花朵授粉算法及其在斷路器優化設計中的應用

解 敏， 夏克文， 石麗莉， 田蕓賀， 賀紫平

(河北工業大學電子信息工程學院， 天津 300401)

花朵授粉算法(flower pollination algorithm, FPA)是Yang[1]提出的一種新型元啟發式算法,已經被應用到微網的優化調度[2]、雷達探測[3]、視覺跟蹤[4]等各個領域，并且效果顯著。除了解決單目標優化問題之外，還可以對多目標優化問題進行求解，比如可以將其應用到電力市場的投資組合優化問題中[5]。

近幾年來，花朵授粉算法被不斷的完善。例如，文獻[6]中針對算法的全局尋優能力和收斂速度進行了改進，提出了具有族群機制的FPA算法；文獻[7]通過引入量子系統的態疊加特性，利用種群的平均最優位置使種群之間存在等待效應，將改進的算法與基本FPA算法、差分進化(differential evolution, DE)算法和蝙蝠算法(bat algorithm, BA)進行對比，得出改進的算法全局尋優能力更強，收斂速度也有較大提高；文獻[8]將FPA算法、社會蜘蛛算法(SSO)應用到圖像分割問題，使用類間方差或Kapur方法對解進行評估；而文獻[9]將模擬退火算法應用到FPA中，避免了陷入局部最優解以及增強了全局尋優能力，性能優于基本FPA算法。

現如今，由于智能電網和新能源等多領域均取得了巨大發展，使得供配電市場的規模進一步擴大[10]，與此同時，電力系統對斷路器的要求也越來越嚴格。所以，改造出性能良好的斷路器是必需的。自1960年至今，斷路器在小型化、高分斷以及低能耗[11]的發展趨向上逐步逼近與完善。目前存在于市場中的斷路器，額定電流在2 500～6 300 A范圍之內占據很大的比重。面對斷路器的能耗問題，如何對能耗模型進行改進一直是社會研究的熱點。在國內，杭申電器公司將斷路器的能耗優化作為重點[12-13]，在國外，西門子等公司在產品的設計階段把低能耗作為首要考慮的問題。

現主要對花朵授粉算法進行改進以及性能分析，并將改進的算法應用于斷路器低能耗優化設計中，希望改進的算法比其他算法性能更好，在斷路器能耗優化中得到的能耗值更低。

1 基本花朵授粉算法

基本FPA算法是模擬顯花植物授粉現象而提出來的一種元啟發式算法，包括異花授粉和自花授粉兩個部分，其中異花授粉對應算法空間的全局搜索，自花授粉對應局部搜索[14]。

花朵的授粉過程可以通過4條規則進行描述。

(1)異花授粉是指傳粉者在進行交叉授粉時按照萊維飛行機制傳播花粉配子時進行的全局授粉過程，表示為

式(2)中：Γ(λ)為標準的伽瑪函數；s為步長；s0為最小步長；λ=1.5。

(2)自花授粉可看作是算法整體框架流程中的局部授粉階段，該規則數學公式為

(3)繁衍概率指花的恒常性，繁衍概率的取值大小與對目標問題進行尋優求解的兩株花朵之間的近似性成比例關系。

(4)全局授粉和局部授粉之間的轉換由轉換概率p∈[0,1]控制，受物理上的鄰近性、風和水力等不可控因素的影響，在算法的運行中有很重要的作用。

雖然花朵授粉算法引入了萊維飛行機制，能夠取得較好的尋優效果，但是該算法還存在容易陷入局部最優解以及收斂速度慢的問題，因此提出一種改進的花朵授粉算法來避免這些問題的發生。

2 改進的花朵授粉算法

2.1 引入鯰魚效應改進花朵授粉算法

鯰魚效應是擾動并激活粒子尋優的一種有效手段，原理如圖1所示。

圖1 鯰魚效應示意圖Fig.1 Schematic diagram of catfish effect

鯰魚效應起源于挪威人捕魚的經驗，沙丁魚不愛游動，所以抵港時會大量死亡，但是如果在沙丁魚池內放一條好動的鯰魚，沙丁魚則會感受到威脅，加速游動，避免了其大量死亡的現象。

企業在管理制度中將鯰魚效應作為一種激勵手段，用來鞭策缺乏積極性的“沙丁魚”，在群智能優化算法中，鯰魚效應有很多實現的方式，學者們通過對算法后期的目標函數值進行計算，如果函數值沒有變化，則可能陷入局部極值，因此可以引入鯰魚效應，對尋優的花朵加以擾動，進而避免陷入局部最優。

定義鯰魚個體為：當前適應度值與前一次或者個體歷史最優適應度值相同的個體。

除了被標記為“鯰魚個體”外的所有個體都被稱為“沙丁魚個體”，當沙丁魚個體受到鯰魚個體的追趕時，會遠離距離自己最近的鯰魚個體，因此，沙丁魚個體遠離距離自己最近的鯰魚的距離xaway公式為

式(4)中：xi為花朵所在位置；Am為距離xi最近的威脅；n為正整數；min|xi-Aj|2表示距離諸多鯰魚花朵中最小距離的平方，即Aj最終與Am一致。

引入鯰魚個體對尋優花朵加以擾動從而偏離局部極值，在全局授粉階段，采用了Levy飛行機制，由于它的較大跳躍以及隨機步長，在一定程度上可以避免陷入局部最優解，但是在局部授粉階段，過程過于平緩，而且缺乏跳動，更容易陷入局部最優，因此，將鯰魚效應引入局部授粉階段，其位置更新公式為

2.2 引入均勻變異算子改進花朵授粉算法

變異來源于遺傳算法，主要是指子代的基因按照小概率擾動而產生的變化，常見的變異包括：高斯變異算子、多項式變異算子、均勻變異算子以及大變異算子。其中均勻變異算子可以增加種群的多樣性，加快算法收斂速度。

均勻變異算子是指對一個多位置的基因x=(x1,x2,…，xn) 中某一位置上的分量xm∈[a,b]，其中1≤m≤n，用[a,b]范圍內的服從均勻分布的一個隨機數來代替xm，定義為x′m，則x現在變為x=(x1,x2,…，x′m,…,xn)，x′m表達式為

x′m=a+r(b-a) (6)

式(6)中：r為[0,1]上的隨機數。

由于均勻變異算子的特性，龍軍等[15]將粒子群算法應用于配電網重構時，引入了遺傳算法中的均勻變異算子，使改進的粒子群算法具有良好的全局搜索能力,并且收斂速度更快。因此為了解決FPA算法收斂速度慢的問題，在算法的全局授粉過程中引入了均勻變異算子，改進后全局授粉更新公式為

通過引入鯰魚效應以及均勻變異算子，避免了陷入局部最優解，而且后期收斂速度加快，可以得到改進的花朵授粉算法(catfish effect-homogeneous mutation operator FPA，CEH-FPA)，算法步驟如下。

Step 1初始化CEH-FPA算法的各項參數：種群大小規模為N，轉換概率為p，流程中最大迭代次數設置為Niter。

Step 2初始化花朵個體的位置，也就是對應解，根據相應位置求解目標函數適應度值，尋找出當前最優的位置和最優目標問題解。

Step 3進入主循環，如果轉換概率p>rand(rand為隨機數)，按照式(7)進行異花授粉，更新下代花朵個體位置，并及時針對越界問題進行處理。

Step 4如果轉換概率p

Step 5通過Step 3、Step 4計算得出下代解的對應目標函數值，如果該目標函數值精度高，則將下代解和計算得出的下代目標函數值進行相應替換，否則保持當前解和目標函數值大小不變。

Step 6如果下代解計算所得目標函數值精度高于當前代數的全局最優值，更新并記錄下代解作為全局最優解位置，下代目標函數優化值作為全局最優值。

Step 7判斷算法是否符合結束條件，符合則退出程序并保存記錄最優花朵個體位置和全局最優目標函數值，如果不符合則轉到Step3，繼續循環。

2.3 測試函數

為了驗證CEH-FPA算法的性能，本文選取了1個單峰經典測試函數、2個多峰經典測試函數進行測試，并且將CEH-FPA算法與基本FPA算法、差分進化算法(DE)、人工蜂群算法(ABC)、自適應遺傳算法(AGA)、自適應粒子群算法(APSO)對比，驗證算法性能。

2.3.1 單峰函數

Schwefel2.22函數是一個單峰函數，其三維立體圖像如圖2所示。

圖2 Schwefel2.22函數三維立體圖像Fig.2 Three-dimensional stereo image of Schwefel2.22

其表達式如式(8)所示，取值范圍為[-10,10],最優適應度值為0。

利用6種算法對測試函數進行迭代尋優，維度D設置為4，種群數量53，重復20次試驗，并且求得每次最優值的平均值，可得Schwefel2.22函數尋優迭代仿真圖如圖3所示。

括號中第一個數據表示迭代次數，第二個表示函數適應度值，第三個表示達到最優解時迭代次數。下同

由圖3可知，APSO雖然求解精度高，但是在迭代第100次才取得全局最優解，收斂速度緩慢；AGA算法和基本ABC算法求解精度低；DE算法求解精度和收斂速度在6種算法中處于中間位置；CEH-FPA算法在迭代次數為15時已經達到了精度要求誤差在0.01以內，但是仍然繼續尋優，并沒有陷入局部最優值。

2.3.2 多峰函數

使用多峰測試函數Rastrigin、Ackley進行性能分析。

Rastrigin函數表達式如式(9)所示,取值范圍為[-5.12,5.12],最優適應度值為0。

函數三維立體圖像、尋優迭代仿真圖分別如圖4、圖5所示。

圖4 Rastrigin三維立體圖像Fig.4 Three-dimensional stereo image of Rastrigin

圖5 Rastrigin函數尋優迭代仿真圖Fig.5 Iterative simulation diagram of Rasrtigin function optimization

對于多峰函數Rastrigin，基本ABC算法、AGA算法和APSO算法求解精度低，收斂速度慢；DE算法求解精度較前三種算法較好，但是其收斂速度較慢；CEH-FPA算法不僅求解精度高，而且收斂速度快。

Ackley函數表達式如式(10)所示,取值范圍為[-10,10],最優適應度值為0。

函數三維立體圖像、尋優迭代仿真圖分別如圖6、圖7所示。

圖6 Ackley三維立體圖像Fig.6 Three-dimensional stereo image of Ackley

圖7 Ackley函數尋優迭代仿真圖Fig.7 Iterative simulation diagram of Ackley function optimization

對于多峰函數Ackley，基本ABC算法和APSO算法求解精度低，收斂速度慢，APSO算法收斂速度慢，但是求解精度較高，DE算法求解精度一般，收斂速度慢，而CEH-FPA算法不僅求解精度高，迭代6次時，適應度為0.002 241，已經達到了求解精度，但仍然在一直迭代求解，從而得到了最高求解精度。

為了更加清晰地對算法進行對比，采用表格的形式，對算法進行分析，如表1所示。

通過表1的算法對三個經典測試函數的性能分析可以得出，所提出的CEH-FPA算法較其他算法有更好的開發和開采性能。

表1 測試函數實驗結果對比表

3 斷路器能耗及參數優化仿真

3.1 斷路器模型

電能經過變壓器、母排、主電路器、匯流排和支路斷路器后，最終到達負載電路，這個過程可能消耗30%～40%的電能，針對斷路器能耗高的缺陷，需要合理設計能耗參數，設計出低能耗的斷路器[16]。本節主要針對HSW6系列斷路器進行分析，其結構如圖8所示。

1為斷路器進線排；2為橋型觸頭；3為U形排；4為軟聯結；5為接觸片；6為靜觸頭；7為出線排

斷路器內部能耗公式為

式(11)中：P為相級數；In為斷路器額定電流；R為電阻；φ為內部回路的相位偏角。

根據式(11)，為了降低斷路器能耗，可以在結構上使用多組并聯的形式，同時考慮電阻體積、回路構造成本以及額外的能量損耗。

(1)考慮電阻體積。

斷路器觸頭電阻計算公式為

R=ρl/S(12)

式(12)中：ρ為電阻率；S為觸頭電阻橫截面積；l為觸頭電阻的長度。斷路器采用回路設計結構，內部有多個觸頭電阻，可得觸頭電阻體積為

V=Sl=RS2/ρ=k1RS2(13)

式(13)中：k1為電阻率的倒數。

(2)考慮回路構造成本。

式(13)中，R越小，并聯使得器件越大，違背了小型化的原則，體積增大，回路構造成本增大。成本f1與阻值R的關系為

f1=k2/R(14)

式(14)中：k2為回路構造成本系數。

(3)考慮能量損耗。

回路體積增大，觸頭會產生額外的能量損耗，因此能量損耗f2與阻值R的關系為

f2=k3/R(15)

式(15)中：k3為能量損耗系數。

經過對斷路器能耗的分析，以及考慮了電阻體積、回路構造成本、能量損耗等因素的影響，可建立新型斷路器能耗數學函數模型為

式(16)中：λ1、λ2為控制系數；n為觸頭個數；變量為n、S、cosφ、R。當數學函數模型f最小時，同時考慮體積、成本、能耗，此時得到斷路器的最低能耗值。

3.2 斷路器優化設計

利用改進的CEH-FPA算法對斷路器進行優化設計，設計流程圖如圖9所示。

圖9 能耗優化流程圖Fig.9 Flow chart of energy consumption optimization

研究斷路器能耗值時，參數取值范圍不同，斷路器的最優能耗值也會發生改變，因此研究兩種不同參數取值范圍的觸頭A和B。

3.2.1 觸頭A

初始化過程中，參數取值范圍如表2所示。采用CEH-FPA算法對斷路器額定電流為4 000 A的斷路器進行優化仿真，結果如圖10所示。

表2 觸頭A參數取值范圍Table 2 The parameter range of contact A

圖10 A型斷路器能耗迭代優化曲線圖Fig.10 Energy consumption iterative optimization curve of type A circuit breaker

由圖10可知，在優化設計中，CEH-FPA算法所計算出的能耗函數適應度值最低，即求解精度最高，并且收斂速度很快；APSO求解精度不高，收斂速度快，在第10次迭代時得到最優能耗值為253.9 W；AGA算法求解精度低，收斂速度慢，在第49次迭代得到最優能耗值250.3 W；ABC算法在第3次迭代得到最優能耗值249.7 W；DE算法收斂速度慢，在第42次迭代得到最優能耗值250.2 W；CEH-FPA算法求解精度最高，在第18次得到最優能耗值244.6 W。

3.2.2 觸頭B

初始化過程中，參數取值范圍如表3所示。采用CEH-FPA算法對斷路器額定電流為4 000 A的斷路器進行優化仿真，結果如圖11所示。

表3 觸頭B參數取值范圍

圖11 B型斷路器能耗迭代優化曲線圖Fig.11 Energy consumption iterative optimization curve of type B circuit breaker

由圖11可知，CEH-FPA算法在迭代15次時達到最優能耗值139 W，較其他算法收斂速度較快，求解精度高。

綜上所述，CEH-FPA算法對斷路器能耗優化設計效果最好，不僅解決了斷路器能耗高的問題，而且性能較其他算法更為優異。

4 結論

通過利用改進的FPA算法與其他算法進行對比，并對斷路器低能耗進行優化研究得出以下結論。

(1)加入鯰魚效應避免局部最優解，加入均勻變異算子提高后期收斂速度，提出的這種改進算法CEH-FPA 的性能比基本FPA算法、基本ABC算法、DE算法、APSO算法、AGA算法的性能更好。

(2)采用改進的CEH-FPA算法，對斷路器的能耗模型進行優化。首先分析斷路器的能耗公式，結合影響能耗因素進行數學建模，然后再將算法應用到優化設計中。試驗結果表明，CEH-FPA算法大大提高了設計的效率和精度，實現了斷路器低能耗性能的設計目的。

CEH-FPA算法不僅可以用于斷路器的優化設計中，也可以將設計方法和思路推廣到其他的工程模擬優化計算中，從而更好地取代傳統的靠經驗估算和大量樣機制作的方法。