圓哥哥和圓弟弟

龍馬

喬治是個酷愛圓形的小男孩，他家里有各種各樣的圓形物品：圓形的床、圓形的桌子、圓形的書……

一天晚上，喬治躺在圓形的枕頭上，做了一個神奇的夢。他夢見兩個金色的圓居然動了起來，小圓管大圓叫圓哥哥，大圓管小圓叫圓弟弟。

圓弟弟非常淘氣，它鉆到圓哥哥的環里，骨碌碌繞著圓哥哥轉了一整圈。圓哥哥覺得怪癢的，和圓弟弟一起大笑起來。后來圓弟弟索性跑到圓哥哥的外側，繞了一大圈，這一大圈繞下來，圓弟弟直喊暈。在旁邊觀察的喬治一時情急想要上前去，結果夢醒了。

第二天一早，喬治就起床研究這兩個圓了，夢里的情景一直在他的腦海里浮現。大圓的直徑是40cm，小圓的直徑是20cm，如果小圓在大圓內部繞大圓轉一圈，那么小圓自身轉了幾圈呢？如果在大圓的外部轉，小圓自身又要轉幾圈呢？

喬治看了半天，突然想到，當小圓繞著大圓轉時，假設把大圓剪斷拉直，其實就是小圓在一條線段上從一端滾到另一端。線段的長度就是大圓的周長C=2πr（π是圓周率，約等于3.14，r是圓的半徑，圓的直徑等于2r）。

大圓的半徑是小圓的2倍，那么大圓的周長也是小圓周長的2倍。這根線段的長度就是大圓的周長，小圓滾一圈時前進的長度是小圓的周長。所以小圓從線段的一端到另一端需要滾2圈。

喬治回想起夢里的情節，覺得有些不對，因為圓弟弟在圓哥哥內側轉的時候很開心，可是在外側繞著圓哥哥轉了一圈卻直喊暈。如果都是同樣的轉2圈，圓弟弟不應該會覺得暈。

到底是哪里不對呢？善于思考的喬治想到一個主意，他在小圓上畫了一個紅點，然后觀察這個紅點的運動軌跡。

當小圓在大圓內側轉動時，小圓自身在做相反方向的自轉。觀察紅點的軌跡，當紅點回到原來的位置時，實際上小圓只轉了1圈。

當小圓在大圓的外側轉動時，小圓的自轉方向和滾動方向一致，小圓實際上轉了3圈。

通過標記小紅點的觀察，喬治又突然想到，能不能以圓心作為觀察點呢？如果圓心轉了一圈，那圓上的其他點也必定轉了一圈。

小圓在大圓內部轉圈時，小圓的圓心實際上是圍繞一個半徑10cm、直徑20cm的圓運動的，這個圓和小圓的半徑一樣，周長也一樣，因此小圓只需要轉1圈即可。

現在再看小圓在大圓外側轉圈。小圓的圓心實際上是繞著半徑30cm的大圓來轉動的，半徑是小圓的3倍，那么這個運動軌跡的大圓周長是小圓周長的3倍，因此小圓要轉3圈。

圓哥哥和圓弟弟繞圈的游戲看似簡單，卻涉及到圓的公轉和自轉。喬治在分析這個問題時，用了假設、定點代入的分析方法，并在最后總結出了其中的規律。熟練掌握這些方法，還可以用它們來解決其他問題喲。