核物質的低能有效場論研究

潘廷緯,楊繼鋒

（華東師范大學 物理與電子科學學院, 上海 200241）

0 引 言

自盧瑟福發現原子的核式結構開始, 到查德威克發現中子[1], 人類開始了對原子核結構的研究.20世紀70年代建立起來的量子色動力學(Quantum Chromodynamics, QCD), 被確認為是目前描述核子間強相互作用的基本理論. 但在低能條件下QCD是非微擾的, 用它來解析求解核力非常艱難[2].1979年, Weinberg等[3]提出了用QCD低能有效場論來計算強子中低能物理, 在介子系統中取得了巨大成功, 并發展成為以手征對稱性為指導的手征微擾論. 在此基礎上, 1990年, Weinberg等[4]又提出了可以利用手征微擾論構造核子-核子散射勢能, 并使用薛定諤方程和Lippmann-Schwinger方程(LSE)求解出了相應的散射振幅. 由此, 手征微擾論應用到了非微擾的核子相互作用中. 但是該方案構造出的散射勢能隨著展開級數的增加, 會出現嚴重的紫外發散, 而且由于LSE框架是非微擾的, 處理這些發散變得非常困難[5]. 針對這一挑戰, 出現了兩種應對方案: 一是美國KSW小組的方案(KSW方案), 其將冪次規則進行修改, 然后微擾展開散射矩陣, 將高階部分作為微擾來進行計算, 但結果是收斂并不好[6]; 二是德國EGM小組采用的, 即利用有限截斷來消除發散, 這樣有較好的數值結果, 但卻難以獲得解析解[7-8], 被視為脫離了場論框架. 近年來, 學界將上述有效場論的應用范圍從真空核子-核子散射推廣到了有限密度下的核子-核子間的相互作用. 如, Hammer等[9]和Steele等[10]分別在微擾框架下求解了散射矩陣, 并求解了相應的核子平均能量; Krippa[11]則是將KSW方案從真空環境推廣到了多粒子環境, 從散射勢能出發, 通過求解Bethe-Goldstone方程(BGE), 導出了Brückner G矩陣(Brückner G矩陣可以看作是T矩陣在密度背景中的推廣). 但是Krippa在處理相應發散問題的時候仍然沿用了KSW方案, 因此也受到KSW方案缺陷的拖累.

對于低能有效場論來說, 非微擾框架下的重整化一直是個重要課題. 以往的主要做法是采取各種展開的辦法來回避這一困難. 近年來, 本研究小組在以接觸型相互作用為主的低能有效場論中發展了一套完全在非微擾的框架下(滿足LSE的閉合形式T矩陣)進行重整化的策略和方法[12-14], 并提出了一種自然的有效場論冪次規則及非微擾景觀來自然地解釋大散射長度等非微擾現象[15-16]. 受此鼓舞,本文嘗試著將此策略推廣到核物質或零溫費米子系統中, 即Brückner G矩陣的計算和重整化, 因為BGE和LSE在代數結構上完全相同. 在完成非微擾重整化后, 利用所得的Brückner G矩陣細致地分析了相應的真空中相移、配對行為和核物質單粒子能量. 與Krippa的工作相比, 本文完全保持了Brückner G矩陣原有的閉合結構, 而閉合結構將使一些參數被約束為重整化不變量即物理參數, 這是在KSW展開的視野中無法看到的. 另外, Krippa求出的耦合常數明顯依賴費米動量, 而低能有效場論出現的是紫外發散, 其重整化耦合常數不應該依賴背景密度. 而在本文方案中, 耦合常數在有限密度下的“跑動”行為并不依賴費米動量.

1 Brückner G矩陣及其重整化

核子間的相互作用主要是通過π介子交換來完成的. 在核子交換動量低于π介子質量時, π介子交換的貢獻可以展開為核子間的接觸型有效相互作用. 此時的Brückner G矩陣滿足可以嚴格求解的BGE[11]

其中，G(p′,p)是Brückner G矩陣;V(p′,p)是核子間接觸型有效勢能;θ(q–pF)是單位階躍函數,pF是費米動量;E+=E+ iε,E是核子能量;p′ 、p分別是核子初態離殼動量、末態離殼動量;M是核子質量. 接下來我們在1S0分波中探討BGE(式(1))的嚴格解和Brückner G矩陣的非微擾重整化.

1.1 BGE的嚴格解

1S0分波中有[12], 領頭階(Δ = 0),V=Cs0; 次領頭階(Δ = 2),V=Cs0+Cs2(p2+p′2).Cs0和Cs2是耦合常數, 運用美國馬里蘭小組的因子化技巧[13,17],V(p′,p) 和G(p′,p) 可以寫成

其中,λ是方陣, 矩陣元是核子間接觸型有效勢能的耦合常數;τ(E)是與λ同階的方陣,U(p) 是元素為p的偶次冪的列矩陣. 例如,

使用這些技巧, 式(1)就約化為一個代數方程

其中,°表示卷積運算;I(E) 是一個矩陣, 矩陣元是一些發散積分, 形式為

對這些發散積分進行正規化之后做參數化, 有

對式(3)進行求解得到τ(E)之后代入到式(2)中, 取p′=p=k, 這里k是在殼動量, 滿足, 則可以得到Brückner G矩陣的倒數為

其中,

如此, 我們完成了BGE的求解, 得到了閉合形式的Brückner G矩陣, 并完成了參數化. 而且我們注意到, 取pF= 0時, 以上結果的Brückner G矩陣就回到了真空中的T矩陣(T矩陣可以參考文獻[12,18]). 接下來在非微擾框架下進行重整化.

1.2 非微擾重整化

Brückner G矩陣包含了物理信息, 這要求它的函數形狀是物理的, 也就是說重整化方案不能影響其函數形狀, 這是很強的非微擾約束, 要求非微擾重整化引入內在的抵消項[12-13], 在接觸型勢能情形里可以通過賦予積分的一般參數化來完成[13-14]. 更細致地分析發現這些約束會使得一部分參數不依賴重整化方案, 也就是成為 “重整化群不變”的物理參數, 剩下的則是非物理的“跑動”參數[12,14].

(1)領頭階(Δ = 0)

將式(7)寫為

其中,

我們看式(10), 顯然Brückner G矩陣的倒數是k和pF的函數, 要求這個函數形狀不依賴重整化方案的選取, 也就意味著必須是不依賴重整化方案選取的“重整化群不變量”. 而由于pF是物理的,可以再進一步從式(11)推導出的“重整化群不變量”是βs0, 然后求出耦合常數

可以看到, 在密度背景中, 當散射勢能取到領頭階(Δ = 0)時, Brückner G矩陣中的βs0是物理參數, 耦合常數Cs0是依賴重整化參數J0跑動的, 且并不依賴費米動量pF.

(2)次領頭階(Δ = 2)

將式(8)寫為

其中,

我們看式(13), 要求它的函數形狀不依賴重整化方案的選取, 就要求{}是“重整化群不變”的[5,12,14-16], 從而可以推導出, 在密度背景中 “重整化群不變量” 是{βs2,0,βs2,2,J0,σs2}. 注意現在J0因為閉合形式的約束成為重整化群不變的, 與Δ = 0時完全不同, 更高階非微擾解中也是如此. 進一步還可得出

最后求出耦合常數

可以看到, 在密度背景中, 當勢能展開到次領頭階(Δ = 2), {βs2,0,βs2,2,J0,σs2}是物理參數,其中σs2是由于密度背景的約束產生的新的物理參數(真空中的情形參看文獻[12]), 且從式(18)可以看出, 這使得Cs2和J3被約束成物理的參數, 而Cs0則依賴跑動的重整化參數J5. 與Δ = 0情形相同的是, 耦合常數并不依賴費米動量.

2 真空和密度背景中的物理行為

以上完成了Brückner G矩陣的非微擾重整化, 閉合形式的Brückner G矩陣將一部分耦合常數和重整化參數約束為“重整化群不變”的物理參數. 由于Δ = 0情形比較平庸, 以下我們將次領頭階(Δ = 2)的Brückner G矩陣(式(13))作為工具對一些物理性質或行為進行探究.

2.1 真空環境中的相移

為了盡可能確定參數{βs2,0,βs2,2,J0}, 我們回到真空環境中考察核子間的低能散射相移. 為此在式(13)中取pF→0, 則Brückner G矩陣將簡化為真空中的T矩陣, 即

注意到1S0分波的有效程展開(Effective Range Expansion, ERE)[19]是

其中,a是散射長度,re為有效力程,δ(k)是相移. 對式(20)我們只考慮k2項, 再結合式(19)、式(20),可以得到

這里我們選擇冪次規則[14-16], 即

其中,Λ是該有效場論上限標度, 這里研究的是無π介子的接觸勢情形,Λ應與π介子質量相當,即 ～ 138 MeV;Q是常見物理標度, 滿足Q?Λ, 通常取Q≈Λ/4. 為了展示J0的影響, 我們取J0=MΛJ0/4π, 其中ΛJ0= {± 138 MeV, ± 35 MeV},M= 939 MeV. 在1S0分波中,a= –23.739 fm,re=2.68 fm. 由于低能條件下該有效相互作用是吸引的, 必須滿足βs2,0<0 和βs2,2>0 的約束,ΛJ0的取值被限定為ΛJ0= {138 MeV, 35 MeV}. 接下來相移可通過式(20)中的T矩陣算出. 下面我們將兩種ΛJ0選擇下求出的相移曲線與Nijmegen PWA[19]的數據作為實驗輸入進行對比, 其中ELab=2k2/M是實驗室能量. 相移曲線如圖1所示.

圖1 相移曲線Fig. 1 Phase shift curves

從圖1可見, 取ΛJ0= 138 MeV, 相移曲線與實驗數據符合得更好. 但是在KSW方案[6]中,J0是可以任意選取的(典型值是ΛJ0= 35 MeV), 這是因為KSW展開使得一些原T矩陣的非微擾約束丟失了. 而閉合形式T矩陣才能完整地保留非微擾重整化的特點, 從而體現出J0取值的物理差異, 下面在密度背景中的配對點和能量的計算結果也將佐證這一點.

2.2 密度背景中的配對性質

前面我們對不受密度背景約束的一部分物理參數的值進行了選取, 但還需要考慮密度背景的約束導出的物理參數σs2的影響. 估計方法是, 由冪次規則觀察到Cs2J3?1, 這樣由式(14)和式(15),σs2可以表示為

其中x?1. 下面我們選取x= {± 0.05, ± 0.2}來估計σs2的影響.

眾所周知核物質有超流性質, 從而有核子間的配對現象, 與Brückner G矩陣的極點相對應[20-21].我們以數值計算來估計1S0分波次領頭階Brückner G矩陣在費米面以下的純實數極點位置kp(在費米面以下我們沒有找到純虛數極點), 結果如圖2和圖3所示. 圖2、圖3中顯示了極點位置與費米動量pF的關系. 由于發現極點位置對x依賴很小, 所以我們只給出了{ΛJ0= 138 MeV,x= 0.2}和{ΛJ0= 35 MeV,x= 0.2}時的圖象作為示例. 由于有效場論的理論上限標度大約在0.6 fm–1, 所以計算中pF選取在pF≤ 0.6 fm–1的范圍內.

圖2 取 ΛJ0 = 138 MeV, x = 0.2時, 極點位置kp與pF的關系Fig. 2 Relationship between the poles kp and pF, with ΛJ0 = 138 MeV, x = 0.2

圖3 取 ΛJ0 = 35 MeV, x = 0.2時, 極點位置kp與pF的關系Fig. 3 Relationship between the poles kp and pF, with ΛJ0 = 35 MeV, x = 0.2

另外也給出了Brückner G矩陣G對在殼動量k依賴的函數形狀圖(G-k圖)作為參考, 見圖4—圖8. 圖4—圖8清晰地顯示了極點的存在與否及其大致的位置.

圖4 ΛJ0 = 138MeV,x=0.2, pF = 0.3 fm–1時的G-k圖Fig. 4 Graph of G-k with ΛJ0 = 138 MeV,x = 0.2, pF = 0.3 fm–1

圖5 ΛJ0 = 35MeV,x=0.2, pF = 0.3 fm–1時的G-k圖Fig. 5 Graph of G-k with ΛJ0 = 35 MeV,x = 0.2, pF = 0.3 fm–1

圖6 ΛJ0 = 138 MeV, x = 0.2, pF = 0.5 fm–1時的G-k圖Fig. 6 Graph of G-k with ΛJ0 = 138 MeV,x = 0.2, pF = 0.5 fm–1

圖7 圖6的局部放大Fig. 7 A partial enlargement of figure 6

圖8 ΛJ0 = 35 MeV, x = 0.2, pF = 0.5 fm–1時的G-k圖Fig. 8 Graph of G-k with ΛJ0 = 35 MeV, x = 0.2, pF = 0.5 fm–1

表1和表2中顯示了部分Brückner G矩陣極點位置的具體數據.

Tab. 1 Some poleskpofBrücknerGmatrixwithΛJ0=138MeV表1 ΛJ0 = 138MeV,BrücknerG矩陣的一些極點位置kp

表2 ΛJ0 = 35 MeV, Brückner G矩陣的一些極點位置kpTab. 2 Some poles kp of Brückner G matrix with ΛJ0 = 35 MeV

特別地, 將pF取0, 閉合形式Brückner G矩陣就退化為閉合形式T矩陣. 經數值計算發現, 此時極點不存在. 從圖2和圖3顯示的閉合形式Brückner G矩陣的極點位置看, 在有一定密度的環境中,核子在殼動量在貼近費米面下沿處, 核子完成配對, 而在真空中則不會出現配對現象, 事實上也理應如此. 另外我們的計算表明,ΛJ0= 138 MeV時在費米動量較大范圍內(pF≤ 0.6 fm–1)總能找到極點, 而ΛJ0= 35 MeV時, 只能在較低密度(pF≤ 0.38 fm–1)區域內找到極點(較高密度時, 例如pF=0.5時圖8中的G-k曲線顯示沒有極點), 這是J0不同取值帶來的差異, 也說明該參數是物理的, 不是沒有物理意義的跑動參數.

2.3 單粒子能量

費米氣體中,1S0分波基態單粒子能量的表達式為[11]

其中P是雙粒子平均動量.

(1)由于Brückner G矩陣包含對數項, 上述積分很難解析完成, 所以我們主要采用的做法是進行數值計算. Brückner G矩陣存在極點時, 進行主值積分計算, 沒有極點時普通積分(表中灰色部分), 我們得到的結果列于表3和表4.

表3 ΛJ0 = 138 MeV, 單粒子能量, (E/A)1表示(1)方法的數值結果, (E/A)2表示(2)方法的結果Tab. 3 Single particle energy with ΛJ0 = 138 MeV, (E/A)1 represents the numerical result of method (1),(E/A)2 represents the result of method (2)

表4 ΛJ0 = 35 MeV, 單粒子能量, (E/A)1表示(1)方法的數值結果, (E/A)2表示(2)方法的結果Tab. 4 Single particle energy with ΛJ0 = 35 MeV, (E/A)1 represents the numerical result of method (1),(E/A)2 represents the result of method (2)

(2)作為對比, 我們將Brückner G矩陣對在殼動量做泰勒展開, 然后進行解析計算, 式(13)展開后有

其中,

在稀薄費米氣體中費米動量pF很小, 我們可以只保留式(26)中的第一階, 將式(25)代入式(24)積分過后得到結果

這個結果與文獻[10]一致, 其中“···”表示式(25)中k高階項對的貢獻, 下面的計算沒有考慮這些項.式(27)的計算結果列在表3和表4中.

從閉合形式Brückner G矩陣計算的數值結果看, 核物質作為費米系統的單粒子能量在密度較低(pF較小)時對x的依賴很小, 閉合形式Brückner G矩陣數值積分的結果和解析計算(泰勒展開)的結果符合得很好. 而在密度較高(pF較大)時則顯示出相對明顯的對x的依賴, 這說明x是有物理影響的, 需要更多的物理輸入(physical inputs)來核定其具體數值. 而從(1)和(2)兩種方法計算的結果在pF較小時, 相當接近,pF較大時, 則顯出一定差異, 由于得到式(27)是沒有考慮式(26)中pF高階項的, 所以這樣的結果是自然的. 另外, 比較表3和表4的結果, 我們又看到,ΛJ0選取138 MeV和35 MeV所得的單粒子能量(尤其在pF較大時)是不同的. 這又一次說明J0是有物理內含的重整化群不變量.

3 結 論

本文從核力低能有效場論出發, 通過求解1S0分波的Bethe-Goldstone方程, 得到閉合形式的Brückner G矩陣來嘗試在非微擾框架下研究核物質性質. 計算表明, 本課題小組在零密度情形的T矩陣中發展的非微擾重整化思路可以自然地擴展到Brückner G矩陣, 并發現耦合常數的“跑動”行為并不依賴費米動量. 另外, 相較于真空中零密度情形, 密度背景會導致新的約束. 接著利用重整化的Brückner G矩陣分析了1S0分波情形的諸多物理行為, 包括真空中的相移、配對現象以及單粒子能量, 發現相移的描述、配對現象的存在、單粒子能量取值等對J0的不同選擇有明顯的依賴, 間接驗證了這些參數是物理的, 進而說明本文的理論框架在概念上合理而自洽, 克服了以往文獻極力回避非微擾重整化的局面. 另外本文的計算也表明, 在真空環境中, 核子無法在1S0分波中配對(呈束縛態), 這與實際情況相符. 在低密度情形下, 單粒子能量與其他文獻基于微擾計算的結果一致. 受此初次嘗試成果的鼓舞, 未來將進一步將本文的思路擴展到高分波和高階有效場論勢能情形中去, 并在此舉措上研究更多具體的物理問題.