助推兒童數(shù)學(xué)表達力進階的實踐探尋

顧萬全 陳 靜

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》闡述數(shù)學(xué)課程總目標時從四個方面展開，分別是知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度。這四個類別中都對學(xué)生的“表達力”提出了要求：知識與技能方面要求引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究討論的過程；數(shù)學(xué)思考方面要求學(xué)生能清晰地表達自己的想法；問題解決方面要求學(xué)生學(xué)會與他人合作交流；情感態(tài)度方面要求學(xué)生養(yǎng)成合作、交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣。表達力不僅是指能語言流暢地說出自己知道的知識，更是指能正確地陳述自己的想法和觀點，它是學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題能力及數(shù)學(xué)思維能力成長的外化，是其碰撞思維、建構(gòu)認知、提升數(shù)學(xué)思考能力的深度學(xué)習(xí)的促進。然而，筆者在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，兒童普遍存在著不敢說、不會說、會說但不會寫、會說會寫但流于淺表層等問題。因此，筆者認為，教師在教學(xué)中有意識地助推兒童的數(shù)學(xué)表達力進階勢在必行。

一、兒童數(shù)學(xué)表達力進階的內(nèi)涵與價值

數(shù)學(xué)表達力，是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，基于數(shù)學(xué)知識，用口頭語言或書面的文字呈現(xiàn)、字母表示、符號表征等方式陳述數(shù)學(xué)觀點及結(jié)論，并在發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的過程中呈現(xiàn)出的表現(xiàn)力。兒童用數(shù)學(xué)語言表達世界是在其用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界（外界輸入）、用數(shù)學(xué)的思維分析世界（自身處理）的基礎(chǔ)上的對外輸出。

在小學(xué)階段，兒童的數(shù)學(xué)表達力發(fā)展大致經(jīng)歷如下頁圖1所示的四個階段。兒童數(shù)學(xué)表達力的層級化進階，是其數(shù)學(xué)思維由混沌走向清晰、由經(jīng)驗走向理性、由淺表走向深入、由從眾走向內(nèi)省思考的過程，是其在數(shù)學(xué)化思考中，數(shù)學(xué)思維發(fā)生質(zhì)的飛躍，成長為有“數(shù)學(xué)味”的人的過程。筆者所研究的表達力進階，主要表現(xiàn)在表達情感進階、表達方式進階與表達思維進階等方面。表達情感進階指的是由不敢說到敢說、喜歡說；表達方式進階指的是由口語化地說、簡單地說進階到多元表征（文字、符號、動作、操作）地說；表達思維進階指的是由淺層的兒童化思考到有數(shù)學(xué)邏輯推理、模型化思維表達的思考。推動兒童的數(shù)學(xué)表達力進階，有助于激發(fā)兒童的問題意識，使他們放心說、開心說；有助于兒童建立表達框架、明晰表述方式，使他們數(shù)學(xué)說、完整說；有助于兒童建立深層表達，使他們深度說、思維說。

（圖1）

二、兒童數(shù)學(xué)表達力進階的實踐探尋

（一）從氛圍到方式，讓學(xué)生敢說

1.營造民主氛圍，促進師生情感交融。

師：從左到右的轉(zhuǎn)換，參與計算的哪道式子沒變，哪道式子變了？

生1：參與計算的125×3沒變，但原式加的是125×5，被變換成了只加5。

師：你對算式的敏銳觀察和比較很讓人欣賞哎！其他同學(xué)有自己的“轉(zhuǎn)化”竅門嗎？

生2：我們二年級時就研究過“乘法是加法的簡便運算”，這位同學(xué)直接丟掉一個乘數(shù)，只留下了一個乘數(shù)。我想畫個線段圖（沖到黑板前畫出圖2），一目了然。所以呢，125×3+125×5=125×（3+5）。

（圖2）

師：除了線段圖，平面圖或立體圖能呈現(xiàn)出正確的思考嗎？

生3：我可以用“求長方形面積”的方法試著畫個平面圖（走到黑板前畫出圖3）。通過觀察圖形，很容易發(fā)現(xiàn)，兩道乘法算式相加，其實就是兩個小面積相加。大面積=小面積+小面積，而不是只加一條寬。

（圖3）

師：你從面積的角度去思考，另辟蹊徑，很好呀！如果不畫圖，你的思考又是什么樣的呢？

生4：我會想，我們采購表演服每件125元，男生需要3件，女生需要5件，總價肯定不可以是3件的價格加數(shù)量5呀！

1.2.1 發(fā)揮了財政農(nóng)發(fā)資金的杠桿作用和乘數(shù)效應(yīng)。全市立項“創(chuàng)投”項目通過財政補助或貼息投入的方式，只需約財政資金2.82億元，撬動比例約為1∶5，發(fā)揮了乘數(shù)效應(yīng)。

師：是的，要加數(shù)量5件的價格。

…………

學(xué)生對錯題剖析的思考表達既有生活經(jīng)驗也有數(shù)學(xué)認知，教師對學(xué)生表達意圖的準確解讀和認同，使得學(xué)生愿意坦率地表達出自己的數(shù)學(xué)思考。學(xué)生將觀察到的算式形式及數(shù)字特征在腦海中進行圖式表征后，在教師“問題鏈”的引領(lǐng)下調(diào)取長時記憶中的相關(guān)圖式，更易于遞等出“125×3+125×5=125×（3+5）”這個算式，進而鞏固對“a×c+b×c=（a+b）×c”這一字母形式的理解，從源頭上強化對乘法運算律的數(shù)學(xué)化思考。

2.建構(gòu)表達框架，促使學(xué)生述有結(jié)構(gòu)。

史寧中教授指出：數(shù)學(xué)教育的終極目標，是引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達世界。在數(shù)學(xué)課堂中，師說我說（用嘴巴表達）—現(xiàn)象陳述（用眼睛表達）—發(fā)現(xiàn)規(guī)律（用頭腦表達）—反思歸納（用思維表達），學(xué)生的層級式表達是其伴隨著數(shù)學(xué)思考進入深度學(xué)習(xí)的標識，數(shù)學(xué)表達力進階有助于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。為了讓學(xué)生動口說、動手寫的過程更具邏輯性和思維性，筆者與學(xué)生商定，將“我有表達”“我有思考”“我有疑問”“我有不同意見”等話術(shù)作為數(shù)學(xué)課堂的引語，且書寫于黑板固定處，便于他們參照。

四年級學(xué)生接觸“25×（40+8）”這道題時，筆者鼓勵他們“根據(jù)這道算式思考并列舉一個生活中的例子”，學(xué)生舉例道：一盒餅干25元，小明想跟同學(xué)們分享，第一次買了40盒，第二次買了8盒。請問一共需要付多少元錢？接著，筆者提議出題小老師邀請一位同學(xué)來解答。學(xué)生借助“我有表達”“我有補充”“我有不同意見”等話術(shù)互相啟發(fā)思考，當先算（40+8）與先分別算25×40、25×8這兩種方法都出現(xiàn)時，筆者追問：想一想，這兩種計算方法為什么都可以算出一共付了多少錢？請你聯(lián)系生活經(jīng)驗，說一說。

生1：我先算出兩次一共買了多少盒，再用單價×數(shù)量=總價，算出一共付了多少錢。

生2：我有表達，用單價×數(shù)量=總價，分別算出第一次和第二次買要花多少錢，再相加算出總價。

生3：我有補充，在生活中，兩種計算方法都可以。但是，到底哪種方法更便捷呢？我們要有自己的思考。

師：誰來猜猜“我們的思考”是什么？

生4：我覺得“我們的思考”是，當總盒數(shù)相加的和是整十、整百或整千時，先算總盒數(shù)比較便捷；當單價和每次購買的盒數(shù)相乘能得整數(shù)時，分開計算價格的方法比較便捷。

上述交流環(huán)節(jié)，學(xué)生單個體多頻次、單個體與同伴之間、單個體與教師之間經(jīng)歷了“現(xiàn)象陳述—對比分析—反思歸納”的過程，將生活經(jīng)驗與深度學(xué)習(xí)有效地鏈接了起來，激發(fā)了學(xué)生自發(fā)調(diào)取生活經(jīng)驗參與思考運算律內(nèi)在機理的意識，使學(xué)生的表達更會架構(gòu)、更有邏輯。

（二）從單一到多元，讓學(xué)生會說

1.口頭表達與書面表達相結(jié)合。

師生對話、生生對話、生本對話均指向?qū)W生的口頭語言表達。在實際教學(xué)中，我們會發(fā)現(xiàn)，學(xué)生會說但不會書面輸出的現(xiàn)象比比皆是，其實，寫、畫也是提升兒童表達力的重要途徑。四年級學(xué)生“初見”加法、乘法運算律后，因生活情境的喚醒、數(shù)形結(jié)合等方法的使用，有教師就以為學(xué)生已經(jīng)通透地了解了算理。同時，因為數(shù)學(xué)課堂的時間有限，教師多以“齊說”“優(yōu)生說”替代“個體說”。

筆者以前教學(xué)“運算律”時，注重學(xué)生體驗基礎(chǔ)上的個體反饋式口語表達。學(xué)生在課堂上一直是活躍和互動的，但在落筆書面表達時，亦會出現(xiàn)不少錯誤，如：①257×31-57×31=（257+57）×31；②25×（40+8）=25×40×8；③25×32=25×（4×8）=25×4+25×8；④125×3+125×5=125×3+5；

⑤303×21=（300+3）×21=303×21。究其原因：①缺乏嚴謹?shù)淖鞔饝B(tài)度；②③算理不清；④逆向思維受阻，等量意識欠缺；⑤規(guī)律感知不明。

這次教學(xué)時，筆者在保持課堂上學(xué)生口頭表達頻次的前提下，引導(dǎo)學(xué)生將口頭表達與書面表達相結(jié)合，并呈現(xiàn)上述錯誤題目，要求學(xué)生“挑選其中的一道題，將它的錯處說給同桌聽。然后重新列遞等式解答，并用自己喜歡的方法（寫一寫、畫一畫）表示出來”，以保證課堂上所有學(xué)生既能說又真正參與寫、畫、算的書面表達活動，算理的理解、算法的掌握、算技的思考在口語表達與書面表達相融合的過程中得到了有效落實。

2.文字表達與符號表達相融合。

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，其實也是其多元表征能力成長的過程。由情境到圖形，由圖形到算式，由算式到符號，由符號到自己列舉可簡算的題目，是學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維的外顯。學(xué)生“25×（4×8）=25×4+25×8”這道題中呈現(xiàn)出的偏差思考，起碼說明他們有“見到乘數(shù)25想到乘數(shù)4”的簡算意識，在乘法中雜糅加法則暴露出學(xué)生在算理方面的不清晰。乘法結(jié)合律和乘法分配律的混用，與學(xué)生缺乏對“為什么能簡算？用什么去簡算？”這類問題的思考有關(guān)。教師在追問學(xué)生“怎樣去簡算”之前，以如圖4所示的引導(dǎo)性文字與多角度符號啟發(fā)學(xué)生展開思考，可以更好地促進他們自主挖掘知識內(nèi)涵，建構(gòu)知識模型。

（圖4）

（三）從表層到深層，讓學(xué)生說好

學(xué)生動口說和動手寫的情感、方式的進階，均指向?qū)W生的數(shù)學(xué)思維由混沌走向清晰、由經(jīng)驗走向理性、由從眾走向內(nèi)觀，并最終由表層走向深層的“智說”的過程。筆者主張教師在教學(xué)中與學(xué)生一起經(jīng)歷角色體驗、全程互動，強調(diào)民主平等、潛能激發(fā)，并注重給學(xué)生提供提一些問題、做一項任務(wù)、作一次交流、當一回老師的機會。學(xué)生對某一知識點的學(xué)習(xí)，不能僅就知識學(xué)知識，還要知道該知識點的前沿后續(xù)。如運算律的知識不是僅出現(xiàn)在四年級，不能割裂地對其進行教學(xué)。從思維訓(xùn)練來看，它建構(gòu)于學(xué)生對三年級“減法的性質(zhì)”“除法的性質(zhì)”的體悟，廣泛應(yīng)用于六年級整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)的學(xué)習(xí)中；從思維建構(gòu)來看，它還可以融通初中負數(shù)介入后的算理。數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)要求我們，要超越簡單的具體知識，理解其背后的結(jié)構(gòu)、方法和思想。四年級學(xué)習(xí)運算律時適當滲透其相關(guān)知識，有助于學(xué)生對知識的思考走向深入。教師要注意引導(dǎo)學(xué)生在交流分享中實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)、智慧表達。

數(shù)學(xué)家陳省身先生說：“數(shù)學(xué)是自己思考的產(chǎn)物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會有很好的效果。”學(xué)生通過表達學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)學(xué)會思考，通過思考表達世界。情感交融、建構(gòu)框架、口手融合、文符融合、文圖結(jié)合等有助于學(xué)生敢說、會說、智說，實現(xiàn)數(shù)學(xué)表達力的進階式提升，從而使其數(shù)學(xué)思考逐漸走向深入。