鋼筋混凝土牛腿抗剪承載力設計修正系數研究

黃遠 尹文萌 易偉建

摘要：為了研究鋼筋混凝土牛腿的抗剪承載力，并評估我國和歐美規范牛腿設計方法的準確性和安全性，基于收集的209組牛腿豎向受剪試驗數據對ACI 318-19、EC2、CSA A23.3-04和其他主要的牛腿抗剪承載力計算方法進行評估，發現歐美規范拉壓桿模型方法較為保守，而軟化拉壓桿模型（softened strut-and-tie model，SSTM）能夠較好地預測牛腿的抗剪承載力.在此基礎上，設計了一系列滿足我國規范要求的鋼筋混凝土牛腿，主要變化的參數包括剪切跨度、混凝土強度、鋼筋強度等，通過將牛腿的設計剪力與軟化拉壓桿模型計算得到的抗剪承載力進行對比，分析了不同設計參數下我國規范方法的準確性和安全性.并根據參數分析結果擬合了牛腿承載力修正系數的簡化公式，并通過試驗數據驗證了簡化公式的準確性和合理性.最后對牛腿在剪力作用下的設計方法提出了改進建議，可供鋼筋混凝土牛腿設計參考.

關鍵詞：鋼筋混凝土牛腿；軟化拉壓桿模型；抗剪承載力；參數分析；結構設計

中圖分類號：TU375文獻標志碼：A

基金項目：國家重點研發計劃項目（2018YFC0705700），National Key Research and Development Project（2018YFC0705700）；國家自然科學基金資助項目（51890901），National Natural Science Foundation of China（51890901）

Study on Design Modification Factor for Shear Capacity of Reinforced Concrete Corbels

HUANG Yuan1，2，YIN Wenmeng2，YI Wenjian1，2

（1. Hunan Provincial Key Laboratory on Damage Diagnosis for Engineering Structures，Hunan University，Changsha 410082，China；2. College of Civil Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China）

Abstract：In order to study the shear capacity of reinforced concrete corbels，and evaluate the accuracy and safe-ty of the design method of Chinese and abroad code，based on the collected test data of 209 corbels，the shear capacity formulas of ACI 318-19，EC2，CSA A23.3-04 as well as the main strut-and-tie models were evaluated. It was found that the calculation results of abroad code are too conservative，while the softened strut-and-tie model（SSTM）can better predict the shear capacity of corbel. On this basis，a series of reinforced concrete corbels were designed accord-ing to the Chinese code with various parameters including shear span，concrete strength，reinforcement strength，etc. By comparing the designed shear capacity with the calculation results of the softened strut-and-tie model，the accura-cy and safety of Chinese code under different design parameters were analyzed. Then，the simplified formula of the modification factor of the corbel bearing capacity was proposed. Based on the collected test data，the simplified for-mula was proved to be accurate. Design suggestions were proposed for the corbels under shear load，which can be used as a reference for the design of reinforced concrete corbels.

Key words：reinforced concrete corbels；softened strut-and-tie model；shear capacity；parameter analysis；struc-tural design

鋼筋混凝土牛腿被廣泛應用于裝配式混凝土結構中預制構件之間的鉸接連接[1].例如工業廠房的預制混凝土柱牛腿，用于支承吊車梁、屋架及墻梁等水平構件.牛腿用于構件連接其施工非常便捷，但是在荷載作用下，牛腿的受力狀態較為復雜，類似于變截面深梁，在國際上通常將鋼筋混凝土牛腿歸為“D區”（Discontinuity Zone）構件.牛腿的剪切破壞通常為脆性破壞，時常造成重大人員傷亡和經濟損失.

目前國內外對牛腿抗剪承載力進行了較為系統的研究.我國高丹盈等人[2-4]開展了一系列的牛腿受剪試驗，研究了不同鋼纖維體積率、剪跨比、配筋率等參數條件下的牛腿受剪性能，并根據試驗數據提出了牛腿承載力的計算方法.國外的研究人員在早期的桁架模型基礎上進行完善，提出了拉壓桿模型（簡稱STM），并使之成為一種通用的設計方法[5].隨后，學者們基于傳統的STM，考慮了混凝土的軟化效應，提出了更深入的計算理論. Hwang等[6]提出了軟化拉壓桿模型（簡稱SSTM），通過迭代計算混凝土軟化系數，考慮開裂鋼筋混凝土的本構關系和相容方程. Russo等[7]通過擬合試驗數據簡化了混凝土軟化系數的計算公式. SSTM能準確預測D區構件的承載力[8-9].

牛腿受剪機理的復雜性也體現在規范層面，不同于正截面受彎承載力的統一力學模型，各國規范中牛腿受剪承載力計算公式的表現形式和所考慮的參數影響有很大的區別.我國規范[10]基于三角桁架抗彎模型，ACI 318-19[11]、EC2[12]、CSA A23.3-04[13]主要基于STM.各規范設計公式的計算結果與試驗數據均存在一定程度上的離散性.因此，需要對規范公式的適用性進行評估和深入研究，為工程設計提供理論指導.

文章首先介紹了ACI 318-19[11]、EC2[12]、CSA A23.3-04[13]三國規范基于拉壓桿的牛腿承載力計算方法和SSTM[6]、Russo等[7]兩種主要的牛腿承載力計算模型.采用209組牛腿豎向受剪試驗數據評估了各承載力計算模型的準確性和安全性.在此基礎上，按照我國規范設計了一系列不同參數條件下的鋼筋混凝土牛腿，基于SSTM[6]研究各設計參數對牛腿抗剪承載力的影響.最后依據參數分析的結果，提出了牛腿抗剪承載力修正系數的簡化公式，為工程實際提供參考.

1牛腿承載力計算模型

1.1國外規范拉壓桿模型

拉壓桿模型（簡稱STM）由一定強度的鋼筋拉桿、混凝土壓桿和混凝土節點組成.牛腿作為典型的“D區”構件，ACI 318-19[11]（以下簡稱ACI）、EC2[12]、CSA A23.3-04[13]（以下簡稱CSA）三國規范均采用STM對其進行設計. ACI STM適用于剪跨比不大于2的牛腿，規范限制壓桿水平方向傾角θ不小于25°；EC2 STM和CSA STM適用于簡跨比不大于1的牛腿，EC2 STM對壓桿水平傾角θ的限制條件為1≤tanθ≤2，CSA STM對壓桿角度θ未給出限制條件.

文章參照文獻[14]對牛腿建立了理想的STM，符合各規范要求，用于評價ACI、EC2、CSA牛腿承載力計算方法.如圖1所示，A、A′節點水平位置為承壓平臺中心，A、A′節點豎向位置為縱向受拉鋼筋形心；B、B′水平位置為中柱1/4寬度處，B、B′豎向位置為牛腿根部截面按塑性抗彎理論確定的等效矩形壓應力分布圖的中心.三國規范STM的主要區別在于混凝土壓桿和混凝土節點強度的確定方法不同，它們關于混凝土抗壓強度有效系數β的取值見表1.表中βc為混凝土強度有效系數，ρsv為箍筋配筋率，θ為混凝土壓桿與水平方向的夾角，fc為圓柱體抗壓強度，ε1為壓桿的橫向拉應變.

1.2軟化拉壓桿模型

Hwang等[6]在2000年首次提出了軟化拉壓桿模型（簡稱SSTM），該模型考慮了開裂鋼筋混凝土的平衡方程、本構關系和相容方程.圖2為按SSTM計算牛腿豎向承載力的簡圖，圖中θ為對角混凝土斜壓桿與水平方向的夾角，θs為兩側混凝土斜壓桿與水平方向的夾角；a為豎向剪力Vv至牛腿根部截面的水平距離，h為對角線混凝土壓桿的高度；水平箍筋拉桿定位于h/2處，力的大小用Fh表示；Vh為牛腿受到的水平力，D為對角線混凝土斜壓桿的內力（定義壓力為負值），Cd為節點區域混凝土的壓力.在牛腿中SSTM存在兩種抗剪機制，斜向機制和水平機制.斜向機制是由對角混凝土斜壓桿組成，水平機制是由水平箍筋拉桿和兩側混凝土斜壓桿組成.牛腿受到的豎向剪力Vv由混凝土和水平箍筋共同承擔. SSTM的承載力計算狀態為節點區域最大應力達到混凝土的極限抗壓強度，計算過程較復雜需要迭代求解.

1.3 Russo等拉壓桿模型

2牛腿受剪承載力計算方法評價

2.1牛腿受剪試驗數據庫

文章共收集了209組豎向受剪不帶纖維的鋼筋混凝土牛腿試驗數據，稱為牛腿總評價數據庫.用于評價國外規范STM、SSTM以及Russo STM.這些數據來源于試驗文獻[3，14-24]，包含了牛腿剪切破壞、斜壓破壞等主要的破壞模式，剔除了承壓破壞、錨固破壞等次要的破壞模式.為準確評價ACI STM、EC2 STM及CSA STM，用于評估的牛腿試驗數據還需滿足以下準則：1）給出承壓墊板寬度；2）壓桿水平傾斜角θ≥25°；3）壓桿水平傾斜角θ滿足1≤tanθ≤2.

CSA STM未限制壓桿角度θ，僅需滿足準則1，總評價數據庫篩選后還剩180組數據，稱為STM評價數據庫；ACI STM需滿足準則1、2，評價數據庫篩選后仍有180組數據，與STM評價數據庫同；EC2 STM需滿足準則1、3，評價數據庫篩選后還剩124組數據，稱為EC2 STM評價數據庫. STM評價數據庫中不滿足規范的數據計算過程不變但是不參與評價EC2的統計分析.

2.2計算方法評價

為了評價各個承載力計算模型的準確性和安全性，本文定義了計算模型誤差系數η和安全度n.計算模型誤差系數η是承載力試驗值Vt與承載力計算值Vc的比值，η越接近1表明承載力計算值越接近承載力試驗值.ηm、ηcov分別為計算模型誤差η的平均值和變異系數.ηm越接近1表明承載力計算模型越準確，ηcov值越小表明承載力計算結果離散性越小.安全度n為η值大于1的試件數與總試件數的比值，象征著承載力計算模型的安全性，n值越大表明承載力預測結果越安全.

各承載力計算方法的評價結果見表2.對于EC2 STM評價數據庫124組牛腿數據，EC2ηm值為1.56，n值為96%，承載力預測結果較準確安全；ηcov值為0.26，在規范計算方法中變異系數最低.由表2還可知，與無箍筋牛腿相比，對于帶箍筋牛腿，CSA STM和EC2 STM規范ηm計算值均明顯偏大即承載力計算值明顯偏小，這說明了規范低估了箍筋對牛腿的抗剪承載力貢獻.

為進一步比較各承載力計算方法關于牛腿承載力計算的適用性，文章探究了牛腿關鍵參數對承載力預測結果的影響.這些參數分別為：混凝土抗壓強度fc，剪跨比a/d，縱筋配筋率ρf和箍筋配筋率ρs.圖3～圖7為各承載力計算方法的預測效果圖，圖的橫坐標為牛腿各主要參數，縱坐標為計算模型誤差η.

如圖3（d）、圖4（d）和圖5（d）所示，當剪跨比a/d小于0.1時，ACI、EC2、CSAη值明顯偏大，這說明了規范STM模型對剪跨比極小的牛腿承載力預測值過于保守.如圖3（d）、圖4（d）所示，當剪跨比a/d大于0.1時，隨著a/d的增大，ACI、EC2η值呈降低的趨勢，這說明ACI STM和EC2 STM在剪跨比較大時高估了牛腿的承載力.如圖5（d）所示，當剪跨比a/d大于0.1時，CSA STM較好地反映了剪跨比a/d對牛腿承載力的影響，這是因為CSA STM混凝土壓桿有效系數β考慮到了壓桿角度的影響.

如圖3（a）和圖5（a）所示，隨著混凝土抗壓強度fc的增大，ACI和CSAη值呈下降的趨勢.當fc大于40 MPa時，出現了部分η值小于1的數據，預測結果偏不安全，這說明了ACI STM和CSA STM不適用于計算高強鋼筋混凝土牛腿.如圖4（a）所示，EC2 STM較好地反映了混凝土抗壓強度fc對牛腿承載力的影響，這是因為EC2 STM混凝土壓桿有效系數β考慮了混凝土抗壓強度的影響.

如圖3（c）所示，在箍筋配筋率ρs小于0.3%時，ACIη值偏高；在箍筋配筋率ρs大于0.3%時η值較穩定.這說明了ACI STM壓桿有效系數β考慮了箍筋配筋率ρs的影響，在ρs較大時能很好地反映箍筋的抗剪貢獻，但在ρs較小時低估了箍筋的抗剪貢獻.

與無箍筋牛腿相比，三國規范STM模型計算得到的帶箍筋牛腿η值偏高，即承載力計算值偏小，并且剪跨比越小這種規律越明顯.這說明了三國規范STM模型低估了箍筋對于牛腿抗剪承載力的貢獻，并且CSA STM和EC2 STM在剪跨比越小時這種情況越顯著.

如圖6和圖7所示，SSTM和Russo STM兩種模型均能很好地反映各主要參數對帶箍筋牛腿和無箍筋牛腿抗剪承載力的影響.對于總評價數據庫209組牛腿數據，SSTMηm值為1.14，Russo STMηm值為0.99，兩種精細計算模型承載力計算值均與試驗值吻合良好. SSTM n值為77%，承載力計算結果安全性較好；Russo STM n值為44%，超過半數以上的牛腿試件承載力計算值小于試驗值，承載力預測結果偏不安全.

綜上所述，規范拉壓桿模型的牛腿承載力計算方法偏于保守并且與試驗數據對比離散性大，SSTM承載力計算的準確性和安全性均較好且能反映牛腿主要參數對承載力的影響.因此，文章接下來將以SSTM為基準，對我國規范的牛腿設計方法進行分析，并給出實用設計建議.

3我國規范評價

本節首先設計一系列滿足《混凝土結構設計規范》（GB 50010—2010）（以下簡稱我國規范）要求的鋼筋混凝土牛腿[10].我國規范是針對剪跨比不大于1的短牛腿設計.如圖8所示，其計算模型為三角桁架模型，將牛腿頂部水平縱筋理想成拉桿、腹部混凝土理想成壓桿，豎向荷載由水平縱筋拉桿和混凝土斜壓桿共同承擔.牛腿所需縱向受拉鋼筋面積如式（1）.

選取的標準模型初始設計參數為：剪力設計值800 kN，混凝土強度等級C40，縱筋和箍筋均采用HRB400鋼筋，牛腿的寬度和剪切跨度分別為400 mm和250 mm.將初始設計參數代入我國規范牛腿設計公式，可以計算得到牛腿的有效高度h0為765 mm，縱筋和箍筋面積分別為923 mm2和462 mm2.標準模型的尺寸和配筋如圖9所示.

然后在標準模型的基礎上每次變化一個設計輸入參數，包括設計荷載Fv、混凝土強度fc、縱筋屈服強度fy、箍筋屈服強度fyv、剪切跨度a和牛腿寬度b，可以生成一系列滿足我國規范要求的鋼筋混凝土牛腿.參數取值范圍參考常用工程變化范圍[25-26]，牛腿設計參數取值見表3.

3.1混凝土強度

增大混凝土強度，按照規范設計的牛腿高度將減小，縱筋面積和箍筋面積將增大.牛腿承載力系數隨著混凝土強度的變化規律如圖10（a）所示.當混凝土強度由14.3 MPa增大到27.5 MPa時，承載力安全系數α0由1.07提高至1.40.原因是混凝土承擔的剪力將隨著混凝土強度增加而顯著增大，說明混凝土強度提升和鋼筋面積增加對抗剪承載力的貢獻大于牛腿高度減小對承載力的降低作用.隨著混凝土強度提升，箍筋對牛腿承載力的貢獻有降低的趨勢，原因是隨著混凝土強度增大，牛腿高度將減小，造成牛腿剪跨比增大，使得箍筋對牛腿承載力的影響降低.

3.2縱筋強度

增大縱筋強度，按照規范設計的牛腿縱筋面積和箍筋面積將減小.牛腿承載力系數隨著鋼筋強度的變化規律如圖10（b）所示.當縱筋強度由300 MPa增大到435 MPa時，承載力安全系數α0由1.35降低至1.11.原因是隨著縱筋強度增大，牛腿縱筋面積和箍筋面積均減小.縱筋面積減小使得按拉壓桿模型平衡條件確定的混凝土壓桿面積減小，造成混凝土承擔的剪力減小；箍筋面積減小造成箍筋承擔的剪力減小.因此，隨著縱筋強度的增大，混凝土和箍筋承擔的剪力均減小，導致牛腿承載力降低.

3.3剪切跨度

增大剪切跨度，按照規范設計的牛腿高度將增大；當剪切跨度小于150 mm時，剪跨比小于0.3，配筋面積保持不變；當剪切跨度由150 mm增大到350 mm時，配筋面積將增大.牛腿承載力系數隨著剪切跨度的變化規律如圖10（c）所示.當剪切跨度由50 mm增大到150 mm時，承載力安全系數α0由1.59降低至1.18.原因是箍筋承擔的剪力顯著減小，說明牛腿高度增加對抗剪承載力的貢獻小于箍筋對承載力的降低作用.當剪切跨度由150 mm增大到350 mm時，承載力安全系數α0由1.18提高至1.34.原因是混凝土承擔的剪力顯著增大，說明牛腿高度和縱筋面積增加對抗剪承載力的貢獻大于箍筋對承載力的降低作用.

3.4箍筋強度

按照規范牛腿箍筋為構造要求.牛腿承載力系數隨著箍筋強度的變化規律如圖10（d）所示.當箍筋強度由270 MPa增大到435 MPa時，承載力安全系數α0由1.21提高至1.24.原因是箍筋承擔的剪力將隨著箍筋強度增加而增大，隨著箍筋強度提升，混凝土對牛腿承載力的貢獻幾乎不變.

3.5設計荷載

增大設計荷載，按照規范設計的牛腿高度將增大，縱筋面積和箍筋面積將增大.牛腿承載力系數隨著設計荷載的變化規律如圖10（e）所示.當設計荷載從200 kN增大到1 100 kN時，承載力安全系數α0由1.51降低至1.15.原因是混凝土承擔的剪力將隨著設計荷載的增加而顯著減小，說明隨著設計荷載的增大，牛腿高度和縱筋面積增加對抗剪承載力的貢獻降低.隨著設計荷載增大，箍筋對牛腿承載力的貢獻有升高的趨勢，原因是隨著設計荷載增大，箍筋面積將增大，使得箍筋對牛腿承載力的貢獻提高.

3.6牛腿寬度

增大牛腿寬度，按照規范設計的牛腿高度將減小，縱筋面積和箍筋面積將增大.牛腿承載力系數隨著牛腿寬度的變化規律如圖10（f）所示.當牛腿寬度由400 mm增大到600 mm時，承載力安全系數α0由1.22提高至1.36.原因是混凝土承擔的剪力將隨著牛腿寬度的增大而增加，說明縱筋面積和牛腿寬度的增加對抗剪承載力的貢獻大于牛腿高度減小對承載力的降低作用.隨著牛腿寬度增大，箍筋對牛腿承載力的貢獻有降低的趨勢，原因是隨著牛腿寬度增大，牛腿高度將減小，造成牛腿剪跨比增大，使得箍筋對牛腿承載力的影響降低.

4抗剪承載力簡化公式

基于參數分析的結果，本節將提出牛腿承載力安全系數α0的計算公式，并將其定義為承載力修正系數α，用于修正我國規范設計公式.

承載力修正系數公式的擬合結果如圖11所示，圖中的數據點均來自于第3節中參數范圍內的牛腿試件.圖11中橫坐標為公式（4）的計算結果，縱坐標為參數分析的理論計算結果.承載力調整系數理論計算結果與公式（4）計算結果的比值平均值為1.001，變異系數為0.023，說明了擬合的承載力修正系數公式與參數分析的結果吻合較好.

為了驗證修正后的我國規范牛腿承載力計算公式的準確性，將公式（5）計算結果與文獻[3，14-24]中的試驗數據做比較.結果如圖12所示，ηm為1.06，說明規范采用調整系數α后承載力計算結果更加準確.將209組試驗數據按配筋是否滿足我國規范要求分為兩類，滿足規范的有36組，不滿足規范的有173組.其中滿足規范的試件承載力預測結果離散度更小，進一步說明了承載力修正系數α可為規范牛腿設計提供參考.

5設計建議

從第3節的分析中可以看出，我國規范設計牛腿的實際承載力均大于設計荷載，說明規范方法偏于保守.在滿足正常使用階段牛腿不出現斜裂縫（即牛腿尺寸不變）的前提下，可以通過降低構造箍筋的數量來更為準確和經濟地滿足牛腿抗剪承載力要求.圖13為牛腿抗剪承載力安全系數α0隨著實配箍筋數量與設計箍筋數量比值β的變化規律.在不同的設計參數下，α0隨著實配箍筋數量的增加而提高.當實際箍筋面積小于設計箍筋面積的80%時，部分試件出現了α0小于1的情況，說明此時牛腿實際承載力小于設計承載力.當實際箍筋面積大于設計箍筋面積的80%時，各個設計參數下的試件α0均大于1，說明此時牛腿實際承載力大于設計承載力.因此當實配箍筋數量減少為設計箍筋數量的80%時，牛腿的實際抗剪承載力均能滿足設計要求.

6結論

本文采用209組牛腿受剪試驗數據評估了各國規范和國外主要拉壓桿牛腿承載力計算模型，然后采用軟化拉壓桿模型對滿足我國規范的牛腿承載力進行分析，得到以下結論：

1）規范拉壓桿模型牛腿承載力計算方法偏于保守并且和試驗數據對比離散性大.并且規范STM均不適用于剪跨比極小（≤0.1）的牛腿，但ACI STM和CSA STM均未限制壓桿角度的最大值；在剪跨比較大時CSA STM較好地反映了剪跨比對牛腿承載力的影響. ACI STM和CSA STM不適用于高強混凝土牛腿，而EC2 STM考慮到了混凝土抗壓強度對牛腿受剪承載力的影響.

2）滿足我國規范的牛腿承載力隨著混凝土強度fc的增大而提高，隨著縱筋強度fy、牛腿高度h的增大而減小.當剪跨比小于0.3時，增大剪切跨度滿足我國規范的牛腿承載力降低；當剪跨比大于0.3時，增大剪切跨度滿足我國規范的牛腿承載力提高.牛腿寬度和箍筋強度對滿足我國規范的牛腿承載力影響比較小.

3）軟化拉壓桿模型能準確預測牛腿承載力并且能反映混凝土強度、剪跨比、縱筋配筋率、箍筋配筋率各個關鍵參數對牛腿受剪承載力的影響規律.基于軟化拉壓桿模型提出了承載力修正系數α的簡化計算公式.簡化公式的計算值與試驗值吻合良好，可為工程實際提供參考.

4）我國規范設計牛腿的實際承載力均大于設計荷載，當實配箍筋數量減少為設計箍筋數量的80%時，牛腿的實際抗剪承載力均能滿足設計要求.

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