包裝件振動可靠性的不確定度量化及靈敏度分析

朱大鵬，魏 潔

(蘭州交通大學 交通運輸學院，蘭州 730070)

包裝件在流通過程中，在裝卸、運輸、儲存等環(huán)節(jié)，會受到各種外界載荷的作用，如跌落沖擊、隨機振動、靜壓力載荷等。其中跌落沖擊載荷的作用較為劇烈，很容易引起包裝件的損壞，因此，國內外研究者在跌落沖擊載荷條件下對包裝件的動態(tài)響應、破損邊界曲線、緩沖材料的保護能力等開展了一系列研究[1-7]。在運輸過程中，包裝件長時間受到隨機振動載荷的激勵。在隨機振動條件下，包裝件中脆弱部件的加速度響應可能會超出產品的脆值，從而造成包裝件損壞。因此，很有必要研究包裝件在運輸過程中的隨機振動載荷作用下的振動可靠性，可靠性分析為優(yōu)化包裝設計和產品設計，提高包裝件和產品的可靠性，減少包裝件在流通過程中的損壞等提供了理論基礎和優(yōu)化依據。目前，研究包裝件振動可靠性的文獻較少，文獻[8-10]應用一階可靠性法(First Order Reliability Method,FORM)和鏡像激勵法分析了包裝件的振動可靠性，但未考慮包裝件模型中參數的不確定性。

由于不確定性不可避免地存在于包裝件模型的各參數中，如緩沖材料動態(tài)特性的不確定性、脆弱部件和產品主體之間連接特性的不確定性，這使得包裝件成為一個參數不確定的系統(tǒng)。在隨機振動激勵下，由于包裝件參數不確定性的影響，包裝件振動可靠性也是不確定的，因此，很有必要研究包裝件參數不確定對振動可靠性變化的影響，并對各參數進行靈敏度分析，以具體量化各不確定參數的變化對可靠性變化的影響程度，為包裝件和產品的優(yōu)化提供依據。為了對由參數不確定性所引起的系統(tǒng)響應的不確定度進行合理的量化，人們提出了各種分析和模擬方法，其中原始蒙特卡洛法是一種通用、準確的方法[11]，但該方法需要進行大量的數值模擬，收斂速度慢，對于振動可靠性問題，由于失效概率通常較小，為確保準確性，需生成大量的數據進行分析，導致分析速度很慢，這也限制了該方法的應用，該方法目前通常用于驗證其他方法的準確性。目前對系統(tǒng)響應進行不確定度量化的理論分析方法主要包括Karhunen-Loeve展開法[12]、正交級數展開法[13]、優(yōu)化線性估計法[14]、多項式混沌展開法[15]等，其中，多項式混沌展開法在不確定度量化中得到了廣泛的應用。該方法將隨機變量或隨機過程表示為標準正態(tài)隨機變量的正交多項式與確定性參數乘積相疊加的形式，多項式混沌展開可準確表達具有一定統(tǒng)計特性或分布特性的隨機變量或隨機過程，目前該方法廣泛應用于不確定系統(tǒng)的響應分析和量化[16-17]、不確定參數識別[18-19]、靈敏度分析等[20]。靈敏度分析用于量化不確定參數的變化對系統(tǒng)響應變化的影響程度，是進行系統(tǒng)優(yōu)化的一個重要步驟。目前靈敏度分析主要包括三大類：局部靈敏度分析、全局靈敏度分析、區(qū)域靈敏度分析。局部靈敏度分析用于評估不確定參數在名義值處的變化對系統(tǒng)響應的影響程度[21]，而全局靈敏度分析研究在整個不確定參數范圍內參數變化對響應變化的影響[20-22]，區(qū)域靈敏度分析用于評估不確定參數處于不同分布區(qū)間時，其變化對系統(tǒng)響應變化的影響[23]。

本文考慮包裝件中參數的不確定性，采用多項式混沌展開量化由于參數不確定性引起的隨機變化的可靠性指標，由于采用分析法研究不確定參數對可靠性變化的影響較為復雜，本文采用非嵌入式方法[24]對包裝件中不確定參數均勻合理采樣，應用內積法求解混沌多項式的系數，獲得隨機變化的可靠性指標的多項式混沌展開表達式。為確保準確性，采用原始蒙特卡洛法對該分析方法進行驗證。基于不確定參數的多項式混沌展開表達，分析包裝件的全局靈敏度指數，量化分析包裝件中各參數變化對包裝件可靠性變化的影響程度。

1 參數確定的包裝件振動可靠性分析

1.1 隨機振動激勵的表示

(1)

(2)

Σ=Φ·Λ·ΦT

(3)

式中:矩陣Φ=[Φ1,Φ2,…,ΦN]是關于特征向量Φi(i=1,2,…,N)的正交矩陣，上標T表示矩陣的轉置，矩陣Λ=diag[λ1,λ2,…,λN]是關于特征向量的對角矩陣，則零均值隨機振動激勵可利用Karhunen-Loeve展開式表示為[26-27]：

(4)

(5)

的最小的r值即為主成分的個數。應用式(2)～(5)，可將具有一定譜特征的隨機振動表達到標準正態(tài)變量空間u中。

1.2 包裝件的振動可靠性分析

a(t)·u

(6)

式中，a(t)=[a1(t),a2(t),…,an(t)]T，

(7)

根據式(6)，定義包裝件中關鍵部件在隨機振動激勵下的極限狀態(tài)方程：

g(u,Gc,t)=Gc-a(t)·u

(8)

式中:Gc為包裝件的脆值。對于線性包裝件，式(8)所示的極限狀態(tài)方程為r維標準正態(tài)空間中的一個超平面，包裝件在隨機振動激勵作用下，若g(u,Gc,t)>0，則包裝件安全，反之，若g(u,Gc,t)≤0，則包裝件發(fā)生首次穿越損壞。應用一階可靠性方法，線性包裝件在式(4)所表達的隨機振動激勵下，損壞概率為：

(9)

式中:Ф[·]為標準正態(tài)累積分布函數，參數β稱為可靠性指標，其定義為坐標原點到g(u,Gc,t)所示的超平面的距離：

(10)

2 參數不確定性的包裝件振動可靠性分析

2.1 不確定參數的表示

多項式混沌展開是分析不確定系統(tǒng)的有效工具，對于任意有限方差的不確定參數θ，應用多項式混沌展開法可表示為[28-29]：

(11)

式中:m為隨機變量的個數，φi是向量ξ=[ξ1,ξ2,…,ξm]T的函數，其中，ξi(i=1,2…,m)為標準正態(tài)隨機變量，φi類型由θ的分布類型確定，如高斯分布的變量θ由Hermite多項式表示，Gamma分布的變量θ由Laguerre多項式表示，Beta分布的變量θ由Jacobi多項式表示等[30]，參數a為確定性參數。式(11)可簡寫為：

(12)

2.2 包裝件可靠性指標的表示

由于緩沖材料特性存在著不確定性，包裝件中產品的生產、裝配等環(huán)節(jié)也不可避免地存在著不確定因素，導致包裝件模型中的參數通常是不確定的。這些參數不確定性會影響到包裝件的振動可靠性，因此包裝件在隨機振動作用下的可靠性也是不確定的，表征包裝件振動可靠性的參數是式(10)所示的可靠性指標β，即β是一個隨機變量，應用多項式混沌展開可將β表示為：

(13)

式中:函數Ψj(η)(j=1,2,…,∞)是關于向量η的正交多項式，參數bj(j=1,2,…,∞)是確定性參數，η=[η1,η2,…,ηm]為包含各不確定參數的向量，m為不確定參數的個數。由于不確定參數η不一定是標準正態(tài)變量，為構建可靠性指標β的多項式混沌展開，需要應用等概率變換原則[31]在隨機變量ηi和標準正態(tài)隨機變量ξi之間構建一一映射關系：

i=1,2,…,m

(14)

式中:Fi是不確定參數ηi的累積分布函數，Φ是標準正態(tài)變量ξi的累積分布函數，上標-1表示逆累積分布。因此，不確定參數向量η可用標準正態(tài)隨機向量ξ表示：

η=T(ξ)

(15)

式中:T(·)表示等概率轉換[31]。為減少分析計算量，通常采用有限的M項正交多項式近似表達隨機變量，式(13)可寫為：

(16)

式中:Ψ(ξ)=[Ψ0(ξ),Ψ1(ξ),…,ΨM-1(ξ)]，b=[b1,b2,…,bM-1]T。根據多項式混沌展開的收斂性分析[32]，通常用三階或四階多項式混沌展開即可準確表達一個有限方差不確定變量，如果階次p超過四階，則對分析結果影響不大，則式(16)中M可由下式確定[32]：

(17)

2.3 求解多項式混沌展開的系數

在求解不確定參數的多項式混沌表達式中的系數b時，目前廣泛采用的方法有兩類，嵌入式和非嵌入式。其中嵌入式方法基于Galerkin法，通過求解確定性方程可得多項式混沌展開的系數，對于包含多個隨機變量的系統(tǒng)，應用該方法確定隨機變量的多項式混沌展開表達式的系數較為復雜。本文采用非嵌入方法合理選擇隨機參數的采樣點，根據這些采樣點，應用最優(yōu)化方法或者內積法求解系數b。其中，最優(yōu)化方法應用下式求解：

b=argminE[(β(η)-Ψ(ξ)b)2]

(18)

式中:E[·]表示期望值。應用式(18)求解b時，為提高準確性，通常要求采樣點數n至少為M的三倍，在采樣點中，考慮到隨機參數的分布特征，通常在參數均值附近的采樣點較多，在概率分布的尾部采樣點較少，應用總體最小二乘法分析后，可靠性指標的分析值在其概率密度分布的尾部會出現(xiàn)較大的誤差。概率分布的尾部值代表了隨機變量數值較大和較小的部分，對于分析包裝件振動可靠性非常重要，為提高分析精度，本文采用內積法求解系數b。式(16)兩邊同乘向量Ψj(ξ)，考慮到混沌多項式的正交性，可得下式：

(19)

式中:〈·,·〉表示總體平均，其運算為Hilbert空間的向量內積：

(20)

式中:W(ξ)為積分過程中的權值函數，其定義為：

(21)

根據式(21)和式(19)可求得式(16)中可靠性指數的多項式混沌展開式的系數bj。其中式(19)中，分母的內積可采用理論分析的方法獲得，分子的內積采用數值分析的方法獲得。求得多項式混沌展開的系數后，包裝件振動可靠性指標可用下式進行估計：

(22)

考慮到Ψ的正交特性，可靠性指標的均值和方差為：

(23)

(24)

3 可靠性指標的全局靈敏度分析

本文采用Sobol法分析可靠性指標的全局靈敏度，對可靠性指標β進行Sobol分解[34]，將其表達為：

(25)

則β的方差可表達為：

(26)

根據文獻[20]中的推導，方差D可表示為：

(27)

其中

1≤i1

(28)

全局靈敏度指數定義為：

(29)

根據式(27)和(29)，全局靈敏度指標滿足關系式：

(30)

將式(22)所示可靠性指數進行Sobol分解：

(31)

為確保式(31)和式(25)等效，必須準確定義集合I，如在式(31)中，用Ii可選出所有的單變量項，用Ii,j可選出所有的雙變量項，用Ii,j,k可選出所有三變量項。I定義為：

Ii1,i2,…,is=

(32)

(33)

在多個不確定因素i1,i2,…,is共同作用下，可靠性指標β的高階靈敏度指標為：

(34)

由以上分析可知，在獲得了隨機變量的多項式混沌展開表達式后，通過合理選擇多項式混沌展開式中的對應項，可方便地求出各隨機參數單獨作用和多個隨機參數共同作用時包裝件可靠性指標的Sobol指標，可量化分析隨機參數變化對可靠性指標變化的影響。

4 實例分析

對于非線性包裝件，為簡化分析，通常采用一個等效的線性包裝件來替代非線性包裝件，因此，本文采用二自由度線性系統(tǒng)模擬包裝件，如圖1所示。

圖1 包裝件簡化模型

本文采用EPE泡沫作緩沖材料，厚度為30 mm，密度為21 kg/m3，用質量塊-泡沫系統(tǒng)模擬包裝件，質量塊重1.1 kg，用沖擊錘激勵質量塊，記錄系統(tǒng)響應，實驗系統(tǒng)如圖2所示。用自由響應數據分析系統(tǒng)的固有頻率ω1和阻尼比ζ1[35]，由于EPE泡沫特性的不確定性，識別出的系統(tǒng)固有頻率和阻尼比也呈隨機變化，本文用100塊緩沖材料試樣識別出的系統(tǒng)的ω1和ζ1的隨機分布情況如圖3所示。用極大似然估計法分析ω1和ζ1的概率密度分布情況，分析不同概率分布和真實的數據分布之間關于累積分布函數的誤差，分析結果如圖4所示，圖4(a)和(b)分別給出了ω1和ζ1的實驗數據實際概率和不同的概率分布方程曲線的對比圖，并給出了不同概率分布條件下的累積分布誤差。由圖4可以看出，ω1符合logistic分布，ζ1符合loglogistic分布。由于產品主體和關鍵部件之間的連接特性參數ω2和ζ2很難直接用實驗的方法獲得，為考慮ω2和ζ2的隨機變化對包裝件振動可靠性的影響，本文假定ω2和ζ2呈正態(tài)分布，假定ω2均值為500 rad/s，ζ2的均值為0.1。包裝件模型中的不確定參數的基本情況，如表1所示。

圖2 測試ω1和ζ1的實驗裝置

(a)

(a)

表1 包裝件模型中不確定參數的基本情況

由于包裝件模型中參數值的隨機變化，包裝件在隨機振動激勵下的振動可靠性指標β也對應地是一個隨機變量，由于隨機參數的數量為4，在多項式混沌展開式中，假定階次為4，根據式(17)，用多項式混沌展開時，展開式中包含70項，根據拉丁超立方合理采樣原則，應用非嵌入法分析可靠性指標時，采樣數目至少為210個以上，本文采樣點數選用500個。應用非嵌入法分析包裝件可靠性指標的具體步驟如下：

(3)包裝件運輸過程中的隨機振動，如圖5所示為卡車在一段公路行駛時記錄設備記錄的隨機振動的PSD曲線，車輛行駛速度為60 km/h，車輛載重為20 t。根據PSD曲線，根據式(4)，將該隨機振動表示在標準正態(tài)隨機變量空間；

圖5 記錄的隨機振動PSD曲線

(4)根據ηi具體值，可求出包裝件的加速度單位脈沖響應函數為ha。應用式(6)、(7)、(10)計算包裝件的可靠性指標，計算出的可靠性指標的概率分布情況如圖6所示，分析可靠性指標的概率分布類型可知，可靠性指標基本呈正態(tài)分布，累積概率分布誤差為1.17%；

圖6 用非嵌入法分析的可靠性指標的分布

(5)用多項式混沌展開式表達隨機可靠性指標：根據可靠性指標的分布類型，由于可靠性指標呈正態(tài)分布，故選用正交Hermite多項式作為式(16)中標準正態(tài)隨機變量的多項式類型，根據式(19)～(21)計算多項式的系數。

用多項式混沌展開法分析的可靠性指標的概率密度方程曲線如圖7所示，本文采用原始蒙特卡洛法(N=105)驗證了分析結果的準確性，從圖7中可以看出，本文采用的分析方法具有良好的準確性，與原始蒙特卡洛法相比，該方法大大提高了計算效率。

圖7 包裝件振動可靠性指標的概率密度分布

本文用多項式混沌展開準確表達包裝件振動可靠度指標的概率分布情況，因此，可利用式(33)和(34)計算可靠性指標β對各參數的靈敏度指標，分析結果如圖8所示。從圖中可以看出，緩沖材料的阻尼的單參數靈敏度最大，產品的脆弱部件和產品之間的阻尼比的單參數靈敏度最小，各參數的總體靈敏度比單參數靈敏度均有明顯的提高，這表明各個隨機參數共同作用時所引起的可靠性指標的變化，相比隨機參數單獨作用所引起的可靠性指標的變化，有明顯的提高，這也表明，在參數不確定性的影響下，包裝件振動可靠度指標的變化主要是由各不確定參數共同作用所引起的。

圖8 可靠性指標對各隨機參數的靈敏度

5 總結與展望

包裝件在流通過程中，由于隨機振動的激勵作用，包裝件中產品可能發(fā)生加速度首次穿越損壞，本文用可靠性指標表征包裝件的瞬時失效概率。由于包裝件的參數是不確定的，如緩沖材料的動態(tài)特性、產品主體和產品脆弱部件之間連接特性，這些參數不確定性會引起包裝件振動可靠性指標的不確定性，造成了包裝件的可靠性不是一個確定的值，而是具有一定概率分布特性的隨機變量。本文研究在模型參數變化的情況下，包裝件可靠性指標的變化情況，研究可靠性指標相對于各模型參數的靈敏度。

本文應用Karhunen-Loeve展開法將具有一定譜特征的平穩(wěn)隨機振動表達在標準正態(tài)隨機變量空間中，應用FORM法計算包裝件的振動可靠性指標。考慮包裝件中緩沖材料的動態(tài)特性參數的不確定性參數ω1和ζ1，以及產品主體和脆弱部件連接特性的不確定性參數ω2和ζ2，應用等概率變換的原則，將這些不確定參數等效轉換到四維標準正態(tài)隨機變量空間中，采用非嵌入法分析在這些不確定的包裝件參數變化時振動可靠性指標的變化情況。為在確保分析精度的條件下減少分析工作量，在四維標準正態(tài)空間中，采用拉丁超立方采樣原則，將采樣的標準正態(tài)隨機變量轉換為包裝件參數，分析得到對應的振動可靠性指標。根據振動可靠性指標樣本的分布情況合理選擇多項式混沌展開式中的正交多項式類型，應用非嵌入法得到該展開式中的系數。在準確獲得可靠性指標的多項式混沌展開式后，應用Sobol法分析可靠性指標的全局靈敏度。根據本文的分析，在分析包裝件振動可靠性時，考慮到不確定因素的影響，可得以下結論：

(1)考慮到緩沖材料特性的不確定性，包裝件中產品主體和脆弱部件之間連接特性的不確定性，包裝件在隨機振動作用下的振動可靠性是一個不確定變量，基本呈正態(tài)分布，在包裝件設計、優(yōu)化和振動可靠性分析時，需考慮振動可靠性的不確定性。

(2)包裝件可靠性指標的波動主要是由多個包裝件不確定參數共同作用引起的，如果要減小振動可靠性的不確定性，需同時減小各參數的波動。

(3)對于單個包裝件參數，根據靈敏度分析結果，緩沖材料阻尼的不確定性對包裝件可靠性指標的波動影響最大，其次是緩沖材料的彈性特性的不確定性，而產品主體和脆弱部件之間的阻尼的不確定性對振動可靠性的波動影響最小，其影響幾乎可以忽略。

在實際應用中，為優(yōu)化包裝件參數，提高包裝件振動可靠性，今后可在以下兩個方面開展深入研究：① 實際的包裝件的結構、特性較為復雜，本文用二自由度集中參數模型替代真實的包裝件，可以總體性地了解緩沖材料特性的不確定性、產品主體和脆弱部件之間連接特性的不確定性對包裝件振動可靠性波動的影響，為更加清晰了解包裝件真實振動可靠性及參數敏感度，需構建能夠真實反映包裝件動態(tài)特性的有限元模型，并在模型中分析振動可靠性和參數敏感度；② 考慮到隨機振動條件下的包裝件的振動可靠性，需構建包裝件在隨機振動條件下的設計和優(yōu)化方法，提高包裝件在隨機振動條件下的可靠性，或在振動可靠性約束條件下，實現(xiàn)包裝成本最優(yōu)。