迭代學習控制相結合，以改善迭代學習控制算法的魯棒性和任意初值問題，成為一個新的研究點，為此，本文根據滑模控制算法中的任意初態能在有限時間內收斂到滑模面的特性[13]，提出一種基于滑模面的機器人迭代學習控制算法，達到對任意初態下的機器人軌跡精確跟蹤控制，并從理論上和數值仿真上驗證本方法的有效性和可行性。

本文的主要創新點主要表現在：（1）建立關于跟蹤誤差的滑模面，使處于任意位置下的系統初態在有限時間內收斂到滑模面內，而滑模面在有限次迭代后將收斂到0，實現機器人軌跡與期望軌跡的精確跟蹤。（2）基于李雅普諾夫穩定理論，為機器人軌跡跟蹤系統設計了非線性迭代學習控制算法，并理論證明了迭代學習的收斂性。

1 控制問題描述

考慮如下n自由度剛性機器人系統[9]：

機器人系統中的矩陣滿足如下條件：

（1）矩陣D(q)為對稱正定矩陣。

控制問題描述：對在區間[0,T]上做重復運動的工業機器人系統，記期望位置函數為qd(t)，且速度和加速度存在。位置跟蹤誤差為ek(t)=qd(t)-qk(t)，其中k為迭代次數。設在任意初態條件下，即ek(0)≠0，設計迭代控制器uk，使跟蹤誤差ek(t)在區間[Δ,T]上實現完全跟蹤。

2 基于滑模面的迭代學習控制器設計

對于任意初值的重復運動過程，其核心問題是在最初的[0,Δ]時間內，軌跡跟蹤誤差ek(t)≠0，但只要能保證軌跡跟蹤誤差在區間[Δ,T]上滿足ek(t)≡0，則依然能滿足機械臂執行重復運動的控制目標，因此，任意初態下的迭代學習控制，其核心是要求在有限時間Δ內，使得系統的軌跡跟蹤誤差收斂到0，基于此，本文結合有限時間控制方法，給出一種抑制任意初態的滑模迭代學習控制算法。滑模控制迭代學習控制的結構圖見圖1所示。

圖1 滑模迭代學習控制結構圖

定理1[14]如果存在正定Lyapunov函數V(x)及參數λ1＞0,λ2＞0 和0＜α ＜1 滿足：

則系統狀態x(t)能夠在有限時間內到達原點，且到達時間滿足：

設有滑模面：

當σ(t)=0 時，，取李雅普諾夫函數V0=0.5eTe，則有：

根據定理1，可得到跟蹤誤差將會在有限時間內收斂到0，且收斂時間：

可見，選擇適當的參數k1,k2,β，使得：

則在t≥Δ之后，系統的跟蹤誤差e(t)≡0，同理可以得到

對于t≥Δ，要使跟蹤誤差在t∈[Δ,T]滿足e(t)≡0，其前提是滑模面σ(t)=0，因此，在對機器人系統設計迭代學習控制器時，若能使系統經過有限次迭代后，使得在整個迭代區間[0,T]內，滑模面σ(t)≡0，即可保證機械臂的軌跡跟蹤誤差在t∈[Δ,T]滿足e(t)≡0。

根據式（1），記第k次迭代的機器人系統為：

引入新的變量：

則本文建立迭代學習控制器為：

下面證明迭代學習控制的收斂性和穩定性。

第一步，構造正定李雅普諾夫函數Vk(t)，并證明李雅普諾夫函數Vk(t)關于時間t單調遞減。根據滑模面的定義，有：

對滑模面求導，得：

構造動態方程：

構造正定李雅普諾夫函數：

則有：

將控制器式（7）代入式（11），則有：

式（12）說明Vk(t)關于時間t單調遞減。

當k=1時，因為函數D(q1),σ1(t) 分別關于時間t連續，且t∈[0,T] ，因此V1(t) 在t∈[0,T] 內有界。再由可知，有界。

說明李雅普諾夫函數Vk(T)隨迭代次數而遞減。

通過以上證明可以得到，本文所設計的控制器式（7）能有效抑制隨機初始狀態，且能保證隨著迭代次數的增加，實現對給定期望的精確跟蹤。

3 仿真驗證

本文選擇文獻[16]中的機器人模型參數：

3.1 有效性驗證

采用本文所設計的迭代學習控制算法進行編程，仿真次數設為10次，經過10次迭代學習后，機器人系統輸出與期望輸出軌跡見圖2和圖3所示。

圖2 機器人位置跟蹤圖（第10次）

通過以上仿真結果可以看出，在每次迭代過程中，雖然機械臂的初始狀態為任意值，但在本文所設計的迭代學習控制算法下，機械臂的位置僅在最初很短時間內與期望位置有偏差，隨后，機械臂的位置與期望位置幾乎達到精確跟蹤；機械臂的加速度對期望加速度的跟蹤收斂時間雖然長一點，但是加速度也在0.2 s內達到精確跟蹤，說明本文所設計控制算法能有效抑制任意初態，且能保證機器人實現對期望軌跡的精確跟蹤。

圖3 機器人速度跟蹤圖（第10次）

3.2 抗干擾能力分析

為驗證本文所設計迭代學習控制算法的抗干擾能力，在機器人軌跡跟蹤系統中增加外部干擾項采用同樣的控制參數和控制器進行數值仿真，迭代10次后的仿真結果見圖4、圖5所示。

圖4 機器人位置跟蹤圖（第10次）

圖5 機器人速度跟蹤圖（第10次）

通過圖4和圖5可以看出，在相同仿真條件下，即便是機器人軌跡跟蹤系統中增加了外部干擾，經過10 次迭代學習后，機器人依然能保證對期望軌跡的精確跟蹤，且跟蹤效果與沒有干擾項的跟蹤效果相同，說明本文所設計的控制器也具有較強的抗干擾能力。

3.3 對比分析仿真

為驗證本文所設計算法的優越性，針對本文所給的機器人系統模型，分別采用本文設計的滑模迭代學習控制器與文獻[8]和文獻[9]所給的控制器進行對比仿真分析，迭代10 次后的三種算法的仿真結果見圖6、圖7所示。

圖6 機器人位置跟蹤圖（第10次）

圖7 機器人速度跟蹤圖（第10次）

根據圖6和圖7可以看出，雖然文獻[8]和文獻[9]中的控制器最終也能實現對期望位置和速度的精確跟蹤，但在最初[0,Δ]時間內，本文方法不僅跟蹤時間更短，且波動幅度更小。就位置跟蹤精度來說，通過圖6可以看出，本文方法的精度要比文獻[8]和文獻[9]的跟蹤精度更高。

4 結束語

本文以任意初態下的機器人軌跡跟蹤控制系統為研究對象，基于有限時間控制理論，設計了基于位置和加速度跟蹤誤差的滑模面，使得在滑模面內，無論初始位置和初始加速度處于何處，機器人的位置和加速度均能在有限時間內收斂到期望的位置和加速度，有效解決了迭代學習中的任意初值問題。接著從理論分析入手，理論證明了在本文所設計的非線性迭代學習控制算法下，機器人系統經有限次迭代學習后，滑模面將一致收斂到零，以保證整個迭代學習過程的收斂性和機器人軌跡跟蹤的精確性。