大尺度洛倫茲破缺與空間平坦性

李 靜,薛 迅,2

（1. 華東師范大學 物理與電子科學學院, 上海 200241; 2. 新疆大學 理論物理中心, 烏魯木齊 830046）

0 引 言

其中, 宇宙學密度.輻射為主的早期, 有ρa4=const (常數), 式(1)等號右邊正比于a2; 在物質為主的階段, 則有ρa3=const, 式(1)等號右邊正比于a. 宇宙從極早期演化到現在, 無論在哪個時期, 宇宙尺度因子都是在不斷增長的. 如果K0, 那么式(1)等號左邊表達式的絕對值就應該不斷增長. 宇宙的演化從普朗克時期也就是t=10?43s 到目前,a(t) 已經增大了幾十個量級, 那么的值也增大了幾十個量級. 觀測到目前?對1的偏離最多為1的量級, 那么現在的值也應該是1的量級. 按照宇宙的演化規律逆推, 得到普朗克時期的宇宙學密度?p=1±10?N, 其中N是1個至少為幾十的正數. 這說明在普朗克時期結束時, 臨界密度和宇宙物質密度在很多位有效數字上是相同的, 而這兩個量又不完全相等. 否則, 宇宙就不可能經過漫長的演化而具有現在的空間準平坦性.

將Ia型超新星作為標準燭光得到了宇宙是在加速膨脹的結論. 大尺度觀測表明, 宇宙加速膨脹發生在較晚的時刻[1]. 因此, 人們提出了幾種嘗試來描述宇宙加速膨脹的方法. 通常, 對此有兩種解釋:一種是假定一個具有負壓的能量, 稱之為暗能量; 另一種是修正引力理論. 基于這兩種解釋, 人們又提出了許多模型. 但是由于參數空間的簡并性, 很難確定哪一個模型是對的, 其中 ΛCDM 模型在一定程度上能夠解釋觀測數據[2].

基于 ΛCDM 模型的假設,CMB的觀測可以得到H0=(67.27±0.60)km/(s·Mpc)[1], 這與許多早期的H0估計值是相容的. 相反, 搭建距離階梯的局域測量得到的更高的H0值, 誤差棒較大. 來自超新星和SH0ES的最新測量結果為H0=(73.52±1.62)km/(s·Mpc), 這與 CMB測量數據有超過 3σ的差距[3],這是現代宇宙學中最難以解決的問題. 人們已經提出了多種方法來解決這個問題, 例如引入一個超越標準 ΛCDM 模型的新宇宙模型.

本文想要弄清楚的是當前的觀測數據是否能夠容納一個空間曲率不為0的宇宙學模型. 當前的宇宙學觀測支持宇宙是空間平坦的, 例如結合Planck2018宇宙微波背景( CMB )和重子聲學振蕩測量,得到?K=0.001±0.002[1]. 但是, 這些約束條件是基于特定宇宙學模型(如標準 ΛCDM 模型)的預先假設. 需要注意的是, 暗能量和空間曲率的觀測約束是相互依賴的, 當人們試圖同時約束這兩個量時, 往往會出現簡并[4], 因此很難同時約束這兩個量. 一般來說, 在估計空間曲率的時候, 會直接將暗能量假設為不變的宇宙學常數; 反過來, 在分析暗能量的時候, 會直接假設宇宙是空間平坦的. 實際上, 如果暗能量的密度是隨著時間變化, 那么宇宙的幾何限制會變得更加寬泛, 甚至可能取決于暗能量的早期性質[5]; 即使實際的空間曲率很小, 直接假設宇宙是空間平坦的也可能會構建錯誤的暗能量狀態方程.簡單地將暗能量看作是不變的宇宙學常數, 是不能辨別暗能量狀態方程是否是動力學的[6]. 進一步來說, 最新的SneIa數據與空間平坦的 ΛCDM 假定之間導致的H0的緊張關系[7]最終可能支持空間非平坦宇宙[8].

通常認為, 選擇空間非平坦宇宙是因為早期的暴漲導致今天的宇宙幾乎空間平坦, 但是空間曲率并不是完全等于0的. 如果e-折數不是很大, 空間平坦性就不是必要的[9]. 研究晚期宇宙時, 空間曲率可能仍然對Friedmann方程有貢獻, 盡管觀測表明空間曲率的貢獻比其他能量分量小得多.

最近的觀測結果使問題變得更加復雜. 觀測表明宇宙膨脹的減速因子是隨著時間變化的, 大約在60億年前, 宇宙從減速膨脹變成了加速膨脹. 在 ΛCDM 模型中, 宇宙學常數可以看成是來自真空能量密度, 是導致宇宙加速膨脹的原因. 在考慮了大尺度洛倫茲破缺以后[10], 洛倫茲破缺效應所導致的大尺度撓率分布結合真空能量密度共同產生了宇宙后期的加速膨脹. 因此, 我們可以定義一個引起宇宙后期加速膨脹的有效真空能量密度: 利用物質密度?M的演化與初值條件將裸的宇宙學常數Λ0限制在一個可取范圍內; 再利用有效真空能量密度, 將不同空間曲率取值下的Λ0限制在合理范圍之內. 在允許的取值范圍下, 討論空間不平坦的大尺度洛倫茲破缺模型的表現.

1 大尺度洛倫茲破缺下的引力理論

文獻[10]討論了空間曲率為0的大尺度洛倫茲破缺宇宙模型. FRW(Friedmann-Robertson-Walker)度規的形式為

引力場運動方程為

和

本文旨在探討基于空間不平坦條件下大尺度洛倫茲破缺模型的表現. 需要注意的是模型缺乏K(t)的演化機制, 方程組(5)和(6)并不封閉. 洛倫茲破缺的區域經歷了隨暴漲尺度超出視界, 后期再重入視界的過程. 由此導致K(t) 的動力學演化, 原則上需要借助具體的量子引力和暴漲模型才能給出其預言. 但是唯象地, 借助 ΛCDM 這個唯象模型或者是假定暗伴滿足某一狀態方程, 可以對K(t) 的動力學演化給出近似. 具體地, 可以將 ΛCDM 模型Friedmann方程中獨立的一個加入修正的Friedmann方程使方程組封閉, 有兩種選擇, 得到兩種近似情形. 加入暗伴狀態方程, 封閉方程組可以做出第三種近似, 文獻[11]給出了3種近似, 具體如下.

第一種近似(CaseA),

第二種近似(CaseB),

第三種近似(CaseC),

式(7)–式(8)中 Λ為借助 ΛCDM 模型, 由天文或者宇宙學觀測所定出的宇宙學常數的觀測值, 即以當前的觀測值來表示裸宇宙學常數.

注意區別: w 為宇宙介質的狀態方程參數, 即 p=wρ; w0為暗伴的狀態方程參數, 即 pΛ=w0ρΛ.

ΛCDM 的Friedmann可以寫為

類似地, 將大尺度洛倫茲破缺模型的Friedmann方程改寫為

對比式(10)和式(11), 在大尺度洛倫茲破缺模型中對宇宙加速膨脹起作用的不僅是裸宇宙學常數 Λ0,還有來自 K(t) 的貢獻, 其總的貢獻可以定義有效宇宙學常數

來刻畫. 同樣借助ΛCDM模型的Friedmann方程可以得到K(t)的初始條件. 當前時刻的contortion有兩種取值可能, 分別是

為第一種初值;

從式(15)可以看出, 對于一個具體的大尺度洛倫茲破缺模型, 需要輸入曲率常數 K 、當前時刻的宇宙尺度因子 a0、哈勃常數 H0和裸的宇宙學常數 Λ0. 在后文中以宇宙學常數的觀測值Λ的倍數關系來表示裸宇宙學常數Λ0.

由于加速膨脹發生在宇宙的后期, 我們只考慮物質為主的時期, 在 ω=0 的情況下, 結合大尺度洛倫茲破缺模型的Friedmann方程、3個近似條件, 以及 K(t) 的初始條件, 可以得到哈勃參數 H(t) 和contortion 的演化. 在不同的取值情況下, 哈勃參數 H 隨著宇宙尺度因子 a 的演化情況見圖1–圖3.

將圖1給出的3種近似情況下哈勃參數隨著宇宙尺度因子的演化曲線與 ΛCDM 模型的演化進行比較, 可以看出, CaseC2的演化與其他模型的演化之間有比較大的差異; 在宇宙尺度因子為1以后,各個模型的演化結果差異很小; 從整體來看, CaseB與 ΛCDM 模型的演化結果趨近于完全相同.

從圖2和圖3可以看到, 在 K=?1的情況下CaseA2與CaseC2的演化與 ΛCDM 模型差異比較大, 同時CaseA1、CaseB1、CaseC1、CaseB2與 ΛCDM 模型之間的差異很小. 結合圖1、圖2和圖3來看, 在 K=?1,K(t)取第一種初值的情況下, 3種近似情況都與 ΛCDM 模型的演化情況非常接近.

由于光線還是沿著測地線運動, 所以大尺度洛倫茲破缺模型的紅移公式與ΛCDM模型一樣, 即

圖1 K=+1,Λ0=?0.02Λ, a0H0=3.5的情況下, 哈勃參數隨尺度因子的演化Fig. 1 The Hubble constant changes with the scale factor whenK=+1,Λ0=?0.02Λ,a0H0=3.5

圖2 K=?1,Λ0=?0.02Λ,a0H0=3.5 的情況下, 哈勃參數隨尺度因子的演化Fig. 2 The Hubble constant changes with the scale factor whenK=?1,Λ0=?0.02Λ,a0H0=3.5

根據光度距離dL的定義, 可以得到

其中,dL為光度距離,為哈勃距離,為當前的曲率密度. 轉化為以紅移z為變量的,K(z) 與dL(z) 的方程組為

圖3 K=?1,Λ0=?0.02Λ,a0H0=3.0和 a0H0=2.5 的情況下, 哈勃參數隨尺度因子的演化Fig. 3 The Hubble constant changes with the scale factor when K=?1,Λ0=?0.02Λ,a0H0=3.0 and2.5

定義距離模數

其中, Mpc是兆秒差距, 公式中的這一步代表無量綱化. 不同取值情況下, 光度距離dL隨著紅移的演化見圖4.

圖4 K=+1,w0=?1,a0H0=3.5,Λ0=?0.02Λ 的情況下, 光度距離隨著紅移的演化Fig. 4 The luminosity distance changes with redshift whenK=+1,w0=?1,a0H0=3.5,Λ0=?0.02Λ

從圖4給出的不同近似模型的光度距離隨紅移的演化結果中可以看出, CaseA、 CaseB與ΛCDM模型的演化差距比較小, CaseC與 ΛCDM 模型的演化差距較大.

2 計算結果與數據分析

由大尺度洛倫茲破缺模型的Friedmann方程可以得到

在K=+1和K=?1兩種情況下, 不同的a0H0對應的最小的Λ0取值Λmin見圖5.

根據修正的Friedmann方程, 對于所有的近似情況, 可以得到物質密度?M隨著時間的演化過程.3種近似在不同的Λ0取值下,?M的演化見圖6.

隨著Λ0的增加,?M會出現小于0的情況. 為了保證?M≥0, 也就是模型必須滿足, 從而求解出Λ0的最大取值Λmax. 它表示在宇宙尺度因子為 0.01a0至 20a0的范圍內,Λ0的取值大于Λmax就會出現?M小于0的情況. 表1和表2列出了不同取值情況下的Λmax.

圖5 不同的 a0H0對應的 Λmin : a) K=+1; b) K=–1Fig. 5 Λmin changes with a0H0 : a) K=+1; b) K=–1

圖6 K=+1, a0H0=3.5,Λ0=?0.02Λ 情況下, 物質密度 ?M 隨尺度因子的演化Fig. 6 The matter density ?M changes with the scale factor when K=+1, a0H0=3.5,Λ0=?0.02Λ

表1 K=+1情況下 Λmax 的值Tab. 1 The value of Λmax whenK=+1

可以看到,Λ0的取值大于0時都會出現?M小于0的情況. 因此將Λ0的值限制在小于0 的范圍,也就是說Λmax≈0.

文獻[11]探討了在不同的Λ0取值下,Λeff演化行為的變化, 發現對所有的近似情況都存在Λ0的臨界值Λ0-crit, 當Λ0<Λ0-crit時,Λeff的行為為隨時間單調下降, 當Λ0>Λ0-crit的時候Λeff的演化存在局域極小, 并且Λ0-crit取值近似為0; 歸結起來, 其結論為當Λ0來自弦景觀時,Λeff單調下降, 當Λ0來自沼澤地時,Λeff具有局域極小. 文獻[12]表明, 如果用基于標量quintessence場的勢能V(?)模擬Λeff,當Λ0來自弦景觀時,V(?)為單調下降的quintessence勢,Λ0來自沼澤地時,V(?) 為有局域極小的亞穩de Sitter勢. 我們在這里研究了K=+1,K=?1的Λ0-crit隨Λ0的取值不同而產生的變化, 表3和表4給出了其數值結果, 具體的解如圖7所示. 從圖5可以看到, 在K=+1的情況下,a0H0<2時,Λmin>0, 也就是說此時出現了Λmin>Λmax, 因此不需要討論K=+1,a0H0≥2 的Λ0-crit情況.

表2 K=?1情況下 Λmax 的值Tab. 2 The value of Λmax whenK=?1

表3 K=+1 時Λ0-crit的值Tab. 3 The value of Λ0-crit whenK=+1

表4 K=?1 時Λ0-crit的值Tab. 4 The value of Λ0-crit when K=?1

圖7 K=+1,a0H0=3.5情況下,Λeff 從單調下降的quintessence類型到出現局域極小類型的轉變Fig. 7 Λeff transitions from a monotonically decreasing quintessence type to a local minimum type with changes in the scale factor whenK=+1,a0H0=3.5

從圖8–圖13可以看到, 在我們限制的Λ0取值范圍內, 在不同的空間曲率取值下, 3種近似情況下, 距離模數的理論預測值都在觀測誤差之內. 也就是說, 觀測結果并不能對我們的模型進行有效的篩選.

圖8 K=+1,Λ0=?0.02Λ,a0H0=3.5 情況下, 距離模數的模型預言值與測量值的對比Fig. 8 Comparison of the measured distance modulus with its expected value when K=+1,Λ0=?0.02Λ,a0H0=3.5

圖9 K=+1,Λ0=?0.02Λ,a0H0=3.0 情況下, 距離模數的模型預言值與測量值的對比.Fig. 9 Comparison of the measured distance modulus with its expected value when K=+1,Λ0=?0.02Λ,a0H0=3.0

圖10 K=+1,Λ0=?0.02Λ,a0H0=2.5 情況下, 距離模數的模型預言值與測量值的對比Fig. 10 Comparison of the measured distance modulus with its expected value when K=+1,Λ0=?0.02Λ,a0H0=2.5

ΛCDM模型中的?Λ、空間平坦的大尺度洛倫茲破缺模型中的?eff(K=0) 、空間不平坦的大尺度洛倫茲破缺模型中的?eff(K=±1)以及?K隨著宇宙尺度因子的演化結果見圖14, 其中大尺度洛倫茲破缺模型均以CaseA1為例.

從圖14可以看到?Λ、?eff(K=0) 和?eff(K=±1) 的演化結果是相近的, 所以單純從效果上看,它們的貢獻是簡并的.

圖11 K=?1,Λ0=?0.02Λ,a0H0=3.5 情況下, 距離模數的模型預言值與測量值的對比Fig. 11 Comparison of the measured distance modulus with its expected value when K=?1,Λ0=?0.02Λ,a0H0=3.5

圖12 K=+1,Λ0=?0.02Λ,a0H0=3.0 情況下, 距離模數的模型預言值與測量值的對比Fig. 12 Comparison of the measured distance modulus with its expected value when K=+1,Λ0=?0.02Λ,a0H0=3.0

圖13 K=+1,Λ0=?0.02Λ,a0H0=2.5 情況下, 距離模數的模型預言值與測量值的對比Fig. 13 Comparison of the measured distance modulus with its expected value when K=+1,Λ0=?0.02Λ,a0H0=2.5

根據修正的Friedmann方程可以得到曲率密度 ?K隨著宇宙尺度因子的演化結果, 在K=+1 和K=?1這兩種情況下, 曲率密度的演化見圖15.

由此可以得到?K的最大值與最小值. 在K=+1的情況下, CaseC1具有最小的曲率密度?K=?0.34 ;在K=?1的情況下, CaseA1具有最大的曲率密度?K=0.6. 曲率密度的絕對值都是先增大, 在到達最大值后, 逐漸減小, 直至趨近于0. 曲率密度絕對值也可以參考圖1—圖3,H的演化是衰減的,a2H2在演化過程中具有最小值.

圖14 K=+1,a0H0=3.5,Λ0=?0.02Λ 情況下, 3種模型之間的比較Fig. 14 Comparison of the three models whenK=+1,a0H0=3.5,Λ0=?0.02Λ

圖15 K=+1,a0H0=2.5,Λ0=?0.072Λ情況下,?K 隨尺度因子的演化Fig. 15 ?K changes with the scale factor whenK=+1,a0H0=2.5,Λ0=?0.072Λ

在我們考慮的限制條件下, 根據修正的Friedmann方程可以得到a¨ 的演化, 也就是宇宙膨脹的加速度.K=+1和K=?1情況下,a¨ 隨著宇宙尺度因子的演化見圖16. 從圖16可以粗略地得到, 在宇宙尺度因子為 0.5a0之前宇宙是減速膨脹的, 在此之后, 宇宙變為加速膨脹, 這與觀測到的宇宙由減速膨脹變為加速膨脹是一致的, 從而進一步地加強了空間非平坦的大尺度洛倫茲破缺模型的可信度.

圖16 隨尺度因子的演化: a) K=+1,a0H0=3.5,Λ0=?0.02Λ ; b)K=?1,a0H0=3.5,Λ0=?0.02ΛFig. 16 changes with the scale factor: a) K=+1,a0H0=3.5,Λ0=?0.02Λ ;b)K=?1,a0H0=3.5,Λ0=?0.02Λ

3 總結與展望

導致高紅移測量與低紅移測量之間的H0緊張關系的原因迄今未知. 人們已經提出了很多解決H0緊張關系的方法. 有人提出是因為存在系統誤差, 然而這些主張很快就被否定了[13-16]. 雙中子星并合產生的引力波[17]或許能對H0進行獨立的測量[18], 雖然未來的觀測應該能夠將誤差減小[19-24]. 但是目前這種測量方法的誤差較大(因為是單個事件), 因此并不能解決H0測量值之間的緊張關系. 此外, 作為ΛCDM 模型最簡單的替代模型之一: 在非平坦的FRW宇宙中, 具有光滑勢能的, 緩慢或者中等速度滾動的quintessence場, 被期望可以解決哈勃常數測量之間的緊張關系. 但是在結合了最新的CMB,SNe和BAO數據后發現, 這種模型并不能減緩哈勃常數的緊張關系[25].

在文獻[26]中, 提出了基于Simsilum仿真與射線跟蹤算法來解決H0測量值之間緊張關系的方法,由于宇宙結構的相對論性與非線性演化導致出現了空間曲率不為0的現象. 由此推斷出的哈勃常數H0=(68.1±2.0)km/(s·Mpc)能夠減緩CMB與距離階梯之間的H0測量值之間的緊張關系. 因此, 導致空間曲率不為0的非線性相對論性演化能夠緩解CMB與距離階梯之間的H0測量值之間的緊張關系, 并且認為出現這種緊張關系是FLRW幾何的剛性體現.

當前階段, 空間曲率不為0似乎是解決哈勃常數問題的可行方法. 實際上, 我們也可以反而言之,低紅移和高紅移測量之間存在的緊張關系是空間曲率不為0的一個間接證據. 從天文觀測的角度來看, 目前在低紅移還沒有對空間曲率進行直接測量(得到的約束也僅僅是將FLRW擬合到數據的結果, 這并不等價于直接測量).

總而言之, 雖然空間不平坦的大尺度洛倫茲破缺模型相較基于K0 的 ΛCDM 模型, 多出了一個宇宙學尺度上的contortion參量, 但是通過多種方式能夠將各個輸入值很好地限制在一定的范圍內,并且在此范圍內得到的距離模數、宇宙膨脹加速度等理論預言都能比較好地與觀測結果吻合.

結合 CMB溫度漲落功率譜, 利用 ΛCDM 模型可以嚴格限制各宇宙學參數. 同樣地, 基于大尺度洛倫茲破缺模型, 結合當前的 CMB 數據, 也能夠限制空間不平坦的大尺度洛倫茲破缺模型預言的哈勃常數, 再將其與基于 ΛCDM 模型 CMB得到的H0, 局域測量得到的H0比較分析來確定空間不平坦的大尺度洛倫茲破缺模型能否使H0測量問題得到改善. 具體計算需要借助類似Code for Anisotropies in the Microwave Background(CAMB)的計算軟件包, 由 CMB 數據得到具體的宇宙學模型下的宇宙學參數值, 最新研究也指出H0的測量疑難[7]可能與空間平坦 ΛCDM 假定有關, 空間非平坦的宇宙可以是一個備選選項[8]. 本文研究了空間非平坦大尺度洛倫茲破缺模型中空間曲率密度受到的限制, 發現空間曲率非零與現有的觀測是可以協調的, 這為利用空間曲率非零的宇宙學模型解決H0緊張關系提供了一個可行的前提. 我們擬在將空間曲率非零的大尺度洛倫茲破缺模型與 CMB 溫度漲落功率譜結合,利用諸如CAMB之類的相關計算軟件包計算相應的H0值, 在解決H0的緊張關系方面開展進一步的研究.