從理想氣體壓強到大氣壓強的教學討論*

柳福提 張聲遙 盧 清

(宜賓學院理學部物理學院 四川 宜賓 644000)

在初中物理教學中，要求知道大氣壓強及其與人類生活的關系[1]，“大氣壓強”這節內容一般是安排在壓強、液體壓強的內容之后，從非常直觀的固體壓強的經驗出發，提出壓強概念，接著討論液體壓強、氣體壓強[2]，后續還有大氣壓強隨高度的變化、沸點與壓強的關系等相關問題，這樣安排有其知識邏輯結構的好處，但學生往往也容易采用類比固體與液體壓強產生的機理來理解大氣壓強產生的原因，從而導致一些錯誤的認識，再加上有些習題或教科書直接采用宏觀等效的處理辦法，讓學生認為大氣壓強就是由大氣分子受到重力作用而產生的.在教學過程中發現，學過大學物理后對大氣壓強產生的物理機制并不清楚也不是個別現象.如果沒有重力的作用，是不是就沒有大氣壓強呢？根據分子動理論觀點，即使沒有重力作用，氣體分子的熱運動依然會使分子頻繁地碰撞而產生壓強.那大氣壓強的實質究竟是什么呢？它為什么會隨高度發生變化呢？針對這一問題，本文從理想氣體壓強到大氣壓強進行分析討論，對學生建立物理認知、培養科學思維、分析解決實際問題具有重要意義.

1 理想氣體壓強

1.1 理想氣體模型

從分子動理論的觀點看，如果分子本身的線度與分子之間的平均距離相比，可以忽略不計；只有兩個分子在比較接近時才有相互作用，即認為除碰撞的瞬間外，分子之間以及分子與容器器壁之間無相互作用；當氣體被貯存在容器中時，其分子在運動過程中高度的變化并不很大，分子受的重力也可忽略；分子之間以及分子與容器器壁之間的碰撞是完全彈性的，即氣體分子的動能不因碰撞而損失.我們把滿足以上條件的氣體稱為理想氣體模型[3].

1.2 壓強公式

p=nkT

(1)

下面從微觀上來推導理想氣體的壓強，從而可以理解壓強產生的物理實質.取空間直角坐標系Oxyz，在垂直于x軸的器壁上任意取一小塊面積dA，如圖1所示，假設單位體積內的分子數為n， 則dt時間內有∑nivixdtdA個分子向右運動與器壁碰撞，每一個分子與器壁發生彈性碰撞，動量改變量為2mvix，利用沖量定理可求出器壁的壓強為

圖1 理想氣體分子運動示意圖

如果令

再根據氣體分子在平衡態時向各個方向運動的概率相等，即

就可以計算器壁的壓強為

(2)

(3)

該式表明氣體分子的平均平動動能只與溫度有關，直接解釋了高中物理教材中“溫度是物質分子熱運動的平均平動動能的標志”的意義[6]，它從微觀的角度闡明了溫度的實質.從式(2)可以看出，對于處在平衡狀態的理想氣體的壓強,是由單位體積的粒子數及分子運動的劇烈程度兩個因素來決定，如果系統粒子數與溫度均勻分布，系統內壓強也就處處相等.

2 大氣壓強

地球周圍充滿大氣，假設溫度均勻分布，無規則的熱運動會使氣體分子均勻分布于它們所能達到的空間，而大氣分子同時由于受到重力的作用，會使氣體分子向地球表面聚集，在這兩種作用達到平衡時，氣體分子在地球周圍的分布就是非均勻的，也就會導致大氣壓強會隨著高度發生變化.

2.1 大氣分子按高度的分布

根據麥克斯韋速度分布律，當系統在重力場中處于平衡態時，其坐標介于區間x→x+dx，y→y+dy，z→z+dz內，同時速度介于vx→vx+dvx，vy→vy+dvy，vz→vz+dvz內的分子數為

(4)

式中n0表示在勢能εp為零處單位體積內具有各種速度的分子總數，這個結論稱為玻爾茲曼分布律.如果取上式對所有可能的速度積分，考慮到麥克斯韋分布函數所應滿足的歸一化條件

則式(4)可寫為

即單位體積內的分子數為

(5)

即分子按勢能的分布律，說明在重力場中，由于分子受重力作用，在地球表面(z=0)處的分子數密度最大用n0表示，分子數密度n隨著高度z的增加按指數規律減小，當z為無窮大時，n趨近于零，具體變化關系如圖2所示.

圖2 重力場中粒子數密度隨高度的變化關系

2.2 大氣壓強隨高度的變化

把式(5)代入式(1)很容易確定大氣壓強隨高度的變化規律，即

(6)

該式稱為等溫氣壓公式，p0為高度z=0處的壓強，隨著高度的增加，大氣壓減小.當z→∞時，因為粒子數密度n趨于零，所以p→0.利用式(6)可以通過測量溫度(假設地球大氣等溫)，測出飛機起飛前、后機艙中的壓強，就可以計算出飛機距離地面的高度，在生活生產中有廣泛應用.

2.3 大氣壓強與重力的關系

如圖3所示，設底面積為S的圓柱，在高度為z處取一個高為dz的圓柱體積元，由于dz很小，近似認為這個體積內的氣體分子均勻分布，粒子數密度用n表示，下表面處的壓強為p，上表面處的壓強為p+dp，根據平衡受力分析可得pS=nmgSdz+(p+dp)S，化簡為

dp=-ρgdz

(7)

其中ρ=nm，上式實際上也可以由式(6)兩邊微分得出，結果一樣.

圖3 大氣層中體積元的受力分析圖

設大氣層的厚度為z，當z→，由于粒子數密度n→0，因此p→0，對式(7)兩邊積分

(8)

式中的p0就是z=0的大氣壓強，G為z=0處至大氣層頂部的氣柱的重力大小.所以式(8)表明地球表面處大氣壓強的大小就等于單位橫截面積上整個空氣柱的重力，因此就出現“大氣壓是由于大氣層受到重力作用而產生的” 這一等效說法，這僅僅表明大氣壓強與相應空氣柱的重力的數值關系.如估算大氣層氣體的總重量，就可以根據式(8)得G=p0S=p04πR2，只要知道地球半徑R和地表大氣壓強p0的大小就可近似求出大氣層氣體的總重量[7].

從宏觀的角度看，大氣壓強的大小與其單位面積上整個空氣柱的重力相等，但不能因此就認為大氣壓強是由空氣重力引起的.如果對于初中階段不涉及大氣壓強產生的微觀機理，這種等效是一種迫不得已的變通說法，可以讓學生感知大氣壓強的存在，但不利于理解大氣壓強產生的原因，從而形成正確的物理觀念.

3 討論

在高度變化不是很大的情況下，我們討論的大氣分子由于勢能變化很小，認為系統中的分子近似均勻分布，大氣可以近似為理想氣體；當高度變化比較大，明顯導致分子分布不均勻時，我們必須根據粒子按勢能分布律考慮粒子數密度隨高度變化，從而導致壓強變化的情況.弄清楚大氣壓強的物理實質，就很容易理解大氣壓的一些相關問題.

問題一：如果將一個開口的容器置于空氣中，假設此時大氣壓為一個標準大氣壓(101.325 kPa)，如果將瓶口密封，這時瓶內空氣壓強怎么變化[4]？按照大氣壓強與空氣柱重力的關系，密封之后上面的空氣柱重力變小，那瓶內空氣壓強是否會變小呢？開口時瓶內空氣壓強的大小可以等效為瓶口以上單位面積上直至大氣層頂端空氣柱的重力，而當瓶口密封后，考慮容器本身的高度不是很大，分子勢能變化可以忽略，可以把容器里面的氣體近似看作理想氣體，由于粒子數密度、溫度與密封前相比較沒有發生改變，因此壓強不會發生變化，仍為一個標準大氣壓.

問題二：關于地面附近的大氣壓強，我們可以說“這個壓強是由地面附近那些做無規則運動的空氣分子對每平方米地面的碰撞造成的.”也可以說“這個壓強與地面上方單位體積內氣體分子數有關，又與地面附近的溫度有關.”還可以說“這個壓強就是地面每平方米面積的上方整個大氣柱的壓力，它等于該氣柱的重力.”[8]其實第一種說法就是根據壓強的定義闡述了大氣壓強產生的微觀物理機制；而第二種說法是把大氣的局部看作理想氣體，根據壓強p=nkT的正確表述；第三種說法是大氣壓強與空氣重力關系的表述，在數值上是相等的，因此很容易看出3種說法都是正確的.

4 小結