用矩陣方法處理物塊碰撞次數問題

彭定輝

(江西省南豐縣第一中學 江西 撫州 344500)

1 問題

碰撞次數問題是近期網上熱議的中學物理問題之一.《碰撞出來的圓周率》一文對此進行了詳盡細致的討論分析，證明了碰撞次數與圓周率的關系[1]；再有《關于物塊碰撞次數的探討》用速度相圖方法對該問題進行了研究[2].本文從系統的觀點出發，借助矩陣方法，為碰撞次數問題建立一種清晰的物理模型.

為了簡化物理情景，故對原題進行部分改動，陳述如下：

圖1 變題題圖

2 分析

將兩物塊先相互碰撞，再小物塊與墻相碰的過程稱為一次沖擊，系統運動的整個全過程由多次沖擊組成.現就一次沖擊中的兩次碰撞進行具體分析.

為了凸顯運動的對稱性，規定小物塊m向右為正方向，大物塊M向左為正方向.它們之間為彈性碰撞，假定兩物塊碰前速度分別為v0和u0，碰后速度分別為v和u，故有

-mv+Mu=-mv0+Mu0

求解得

接著小物塊m與墻壁發生彈性碰撞，速度反向，故有：v′=-v.可以把v0和u0稱為兩物塊在沖擊過程的初速度，v′和u稱為對應的末速度.

系統第k+1次沖擊時，兩物塊初速度分別為vk和uk，末速度分別為vk+1和uk+1，故有

(1)

(2)

由于兩物塊系統能量守恒，即有

(3)

(4)

即能量守恒式(3)簡化為

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V2+U2=1

(5)

(6)

Uk+1=cosθUk-sinθVk

(7)

Vk+1=sinθUk+cosθVk

(8)

此時可以用矩陣來表示此方程組

|k+1〉=P|k〉

(9)

圖2 U-V系統狀態圖

設|k〉狀態矢量的相位角為α，即Uk=cosα，Vk=sinα，代入式(7)、(8)，得

Uk+1=cosθcosα-sinθsinα=cos (θ+α)

Vk+1=sinθcosα+cosθsinα=sin (θ+α)

即

(10)

由上式可知，矩陣P作為作用算符，并不改變狀態矢量的大小，僅僅改變狀態矢量的相位角，使狀態矢量沿逆時針方向旋轉θ角.故矩陣算符P也稱為旋轉矩陣[4].

3 問題解決

其狀態矢量的相位角為π.

假設全過程中經過N次沖擊，即兩物塊互碰N次，則有方程

|N〉=PN|0〉

(11)

或

(12)

即PN使狀態矢量逆時針旋轉Nθ角，剛好使系統的狀態矢量的相位角從零增加到π，故有

Nθ=π

(13)

(14)

又由于

且碰撞次數為整數，故兩物塊相互碰撞的總次數為

(15)

式(15)中“[]”為取整符號.

4 結束語

本文借助量子力學的概念，用狀態矢量和矩陣算符描述系統的狀態變化，使得物理方程形式簡潔，意義明確；狀態轉換式

|k+1〉=P|k〉

從某種角度來說具有物理通用性，對于同類問題有一定的參考價值.