一道經典高考試題的多解賞析及追問

王勝華 陳向正

(重慶市清華中學 重慶 400054)

高中物理教學中常見這樣一類勻強電場的典型問題：假設勻強電場的電場線與某平面共面，已知該平面上3個點的電勢數值，求解場強的大小和方向.近幾年這種類型的問題在高考試題中多次出現.

1 試題

如圖1所示，在平面直角坐標系中，有方向平行于坐標平面的勻強電場，其中坐標原點O處的電勢為0 V，點A處的電勢為6 V，點B處的電勢為3 V，則電場強度的大小為多少？

圖1 試題題圖

2 求解

2.1 平面幾何法

平面幾何法的一般步驟是先在兩個已知電勢點的連線上找到第三個點的等勢點，作這個點與第三個點的連線即為等勢線，再作等勢線的垂線確定電場線，最后根據電場強度的大小與電勢差的關系U=Ed來求解電場強度的大小.這種方法最常見.

解析：如圖2所示，取O和A的中點C，則C點的電勢為3 V，則C和B兩點電勢相等，連接CB，根據勻強電場的等勢線為直線的性質，則CB為等勢線，電場線和等勢線垂直且指向電勢降低的方向，過O點做CB的垂線交CB于D點，則DO為電場線，由幾何知識可知DO的距離d=0.015 m，而φD=φC=φB=3 V，φO=0 V，所以

圖2 平面幾何法求電場強度

則電場強度

電場強度方向沿DO方向，與x軸負方向夾角正切

2.2 正交分解法

圖3 正交分解法 求電場強度

故正交分解法的一般步驟是先分別算出電場強度在兩垂直的坐標軸方向的Ex，Ey，然后再用合成法求出電場強度E,如圖3所示.

則有

可得

電場強度方向如圖3,電場強度方向與x軸負方向的夾角正切

2.3 空間向量法

在高中數學中，由空間向量基本定理可知，對于空間任意一個向量p，在直角坐標下，可記作p=(x,y,z)，即為“向量的坐標表示”，對學生而言是非常熟悉的[1].那么,對于某平面內的電場強度矢量可以采用向量的坐標表示法，將E表示為E=Exi+Eyj=(Ex,Ey)，將L表示為L=xi+yj=(x,y)，因電勢差與電場強度的關系可以寫成|Δφ|=E?L，即

|Δφ|=(Ex,Ey)?(x,y)=xEx+yEy

則有

電場強度方向與x軸負方向的夾角正切

3 追問

從理論上講，平面幾何法在任何情況下都可以求解這類問題，但從求解過程可以看出，所幸題設給的數據特殊，便于計算求解.若把A點坐標改為(10，0)，則求解的過程有很大的難度，計算量大，不具備可操作性.

對于正交分解法，從求解過程可以看出，正交分解法方法簡潔，思路簡明，但若把例題中A點坐標改為(10，1)，由于OA與OB不再垂直，利用正交分解法求解將有很大的難度.用空間向量法可以解決.

空間向量法在求解電場強度時與在高中數學中利用空間向量法求解立體幾何問題在原理和方法上是一致的.因此，學生很容易理解且能夠快速熟練掌握.此外，空間向量法還適用于上面兩種方法不方便求解的三維空間勻強電場中求電場強度的問題.若把例題中A點坐標改為(10，1)，只有空間向量法能夠快速求解.

即有

則有

(Ex,Ey)?(0.1，0.01)=6 V

(1)

(2)

為詳細說明求解方法，下面分步計算.

由式(1)得

(Ex,Ey)?(0.1,0.01)=0.1Ex+0.01Ey=6 V

(3)

由式(2)得

(4)

式(4)代入式(3)得

電場強度方向與x軸負方向的夾角正切

【例1】如圖4所示，邊長為2 m的立方體空間存在勻強電場，其中a，b，c，d點的電勢分別為1 V，11 V，5 V，8 V，求電場強度的大小？

圖4 例1題圖

解析：以c點為坐標原點，建立三維直角坐標系，如圖5所示，則有a，b，c，d4點的坐標分別為(0,2,2)、(2,0,0)、(0,0,0)、(2,2,0).

圖5 以c為原點，建立三維直角坐標系

則有ca=(0,2,2),cb=(2,0,0)，cd=(2,2,0)，有

Uca=E?ca=(Ex,Ey,Ez)?(0，2,2)=4 V

即

2Ey+2Ez=4 V/m

Ucb=E?cb=(Ex,Ey,Ez)?(2，0,0)=-6 V

即

2Ex=-6 V/m

Ucd=E?cd=(Ex,Ey,Ez)?(2，2,0)=-3 V

即

2Ex+2Ey=-3 V/m

可得

空間向量法是一種學生容易理解且在高中數學中常用的方法，可快捷求解勻強電場的電場強度.這種方法有利于增強學生學科融合意識，拓展學生視野，提升學生思維能力.教師們在教學中不防一試.