船體梁振動的反共振頻率配置設計

史英沙，黎 勝,2

(1.大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室 船舶工程學院，大連 116024；2.高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240)

反共振是指系統的某個自由度在特定的頻率激勵下的穩態振動幅值為零[1]。在結構振動的頻域響應譜中，峰值為結構的共振頻率，而最小值為零時，在頻域響應譜中表現為谷值，此時的頻率即為反共振頻率[2]。結構共振是系統的總體現象，反共振為系統的局部現象，反共振頻率不僅取決于系統的質量陣和剛度陣，還取決于激勵點和響應點的位置。在工程應用中，結構處于反共振頻率時，結構某些部位振動消失，因而對反共振頻率的研究有著重要的應用價值[3]，但因為共振頻率和模態振型本質上決定了線性無阻尼系統的基本動態響應特征。因而，目前對結構振動控制的相關研究多集中于對共振頻率計算和控制，而對結構反共振頻率的關注相對較少，并且目前反共振概念多應用于對系統的隔振控制設計[4-9]。近年來，對船體總振動的研究較少，馬廣宗等[10]對一萬五千噸干貨船設計階段所進行的減振設計工作進行了詳細介紹，李維嘉等[11]從隔振，動力吸振，阻尼減振等被動控制和主動控制方面，闡述了船舶振動控制技術的發展。此外部分學者還考慮了不同方法對船體振動的預測分析[12-17]。

本文針對船體梁模型，提出了一種基于反共振頻率配置的船體振動設計方法，該方法基于船舶主機等主要激振力，計算得到了船體振動的反共振頻率，并將激勵頻率設置為反共振頻率，使得船體梁的上層建筑或桅桿等重要部位的響應為零，并且在配置的反共振頻率下，船體垂向振動響應明顯減小。本文以一維薄壁混合開閉口船體梁為例，計算了在主機外力矩作用下，上層建筑振動響應為零時的反共振頻率，并通過結構修改將主機一階激勵頻率配置為反共振頻率，并分析了上層建筑的振動響應變化情況，以及在配置的反共振頻率下，船體梁的響應變化情況。

1 基本原理

對于無阻尼多自由度系統的運動方程如下：

(1)

式中：M,K分別為系統的質量陣和剛度陣，x為位移向量，f為外激振力向量，且x=Xeiωt，f=Feiωt，所以運動方程可表示為：

(K-ω2M)X=F

(2)

系統導納H可表示為：

H=(K-ω2M)-1

(3)

所以系統頻率響應公式可表達為：

HF=X

(4)

1.1 反共振頻率的求解計算

He等[18]用導納方法求解結構反共振頻率的表達式如下：

(5)

式中：Hpq，Kpq，Mpq分別為導納陣H，剛度陣K和質量陣M中劃去第p行和第q列所得到的的導納子矩陣，剛度子矩陣和質量子矩陣，det為矩陣行列式運算。

由式(5)可知，若要求解系統響應為零時的反共振頻率，只需求解：

det(Kpq-ω2Mpq)=0

(6)

同時，使得下式成立的頻率為系統固有頻率。

det(K-ω2M)=0

(7)

王波平等[2]基于矩陣方法也求得了結構的反共振頻率。通常結構響應可表示為物理坐標的線性組合，即響應為Resp=CX，且X=Gq，G為轉換矩陣，q為系統的模態坐標，所以當響應為零，即Resp=CGq=0時，可得到G=null(C)。此時系統的運動方程為：(K-ω2M)Gq=F，轉換矩陣T=null(FT)，系統運動方程左乘TT可得：

TT(K-ω2M)Gq=TTF=(FTT)T=0

(8)

(9)

1.2 質量或剛度修改的反共振頻率配置

當系統t處的修改量為bt時，系統的運動方程可表示[3]：

(10)

(11)

式(11)中第t列為

(12)

(13)

(14)

僅修改質量陣時：

(15)

由以上推導可知質量修改量和剛度修改的關系為：

(16)

1.3 質量和剛度同時修改的反共振頻率配置

(17)

其中

(18)

當僅改變剛度時：

(19)

ct1At1+ct2At2+…+cttAtt+…ctnAtn=Δkt(N-M)

(20)

當對t位置剛度修改Δkt后，此時修改表達式為：

(21)

式(21)可表達為：

ct1At1+ct2At2+…+(ctt+Δkt)Att+…ctnAtn=0

(22)

由式(16)可知，質量修改與剛度修改相關。假設在配置反共振頻率ωr時，單獨修改剛度時修改量為Δkt。若先對剛度K中t位置的修改量為aΔkt，0

(23)

式(23)可表達為：

ct1At1+ct2At2+…+

(24)

aΔkt+(1-a)Δmt， 0

(25)

因此在同一位置t處同時進行剛度和質量修改時，剛度修改和質量修改占僅改變質量和剛度的比例之和為1。

2 數值算例

2.1 船體梁模型

本文建立了薄壁變截面混合開閉口一維船體梁模型，如圖1所示。在該模型中，原點位于船艉，X軸指向船艏，Y軸指向左舷，Z軸垂直向上。該船模共19個單元，20個節點，圖(a)為一維船體梁模型，上方標注為梁單元位置，下方標注為節點位置。其中，1節點位于船艉，20節點位于船艏。各梁單元的長度見表1，各梁單元的形狀見圖(b)和圖(c)。其中E=2.01×1011N/m2，ν=0.3，ρ=7.8×103kg/m3，板厚t=0.002 m，船寬b=0.65 m，艏艉船寬bd=0.25 m，型深h=0.32 m。該船模的前兩階垂向振動固有頻率(單位：Hz)為77.087，200.770，與文獻[19]77.737和207.638相對誤差分別為0.84%，3.09%。

(a)一維船體梁模型

在船舶各類總振動中，垂向彎曲振動最易激起，也最為重要，因此在本文中僅考慮船體梁的垂向彎曲振動。該模型共20個節點，每個節點3個自由度，X，Z，繞Y軸轉動ROTY，M,K均為60×60的對稱正定矩陣。假設主機位于船體梁模型的節點2處，上層建筑位于梁單元(5)，兩端分別為節點5和節點6。

通常船用多缸柴油機各缸產生的慣性力的合力為零，即柴油機的不平衡力為零，但由于各缸中慣性力作用在曲軸柄位置不同，因而產生的外力矩不一定為零[20]。在本算例中假設主機的外力矩作用于船體2節點(第6自由度)，上層建筑6節點處垂向響應最小(第17自由度)。系統的固有頻率及在該激勵位置和響應位置時，使用導納H17,6和矩陣方法分別求解得到的反共振頻率如表2所示，并可知導納方法和矩陣方法具有相同精度。

表2 船體梁固有頻率及反共振頻率

假設該船模主機基頻和螺旋槳軸頻均為80 Hz，主機的二階激勵頻率為160 Hz，四階激勵頻率為320 Hz。螺旋槳為3葉，葉頻為240 Hz，倍葉頻為480 Hz。根據激勵頻率和頻率儲備可計算得到船體梁垂向振動的前三階頻率范圍，見表3。其中頻率儲備公式如下：

表3 船體梁固有頻率范圍

(26)

式中：fe為激勵頻率，fi為船體總振動固有頻率，η為頻率儲備。按規范[21]，其前三階的固有頻率一般應與激勵頻率分別錯開10%～15%，15%～20%，20%～30%。在本文中分別選取為10%，15%，20%。

2.2 質量修改

在選用該主機和螺旋槳的情況下，由表3可知，此時船體一階垂向固有頻率不滿足頻率儲備，需要對船體梁進行修改。把主機一階激勵頻率80 Hz配置為船體梁反共振頻率，主機外力矩作用于船體梁2節點處，上層建筑6節點的垂向響應為零，通過對船體梁中單元(10)和(11)的Z方向的質量進行調整，使得質量陣中M(32,32)的改變量為Δm32,32=55.576 kg。可對船體貨艙進行調整，將此處設置為貨艙或壓載艙。

圖2為在第32自由度處結構修改后，系統導納H17,6的響應曲線，前三階反共振頻率分別為80.00 Hz，313.56 Hz，497.19 Hz，并且船體梁在80 Hz垂向振動響應如圖3，由圖可知在6節點處垂向振動響應為零，并且船體梁在80 Hz時的垂向振動響應與修改前相比明顯減小，并均接近于零。因此由圖2,3可知，質量修改后成功配置出80 Hz的反共振頻率。在對船體梁(10)和(11)垂向質量調整使得M(32,32)修改后，其前三階固有頻率分別為64.67 Hz，185.27 Hz，319.94 Hz，由表3可知均滿足頻率儲備，符合設計要求。此外，結構修改后將船體梁的前三階振型歸一化處理，如圖4所示。在單元(10)和(11)增加垂向質量的修改后，船體梁的振型變化較為平緩。

圖2 第32自由度處結構修改后導納H17,6響應曲線

圖3 80 Hz時船體垂向振動響應

圖4 船體梁振型 修改前—— M(32,32)修改后----

2.3 剛度修改

在船體梁(1)和(2)單元中Z方向剛度進行調整使得K(2,2)修改后，反共振頻率分別為23.96 Hz，80.00 Hz，126.24 Hz。在80 Hz時，主機外力矩作用于2節點時，船體梁的垂向振動響應如圖6所示，在節點6處響應為零，因此由圖5和圖6可知，在剛度修改后成功配置出80 Hz反共振頻率，并且在配置的反共振頻率下船體梁的垂向振動明顯減小，并接近于零。

圖5 第2自由度結構修改導納H17,6響應曲線

圖6 80 Hz時船體垂向振動響應

在船體梁剛度K(2,2)修改后，將船體梁的前三階振型歸一化處理后如圖7所示，根據振型可知，在配置的反共振頻率80 Hz兩側存在兩個一階振型，分別為43.19 Hz和102.74 Hz，因而船體梁前三階固有頻率分別為43.19 Hz，102.74 Hz，211.52 Hz，361.22 Hz，由表3可知滿足頻率儲備，因而符合設計要求。結構修改后歸一化的船體梁振型,圖7所示。

圖7 船體梁振型 修改前—— K(2,2)修改后----

2.4 剛度與質量同時修改

(a)結構修改后導納H17,6響應曲線

3 結 論

本文針對船體梁的主要激勵，求解得到了船體梁的反共振頻率，并提出了一種基于船體反共振頻率配置的船體振動設計方法。該方法將主機某階激勵頻率設置為反共振頻率，對船體結構進行剛度，質量修改，可使得船體的上層建筑或桅桿等重要部位在該反共振頻率下振動響應為零，并可明顯減小該頻率下船體振動響應。通過修改位置的調整，可以改變船體的固有頻率，使其滿足設計要求，因而該方法對船體總振動設計有一定的參考意義。

此外本文基于船體垂向振動的研究結果發現，在對結構進行修改時，單獨修改剛度，質量，以及同時對質量和剛度進行修改都可實現預期反共振配置的效果，同時對質量和剛度進行修改時，在配置的反共振頻率下，結構的振動響應與單獨修改質量或剛度的效果相同，且在實際工程中剛度和質量修改量與原有僅修改剛度和質量的修改量的比例之和為1。