三平移剛?cè)峄旌喜⒙?lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)與動(dòng)力學(xué)分析

朱 偉 時(shí)寬祥 王 燁 沈惠平 段恩業(yè)

(常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 常州 213164)

0 引言

繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)[1](Cable-driven parallel mechanisms, CDPMs)是一種用繩索驅(qū)動(dòng)代替剛性桿驅(qū)動(dòng)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，它具有工作空間大、運(yùn)動(dòng)速度快、承載能力強(qiáng)、柔順性好等特點(diǎn)。繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)CDPMs可分為欠約束CDPMs(nm+1)。由于繩索只能受拉，所以完全約束和過約束的CDPMs可以實(shí)現(xiàn)完全控制，而欠約束的CDPMs則需要增加輔助力來實(shí)現(xiàn)控制[2]。MING等[3]提出將重力看作虛擬驅(qū)動(dòng)繩索，并從理論和試驗(yàn)上證實(shí)了欠約束CDPMs在重力作用下是可控的，此后，這一方法被廣泛應(yīng)用于欠約束CDPMs的驅(qū)動(dòng)控制[4]。為了使并聯(lián)機(jī)構(gòu)只存在移動(dòng)自由度，通常在支鏈中采用平行四邊形結(jié)構(gòu)，如經(jīng)典的Delta[5]機(jī)器人，這種構(gòu)型方式同樣適用于CDPMs。BOSSCHER等[6]將平行四邊形支鏈應(yīng)用于CDPMs，提出一種平行繩索結(jié)構(gòu)的欠約束繩驅(qū)并聯(lián)機(jī)械手，這類由平行繩支鏈結(jié)構(gòu)構(gòu)成的CDPMs在運(yùn)動(dòng)中只要同組繩索與動(dòng)、靜平臺(tái)的鏈接點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，則動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)始終不會(huì)改變[7]。VU等[8]在此基礎(chǔ)上使用3組繩索構(gòu)成3個(gè)平行四邊形支鏈，機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)只能作空間平移運(yùn)動(dòng)，并且通過雅可比矩陣的奇異性確定了機(jī)構(gòu)的工作空間。

相比剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)，CDPMs雖有上述諸多優(yōu)點(diǎn)，但同時(shí)存在繩索張力不足、剛度較差[9]等缺點(diǎn)。為了改善繩驅(qū)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的力學(xué)性能，BEHZADIPOUR等[10]提出通過增加剛性桿來改善CDPMs剛度，并通過構(gòu)建等效彈簧的方法建立機(jī)構(gòu)的剛度矩陣，結(jié)果表明這種方式可有效提高CDPMs的結(jié)構(gòu)剛度。ZHANG等[11]在3自由度平行繩結(jié)構(gòu)的CDPM中增加了一條中間彈性支鏈，不僅提高了繩索張力，使機(jī)構(gòu)各組繩索在運(yùn)動(dòng)中分別保持平行，而且改善了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能。BEHZADIPOUR等[12]提出了一種類似“可變脊椎”的結(jié)構(gòu)，用來提高CDPMs中的繩索張力。然而，在大多數(shù)CDPMs中，驅(qū)動(dòng)繩索對(duì)動(dòng)平臺(tái)通常都存在力矩作用，給機(jī)構(gòu)分析帶來較大難度，GOSSELIN等[13]發(fā)明了空間交叉繩系(Crossing cables)結(jié)構(gòu)，繩索拉力對(duì)動(dòng)平臺(tái)的合力矩為零，大大簡(jiǎn)化了力學(xué)分析難度，而且這種構(gòu)型不會(huì)發(fā)生繩索干涉現(xiàn)象[14]，又增加了繩驅(qū)并聯(lián)機(jī)器人的可達(dá)工作空間，具有很好的推廣應(yīng)用價(jià)值。

本文提出一種3自由度繩驅(qū)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，在繩系為同組平行異組交叉的CDPMs基礎(chǔ)上，增加一被動(dòng)彈性支鏈，分析機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、可達(dá)工作空間和任務(wù)工作空間；在動(dòng)平臺(tái)具有高加速度的前提下，以驅(qū)動(dòng)繩索的驅(qū)動(dòng)力為優(yōu)化目標(biāo)對(duì)彈簧參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化；建立拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程，通過和期望運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)比，驗(yàn)證其正確性和合理性。

1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

機(jī)構(gòu)原理如圖1a所示，由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)以及連接于二者之間的3組平行繩索(6根繩索)和中間彈性可伸縮支鏈組成。3組平行繩索一端(繩①、②為組1，繩③、④為組2，繩⑤、⑥為組3)穿過固定在靜平臺(tái)上的3組導(dǎo)向套A1A2、A3A4、A5A6上，同組平行繩索另一端連接于動(dòng)平臺(tái)的圓周上，連接點(diǎn)分別記為B1和B2、B3和B4、B5和B6，且B1B2、B3B4、B5B6的連線均經(jīng)過動(dòng)平臺(tái)圓心O，兩兩之間的夾角為60°，如圖1b所示。中間彈性可伸縮支鏈兩端分別通過U副連接于靜、動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)O和點(diǎn)P，該支鏈可以看作SPS型彈性支鏈(S表示球副，P表示移動(dòng)副)。由于彈簧作用，中間支鏈?zhǔn)冀K處于被壓狀態(tài)，3組平行繩索則保持張緊，它們與靜、動(dòng)平臺(tái)的連接點(diǎn)構(gòu)成了平行四邊形結(jié)構(gòu)A1A2B1B2、A3A4B3B4、A5A6B5B6。因此，動(dòng)平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)中姿態(tài)保持不變，即機(jī)構(gòu)只能實(shí)現(xiàn)三平移運(yùn)動(dòng)，故記為3T繩驅(qū)機(jī)構(gòu)(T表示移動(dòng)副)。

機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)如圖1b和圖2所示。驅(qū)動(dòng)電機(jī)位于A2i-1A2i(i=1,2,3)的中間位置Ci(i=1,2,3)處，電機(jī)帶動(dòng)絞盤旋轉(zhuǎn)從而同時(shí)驅(qū)動(dòng)兩根平行繩索A2i-1B2i-1和A2iB2i運(yùn)動(dòng)，如圖2b所示。中間彈性可伸縮支鏈由移動(dòng)桿、導(dǎo)向桿和安裝于兩者之間的彈簧組成，剛性桿不僅有導(dǎo)向作用，還可以限制彈簧的伸縮范圍，其結(jié)構(gòu)如圖2c所示。繩索布置方式采用同組平行、異組交叉的結(jié)構(gòu)，如圖2d所示。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 位置與速度分析

如圖3所示，在靜平臺(tái)中心點(diǎn)O建立機(jī)構(gòu)的固定坐標(biāo)系Oxyz，OC1方向?yàn)楣潭ㄗ鴺?biāo)系的x軸正方向，Oxyz的z軸正方向?yàn)榇怪毕蛳隆Ｓ捎跈C(jī)構(gòu)只存在空間三平移運(yùn)動(dòng)，動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)P的位置在固定坐標(biāo)系中可表示為

p=lOP=(x,y,z)

(1)

由于機(jī)構(gòu)中6繩索構(gòu)成3組平行繩索,所以對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析時(shí)，可以將每組平行繩索分別簡(jiǎn)化成一條由點(diǎn)P到點(diǎn)Ci之間的虛擬的中間繩索，如圖3所示，記lPCi=ρi(i=1,2,3),則ρi=lB2i-1A2i-1=lB2iA2i。

根據(jù)封閉矢量原理可建立機(jī)構(gòu)位置方程

p=ci-ρi(i=1,2,3)

(2)

式中ci——第i個(gè)電機(jī)Ci(絞盤)在固定坐標(biāo)系中的位置矢量

根據(jù)圖1b可知

(3)

其中

c1=[R0 0]T

式中R——靜平臺(tái)基圓半徑

R1、R2、R3——固定坐標(biāo)繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的變換矩陣，旋轉(zhuǎn)角分別為0°、-120°和120°

將式(3)代入式(2)可得運(yùn)動(dòng)方程

Ric1-p=ρi

(4)

所以3T繩驅(qū)機(jī)構(gòu)的位置方程為

‖Ric1-p‖=‖ρi‖ (i=1,2,3)

(5)

設(shè)被動(dòng)彈性支鏈p的單位向量和第i組虛擬中間繩索矢量ρi的單位向量分別為up和ui，則up=p/‖p‖,ui=ρi/‖ρi‖。將式(2)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

(6)

式中ρi——第i組中間繩索矢量ρi的長(zhǎng)度

對(duì)式(6)兩邊點(diǎn)乘單位向量ui，進(jìn)一步得到各組繩索的速度為

(7)

因?yàn)?條繩索構(gòu)成3組平行四邊形繩索結(jié)構(gòu)，所以繩索速度和動(dòng)平臺(tái)速度可以表示為

(8)

J——機(jī)構(gòu)雅可比矩陣

2.2 工作空間分析

繩索并聯(lián)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中彈簧一直處于被壓縮狀態(tài)(保持彈性)，但彈簧被壓縮量有限。通常情況下彈簧最大壓縮量不超過初始長(zhǎng)度的50%[15]，則中間彈性可伸縮支鏈的長(zhǎng)度p的范圍為

pmin≤p≤pmax

(9)

其中

pmin=0.5LS+Spmax=LS+S

式中pmin、pmax——中間彈性可伸縮支鏈的最小和最大長(zhǎng)度

LS——彈簧初始長(zhǎng)度

S——導(dǎo)向桿長(zhǎng)度，如圖2c所示

考慮到中間彈性支鏈的尺寸以及球鉸的約束，設(shè)彈性支鏈的擺動(dòng)范圍為[-π/4,π/4]，動(dòng)平臺(tái)最大運(yùn)動(dòng)空間的幾何形狀如圖4所示。對(duì)于CDPMs，其工作空間的確定還要考慮驅(qū)動(dòng)繩索是否受拉。設(shè)每條繩索的拉力為tj(j=1，2，…，6)，因同組平行繩索中兩繩索的拉力相同，故3組平行繩索的等效拉力矢量可表示為Ti=Tiui=2t2i-1=2t2i(Ti為第i組平行繩索的拉力,i=1,2,3)，由于繩索只能承受單向力，所以機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)任意位置時(shí)，各組繩索的拉力Ti必須為正(方向同ui)，否則該位置點(diǎn)不在機(jī)構(gòu)的工作空間內(nèi)[16]。如圖5所示，機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)同時(shí)受到3組平行繩索的等效拉力Ti、中間支鏈彈性力Fk和動(dòng)平臺(tái)重力G的作用，彈簧彈力沿著中間支鏈向下。根據(jù)靜力平衡原理建立動(dòng)平臺(tái)力平衡方程

T1+T2+T3+Fk+G=0

(10)

其中

Fk=k(LS+S-p)upG=mg

式中m——?jiǎng)悠脚_(tái)質(zhì)量

g——重力加速度向量

k——彈簧彈性系數(shù)

繩索拉力Ti、彈簧彈力Fk和動(dòng)平臺(tái)重力G在空間中匯交于動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心點(diǎn)P，且構(gòu)成封閉矢量，由文獻(xiàn)[17]可知，只要彈簧彈力Fk向下(彈簧受壓)，則式(10)中各組繩索拉力Ti都一定平行于第i組繩索且方向向上，即拉力為正。所以，機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間[18]的幾何形狀如圖5所示。

考慮到實(shí)際應(yīng)用，設(shè)定動(dòng)平臺(tái)的任務(wù)工作空間[17]幾何形狀為一規(guī)則的圓柱體，如圖5所示。設(shè)該圓柱體直徑D與高H的比為4∶1，則可建立幾何關(guān)系

(11)

聯(lián)立式(9)、(11)可得

(12)

設(shè)當(dāng)中間支鏈與固定坐標(biāo)系Oxyz的z軸重合，且動(dòng)平臺(tái)位于任務(wù)工作空間的下底面時(shí)，動(dòng)平臺(tái)對(duì)應(yīng)的位置為機(jī)構(gòu)的初始位置，對(duì)應(yīng)的高度為初始高度h，且由圖4a可知h為

h=pmin+H

(13)

基于以上分析可知，繩索拉力、機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間、任務(wù)工作空間與中間支鏈的長(zhǎng)度p有關(guān)，而中間支鏈的長(zhǎng)度p又取決于彈簧的初始長(zhǎng)度LS。

3 中間支鏈優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 參數(shù)優(yōu)化

為了滿足高加速度及一定的任務(wù)工作空間的要求，機(jī)構(gòu)彈簧參數(shù)確定需要同時(shí)從3方面來考慮：① 繩索拉力必須大于等于允許最小張力fmin。② 保證機(jī)構(gòu)在具有高加速度的狀態(tài)下，驅(qū)動(dòng)繩索的驅(qū)動(dòng)力較小，能量消耗較小。③機(jī)構(gòu)能夠達(dá)到期望的任務(wù)工作空間。需要注意的是，動(dòng)平臺(tái)在高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于機(jī)構(gòu)存在彈簧，所以會(huì)產(chǎn)生彈性振動(dòng)，進(jìn)而影響機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度和穩(wěn)定性。為了減輕彈簧的彈性振動(dòng)，一方面設(shè)計(jì)彈簧直徑與剛性移動(dòng)桿的直徑近乎相等；另一方面，彈簧在機(jī)構(gòu)工作過程中始終處于被壓狀態(tài)。由前面的分析可知，中間彈性支鏈不僅影響動(dòng)平臺(tái)的工作空間，而且支鏈中的被壓彈簧對(duì)機(jī)構(gòu)的繩索張力、加速度及驅(qū)動(dòng)力都有很大的影響。若中間支鏈中導(dǎo)向桿長(zhǎng)度S已確定，則彈簧就決定了中間支鏈結(jié)構(gòu)，而影響彈簧特性的主要有兩個(gè)參數(shù)：彈性系數(shù)和初始長(zhǎng)度。

根據(jù)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)，設(shè)置機(jī)構(gòu)部分參數(shù)如表1所示。

設(shè)彈簧彈性系數(shù)和初始長(zhǎng)度分別為k和LS，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理求得繩子拉力需滿足

UT=maε-Fk-mg (14)

其中U=[u1u2u3]T=[T1T2T3]T

式中T——繩索拉力向量

a——?jiǎng)悠脚_(tái)(質(zhì)心)加速度

ε——?jiǎng)悠脚_(tái)加速度方向的單位矢量

因?yàn)閡1、u2、u3為線性無關(guān)的列向量，所以U存在逆矩陣U-1，則繩索拉力可表示為

T=U-1(maε-Fk-mg)

(15)

由機(jī)構(gòu)位置方程式(2)、(3)可得

ρ1u1+ρ2u2+ρ3u3=(c1+c2+c3)-3p=-3p

(16)

兩邊同時(shí)點(diǎn)乘Fk后，整理可得

-3U-1Fkpup=[Fkρ1Fkρ2Fkρ3]T

(17)

其中

Fk=k(LS+S-p)

將式(17)代入式(15)可得

(18)

由式(18)可求T的分量Ti為

(19)

(20)

對(duì)式(20)兩端所表達(dá)的集合取并集，即可得到當(dāng)機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)加速度為a時(shí)，繩索可能的最小和最大拉力為

(21)

(22)

(23)

將式(23)所表達(dá)的動(dòng)平臺(tái)位置在任務(wù)工作空間中表示，如圖6所示。

當(dāng)給定動(dòng)平臺(tái)一個(gè)加速度，則繩索驅(qū)動(dòng)力與彈簧參數(shù)的關(guān)系可以由式(2)、(3)和式(19)～(22)確定。為了使機(jī)械手能夠高速運(yùn)動(dòng)，設(shè)式(14)中動(dòng)平臺(tái)任意方向的加速度為5g。當(dāng)動(dòng)平臺(tái)在任意位置的任意方向都具有5g加速度時(shí)，則被動(dòng)彈性支鏈中彈簧彈性系數(shù)k、初始長(zhǎng)度LS和繩索驅(qū)動(dòng)力Tmin、Tmax之間的關(guān)系如圖7所示。

設(shè)定本機(jī)構(gòu)中每組平行繩索的最小張緊力fmin為10 N，因?yàn)槔K索必須處于張緊狀態(tài)，即拉力不小于最小張緊力，所以彈簧的參數(shù)必須在Tmin≥10 N的區(qū)域中選擇。從圖7可以看出，同一初始長(zhǎng)度(彈性系數(shù))下，Tmin/Tmax等值線的值越大,繩索拉力就越大，即所需要驅(qū)動(dòng)力越大，所以選擇Tmin=10 N的等值線。此時(shí)，繩索在滿足最小張力的條件下，動(dòng)平臺(tái)達(dá)到加速度5g所需要的繩索最小驅(qū)動(dòng)拉力為10 N。在Tmin=10 N的等值線上，若初始長(zhǎng)度LS選擇越大，則繩索拉力的最大值Tmax就越大，即所需要繩索的驅(qū)動(dòng)拉力越大。從式(12)可知，若初始長(zhǎng)度LS減小，則機(jī)構(gòu)的任務(wù)工作空間就會(huì)縮小。考慮到機(jī)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)定期望的任務(wù)工作空間的高度H≥0.25 m，則彈簧初始長(zhǎng)度必須滿足LS≥0.56 m。因此綜合考慮，彈簧初始長(zhǎng)度LS可選為0.6 m，此時(shí)彈簧彈性系數(shù)k為1 300 N/m，如圖7所示。從圖7可以看出，當(dāng)LS=0.6 m、k=1 300 N/m，若動(dòng)平臺(tái)在工作空間內(nèi)以加速度5g運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩索的驅(qū)動(dòng)力(拉力)的最小值和最大值分別為10 N和280 N。此時(shí)，由式(13)可得，機(jī)構(gòu)初始高度h為0.95 m。圖8為彈簧參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖。

3.2 性能估計(jì)與驗(yàn)證

(24)

式中，Tmin=10 N。

將上面優(yōu)化后的彈簧參數(shù)LS、k和初始高度h代入式(24)，可以得到動(dòng)平臺(tái)的加速度a為

(25)

(26)

式中，Tmax=280 N。

此時(shí)，動(dòng)平臺(tái)對(duì)應(yīng)的加速度a為

(27)

根據(jù)上述優(yōu)化結(jié)果，選取彈簧參數(shù):LS=0.6 m,k=1 300 N/m,且每組繩索拉力Ti=10 N和Ti=280 N時(shí),機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)任意位置的加速度，結(jié)果如圖9所示。從圖9可以看出，在驅(qū)動(dòng)繩索拉力為10 N和280 N時(shí)，機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的最大加速度分別為288.6 m/s2和217.4 m/s2，最小加速度分別為50.4 m/s2和49.7 m/s2。顯然，優(yōu)化后彈簧參數(shù)使動(dòng)平臺(tái)加速度達(dá)到期望的5g加速度，可以實(shí)現(xiàn)高速運(yùn)動(dòng)。由此，可以認(rèn)為彈簧參數(shù)的優(yōu)化方法和結(jié)果合理。機(jī)構(gòu)參數(shù)分別為k=1 300 N/m，LS=0.6 m，h=0.95 m。

4 動(dòng)力學(xué)分析

4.1 動(dòng)平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型

在CDPMs中，3T機(jī)構(gòu)主要有動(dòng)能和勢(shì)能兩種能量，可以考慮采用拉格朗日方法建立動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型。動(dòng)平臺(tái)質(zhì)量為m，輕質(zhì)剛性伸縮桿質(zhì)量為mr，繩索質(zhì)量忽略不計(jì),建立如圖3所示的坐標(biāo)系。根據(jù)拉格朗日法，建立機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程為

(28)

其中L=Ek-Ep

式中q——廣義坐標(biāo)向量

L——拉格朗日函數(shù)Ek——機(jī)構(gòu)動(dòng)能

Ep——機(jī)構(gòu)勢(shì)能(包括重力)，取Oxy平面是零勢(shì)能面

Q′——廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力向量(非保守力引起的)

根據(jù)圖2、3，推導(dǎo)得基于廣義坐標(biāo)q的機(jī)構(gòu)動(dòng)能和勢(shì)能為

(29)

(30)

則拉格朗日函數(shù)L為

(31)

求解廣義力的方法有矢量定義法和廣義虛位移法，這里采用后者。由虛位移原理求解廣義力為

(32)

式中qj——機(jī)構(gòu)第j個(gè)廣義坐標(biāo)

Q′j——非保守力對(duì)應(yīng)于qj的廣義力

δW——繩索拉力所作的虛功

將q1=x,q2=y,q3=z代入式(32)得

∑δW=Q′1δx+Q′2δy+Q′3δz

(33)

因?yàn)棣膓j具有任意性，所以設(shè)δx≠0,δy=δz=0，則機(jī)構(gòu)繩索拉力所作的虛功為

∑δW=T1δx+T2δx+T3δx

(34)

即Q′1δx=T1δx+T2δx+T3δx

(35)

則由式(35)可計(jì)算

(36)

同理，分別設(shè)δy≠0,δx=δz=0和δz≠0,δx=δy=0，則有

Q′2δy=T1δy+T2δy+T3δy

(37)

Q′3δz=T1δz+T2δz+T3δz

(38)

將式兩邊分別同除以δy和δz可得

(39)

(40)

式中Q′1、Q′2、Q′3——廣義向量Q′中的元素

i、j、k——笛卡爾坐標(biāo)系的x、y、z軸的單位矢量

U1、U2、U3——U的第1、2、3行元素

根據(jù)3T繩驅(qū)機(jī)構(gòu)工作空間的幾何關(guān)系,可得到廣義坐標(biāo)向量q的范圍為

Nl≤qT[ijk]≤Ml

(41)

其中

將式(31)、(36)、(39)、(40)代入式(28)可得

(42)

將式(42)改寫成矩陣形式，并聯(lián)立式(41)即可得動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型為

(43)

Q=[-Q′1-Q′2-Q′3-mg-mrg/2]

4.2 仿真驗(yàn)證與分析

在機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型中，機(jī)構(gòu)參數(shù)如表1所示。設(shè)動(dòng)平臺(tái)期望軌跡方程為

(44)

由式(44)可知，動(dòng)平臺(tái)的期望運(yùn)動(dòng)為空間運(yùn)動(dòng)：動(dòng)平臺(tái)先由初始位置z=0.95 m垂直向上運(yùn)動(dòng)至z=0.8 m處，停滯0.2 s再沿x軸正方向水平運(yùn)動(dòng)0.2 m，再停滯0.2 s后在該水平面上作半徑為0.2 m的圓周運(yùn)動(dòng)。

已知?jiǎng)悠脚_(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡求驅(qū)動(dòng)力是動(dòng)力學(xué)反解問題[20]。將動(dòng)力學(xué)模型式(43)的Matlab數(shù)值計(jì)算結(jié)果和ADAMS的虛擬樣機(jī)仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖10所示。由圖10可以看出，Matlab數(shù)值計(jì)算結(jié)果與ADAMS仿真結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的正確性。

5 試驗(yàn)

基于中間支鏈結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的結(jié)果，設(shè)計(jì)并搭建了3自由度繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的試驗(yàn)樣機(jī)(圖11)。

在抓取、分揀等領(lǐng)域中，繩驅(qū)并聯(lián)機(jī)器人的主要操作就是在機(jī)器人可以達(dá)到的三維空間中，實(shí)現(xiàn)某一點(diǎn)到另一點(diǎn)的抓取和放置操作(Pick and place operations，PPO)[21]，故假設(shè)動(dòng)平臺(tái)期望軌跡為“門”字形軌跡，包括拾取、搬運(yùn)、放置三過程，如圖12所示。其中，設(shè)定6個(gè)路徑點(diǎn)，記為Nh(h=1,2,…,6)；表2為它們的坐標(biāo)位置。為實(shí)現(xiàn)這一軌跡，動(dòng)平臺(tái)需依次完成上升階段N0N2、水平運(yùn)動(dòng)階段N2N4以及下降階段N4N6。

表2 “門”軌跡中各路徑點(diǎn)的位置Tab.2 Position of each path point in track like character door

當(dāng)動(dòng)平臺(tái)軌跡已知時(shí)，可通過式(4)計(jì)算出各組繩索長(zhǎng)度ρi的理論值；在繩索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)樣機(jī)中，測(cè)出動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)至各路徑點(diǎn)Nh時(shí)，各組繩索長(zhǎng)度ρi的實(shí)際值，其結(jié)果如圖13所示。由圖13可以看出，各組繩索長(zhǎng)度ρi的理論值和測(cè)量值基本吻合。因此，可以證實(shí)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的建立是正確的。

6 結(jié)論

(1)提出一種由3組平行繩索和一條被動(dòng)彈性支鏈組成的繩驅(qū)并聯(lián)機(jī)械手機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)不僅可以提高繩索張緊力和機(jī)構(gòu)剛度，還能使機(jī)構(gòu)具有較高加速度，實(shí)現(xiàn)高速運(yùn)動(dòng)。

(2)在機(jī)構(gòu)具有高加速度的條件下以驅(qū)動(dòng)繩索的驅(qū)動(dòng)力為優(yōu)化目標(biāo)對(duì)彈簧做了參數(shù)優(yōu)化，最終得到了彈簧參數(shù)與繩索拉力之間的關(guān)系；從而為機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供合適的性能指標(biāo)。

(3)采用拉格朗日法對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模，得到了動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)方程，并利用Matlab和ADAMS軟件進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，得到了繩索的驅(qū)動(dòng)力曲線，驗(yàn)證了動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡；最后，基于優(yōu)化結(jié)果設(shè)計(jì)了樣機(jī)，并證實(shí)了建立的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是正確的。