小徑木梯形板抽芯下鋸法出材率的優化設計

任長清， 婁月軒， 楊春梅， 蔣 婷， 馬 巖

(東北林業大學機電工程學院， 哈爾濱 150040)

隨著木材資源的變化，木材供需矛盾日益尖銳[1]。中國人均資源貧乏，木材的需求量與供應量之間的矛盾長期存在[2]。自從實施了對天然林資源的保護工程，中國提高了對天然林和森林管理的保護力度，實行木材停伐減產政策，以遏制天然林資源不斷銳減的趨勢[3]。面對大徑級木材資源的日益緊缺，小徑木在各類市場中備受關注，應用廣泛[4]。木材資源的利用對象主體從傳統的天然林轉移到了人工林中的小徑級木材。小徑木來源廣泛，具有較少的死節數量。雖然不適合直接作為結構構件使用[5]，但可以通過將小徑木鋸切加工成為單板，然后再將單板重新組合為加工鋸材集成材，能夠有效降低加工成本[6]。這種小徑木集成材是一種先進生物質材料,在家具、地板制造和室內外用材等方面具有較好的應用前景[7]。但是，傳統的下鋸方法出材率低，無法充分利用木材資源。而小徑木的梯形板抽芯下鋸法是采用適合于小徑級木材的兩面下鋸方式[8]，順著削度鋸切的，能夠有效地提高小徑木的綜合利用率和附加值。

在制材優化和CAD技術發展中，如何在小徑木原木端面合理地排布下鋸圖，是梯形板抽芯下鋸優化的重要課題。其中，主產鋸材梯形板的合理排布，又是下鋸圖的主要優化問題。因此，對小徑木的梯形板抽芯下鋸法出材率進行優化設計分析，對利用小徑木加工鋸材集成材起到了至關重要的作用。

現首先提出梯形板抽芯下鋸法及其工藝流程，進而建立數學模型并分別用LINGO和MATLAB進行出材率的優化設計，最后對比并分析結果，得到出材率提高的原因。旨在提出并分析一種適用于小徑級木材且能夠取得更高出材率的新型鋸解工藝，為加工和利用小徑木提供新的思路，同時也為木材資源和環境的保護做出貢獻。

1 梯形板抽芯下鋸法介紹

1.1 梯形板抽芯下鋸法的原理

原木制材中，按照鋸材的種類與規格，確定鋸口部位和鋸解順序進行下鋸的這種鋸解方法，稱為下鋸法[9]。如圖1、圖2所示，梯形板抽芯下鋸法是從小徑木原木兩側鋸出等厚的板皮，順著削度鋸切并裁邊，使其位于中間的板材成為矩形截面的髓心板板材，位于兩側的板材成為梯形截面的斜面梯形板板材的下鋸方法。其中，髓心板的材面呈矩形，材端呈等腰梯形；梯形板的材面呈梯形，材端呈等腰梯形。這種方法更加適用于具有尖削度普遍較大特點的小徑木類原木材，既減少了通常裁邊時木材的損失，又克服了小徑木原木尖削度較大的不利條件，有效地提高了出材率。

圖1 小徑木梯形板抽芯下鋸法的截面Fig.1 The cross-section of the small-diameter wooden trapezoidal board using core-pulling sawing

圖2 小徑木梯形板抽芯下鋸法Fig.2 The small-diameter wooden trapezoidal board using core-pulling sawing

1.2 梯形板抽芯下鋸法的板材加工

小徑木梯形板抽芯下鋸法主要的產出板材為圖3所示的梯形板。

圖3 梯形板Fig.3 Trapezoidal broad

如圖4所示，將上述梯形板按照大頭端與小頭端，上底面與下底面依次相對的方式逐個進行拼接，加工成為梯形板加工鋸材集成材。

圖4 梯形板集成材Fig.4 The laminated timber of trapezoidal boards

如圖5所示，小徑木梯形板抽芯下鋸法的髓心板同樣可以通過大頭端與小頭端相對，以鋸切面相接觸拼接的方式進行拼板，形成髓心板加工鋸材集成材。

圖5 髓心板集成材Fig.5 The laminated timber of heart boards

1.3 梯形板抽芯下鋸法的優勢

眾所周知，木材的力學性質具有各向異性的特點。這是由于木材中木質部的纖維方向所決定的。當受力方向與纖維方向一致時，即順紋受力時，抗拉強度為木材所有強度中最大。由此可見，在鋸切加工過程中如果能夠完整地保護好板材的木材纖維結構，可以有效地提高鋸切板材的力學性質。因為梯形板抽芯下鋸法是順著小徑木原木的削度進行鋸切加工的，可以極大地避免在鋸切加工過程中切斷木材纖維結構，所以通過梯形板抽芯下鋸法生產的板材要比其他鋸切方法生產的板材具有更好的力學性能。

2 數學模型的建立及問題描述

根據以往的經驗和統計數據分析可知，小徑木原木橫斷面有59.6%為橢圓(圓是橢圓度qe=1的橢圓)。在小徑木原木的其他橫斷面形狀中，蛋圓形為13%、三角形為11.7%、四邊形為10.2%。以上三種小徑木橫斷面形狀中的絕大部分依然可以近似為橢圓。對小徑木原木干曲線的分析可以得知，直線、拋物線、凹曲線、對數曲線和指數曲線皆能夠近似為連續冪曲線。所以，以理想小徑木原木為研究對象，其橫斷面是橢圓或能夠看作是橢圓，橢圓度qe為常數，縱斷面為冪曲線，小徑木原木的中心線是直線，其他各項缺陷忽略不計。

理想小徑木原木的示意圖如圖6所示。

Da1為小徑木原木的小頭長徑；Db1為小徑木原木的小頭短徑；Da2為小徑木原木的大頭長徑；Db2為小徑木原木的大頭短徑; L為材長

首先需要對小徑木原木的材積進行分析，以小徑木原木的短徑方向為基準。理想小徑木原木的數學模型[10-11]為

式(1)中：ci為原木描述方程常數，i=1,2,…,6。

在理想小徑木原木的數學模型中，式(1)是橢圓冪函數柱體的頂點沿著z向平移，F(x,y,z)中的ci都能夠在實際的測量檢測中獲得。其中c5與c6定義了數學模型z向的定義域，c3=t，t為模型系數，當木材為理想小徑木原木模型時，t=1[12-13]。

通過對上述數學模型的積分計算，可得出小徑木原木整體材積VT為[14]

由此即可計算出小徑木原木整體材積VT的精確結果，但是積分的計算過程復雜，同時計算難度比較大。在式(2)中，可以被有效利用的梯形板和髓心板截面面積與小徑木原木的整體橫斷面面積都涉及相同的小徑木高度，其高度可以約分，因此出材率為能夠有效進行利用的單板截面面積與小徑木原木的整體橫斷面面積之比(即圖7中黃色區域面積與整個橢圓面積之比)，即

Db1為小徑木小頭橫截面橢圓短徑；Da1為其長徑；Ba為髓心板的小頭橫截面厚度；Bb為梯形板的厚度；Bc為板皮的厚度；B0為鋸面寬度

式(3)中：η為小徑木梯形板抽芯下鋸法的出材率；S為小徑木原木的截面面積，mm2；S1為髓心板的截面面積，mm2；S2為梯形板的截面面積，mm2。

以小徑木小頭橫截面橢圓長徑Da1所在的直線為x軸，以小徑木小頭橫截面橢圓長徑Db1所在的直線為y軸，建立如式(4)的橢圓方程[15]為

式(4)中：S可以根據橢圓面積公式求出，即

在圖7的坐標系中，設y軸兩側各有n塊梯形板，髓心板右側邊界線與x軸交點的位置為x1，位于髓心板右側與其相鄰鋸面的左側邊界線與x軸交點的位置為x2，以此類推，最靠右側的梯形板的右側邊界線與x軸交點的位置為x2n+1。則很容易計算得

根據式(7)的坐標關系，能夠經由式(6)的結果推導得出過xi處且與y軸平行的橢圓弦長為

髓心板的截面形狀為矩形，有

S1=2x1y1(8)

梯形板的截面形狀為梯形，有

且梯形板關于y軸對稱分布，左右兩側面積相等，故可得

代入式(3)可得小徑木梯形板抽芯下鋸法的出材率為

3 優化數學模型及邊界條件

3.1 初始條件

現需要對某根小徑木原木進行梯形板抽芯下鋸法的縱剖生產。已知的此根小徑木的參數包括：小徑面寬度木原木的小頭長徑Da1=220 mm;小徑木原木的小頭短徑Db1=200 mm;鋸面寬度B0=3 mm。需確定對此根小徑木原木進行梯形板抽芯下鋸法出材率達到最大時的優化設計參數，并確定此時的出材率。

3.2 初始條件

選取某根小徑木原木的小頭截面作為研究對象。影響小徑木原木梯形板抽芯下鋸的參數比較多，其中重要的有：髓心板的厚度；梯形板的厚度；板皮的厚度；鋸面的厚度；梯形板的數量。鋸面的厚度在初始條件中已經給定，故不需要對其進行優化設計。而板皮的厚度可以通過小徑木原木小頭短徑、髓心板的厚度、梯形板的厚度和鋸面的厚度推導計算得出，故此參數并不獨立，不可作為設計變量。因此，優化設計變量如下：①梯形板的數量2n；②梯形板的厚度Bb；③髓心板的厚度Ba。

3.3 目標函數

由式(11)可知，目標函數為

3.4 邊界條件

(1)梯形板的數量為2n：n∈N+。小徑木梯形板抽芯下鋸法要求必須能通過鋸切加工得到梯形板，故n≠0。且梯形板對稱分布在y軸兩側，因此設梯形板的數量為2n。

(2)梯形板的厚度為Bb：Bb∈{12,15,18,21}。根據《闊葉樹鋸材》(GB/T 4817—2009)，梯形板的厚度Bb在4種尺寸中進行選取，即選取12、15、18、21 mm。

(3)梯形板的厚度為Bb：0

(4)髓心板的厚度Ba：0

4 優化程序和優化結果

4.1 LINGO優化及其結果

4.1.1 LINGO介紹

LINGO是一個專門用于數學規劃問題、運籌學、數學建模的常規求解軟件，能夠有效地、快速地對線性、非線性規劃模型問題進行求解，其具有較為強大的功能，包含了LINGO建模語言和各種常用的內部數學函數[16]，可以供使用者建立數學規劃模型時調用，因此更加易輸入。

4.1.2 LINGO優化

根據前文所述的目標函數和約束條件，編制LINGO源程序的.lg4文件。改變初始條件中的與直徑相關的原始數據，進行多組優化設計分析。

將此文件導入至LINGO軟件中，點擊“Solve”按鈕可以得出如表1所示的結果。

表1 LINGO的優化設計結果

4.2 遺傳算法的優化及其結果

4.2.1 染色體編碼

一般來說，染色體編碼使用二進制。研究使用實數編碼即可滿足要求，無需編碼和解碼過程。

4.2.2 種群規模

遺傳算法中關于種群規模的設置會對問題的優化程度產生較大影響。若種群規模過于小，則種群的樣本多樣性減少，在接下來的迭代過程中會出現收斂過快的現象，有意義的搜索點和最優點可能被丟失，導致結果在局部最優解處收斂，不能夠得出最優解。若種群規模過于大，無效的計算將會在后續的迭代過程中明顯增多，降低遺傳算法的計算效率。

由于3個設計變量間存在很強的約束，所以可能的解并不多。故將初始種群設置為4。因為如果初始種群設置得太大，初始化種群的時候，可能所有可行解就已經得出，最優解就已經出現在初代樣本里，后續的迭代也就沒有意義了。

4.2.3 適應度函數

適應度函數是用來評判染色體好壞程度的指標，其大小直接影響到遺傳算法的選擇和交叉。算法要求適應度越高的個體遺傳到下一代的概率越大，所以要求適應度函數為正值。函數表達式為

式(13)中：F為適應度函數，其數值越小，表示優化效果越好，也即遺傳到下一代的概率越大；ηmax為采用當前下鋸方案時的出材率。

4.2.4 交叉算子

染色體的交叉能夠明顯提高遺傳算法的搜索能力。本文算法的交叉需要利用rand生成一個隨機數，即隨機選定兩個父代染色體的某一列，將這一列的值進行交換，生成新的子代染色體。每一次交叉會產生2個子代。

選取交叉概率pc=0.5，即對每一條染色體，選取隨機數p∈[0,1]，若p

4.2.5 選擇算子

遺傳算法中，適應度越高的染色體遺傳到下一代的概率越大，即被選擇的概率越大。每一條染色體被選擇的概率為

由式(14)可知，選擇概率高的染色體被選中遺傳到下一代，產生新的種群。

4.2.6 變異算子

變異操作可以使遺傳算法具有局部搜索能力，同時可以提高種群多樣性、避免遺傳過程陷于局部最優解。由于3個設計變量之間存在約束，不能單獨對某個設計變量進行變異，所以設置了個體全基因變異。

但由于3個參數間存在很強的約束，無法以隨機數來直接代替，否則會出現大量錯誤樣本。所以全基因變異的具體步驟如下：隨機生成一個大于0但小于種群個體數的隨機數，選定該個體發生全基因變異。然后對該個體重新生成含有彼此約束的基因，相當于重新創造一個新的個體。設置的變異概率為0.5，即50%的個體發生變異，精英不參與變異；確定要變異的個體數；再創建一個新的種群，要變異個體的內容就從這個新種群抽取；得到要變異的種群的序號；完成變異，得到變異之后的種群。

4.2.7 進化終止條件

為了提高運算效率并得到滿意的運算結果，遺傳算法需要設置進化終止條件，采用的最大演化代數為1 000代。當個體適應度函數值F<0.000 001時進化終止。

4.2.8 優化結果

通過編寫如上所述的MATLAB源程序，改變初始條件中的各項與直徑相關的原始數據，進行多組優化設計分析，其結果如表2所示。

表2 MATLAB的優化設計結果

4.3 兩種優化設計方法結果的綜合分析

參考文獻[17-19]對傳統梯形下鋸法的出材率進行計算，并結合上述兩種算法的結果作圖，如圖8所示。

圖8 優化設計結果Fig.8 Optimization design results

B-and-B(branch and bound)代表利用LINGO分支界定法的優化結果，其數據來源于表1；GA(genetic algorithm)代表利用MATLAB遺傳算法的優化結果，其數據來源于表2。

由圖8可知，優化后出材率有明顯提升，完成了小徑木梯形板抽芯下鋸法出材率的優化設計。

通過對圖8的分析，不難看出兩種優化方法得出的結果比較接近，一致性較好。且兩條折線的變化規律基本相同：隨著小徑木直徑的變大，出材率也逐漸變大。這與制材工藝中原木直徑越大出材率越高的規律相吻合。當原木的直徑較小時，梯形板抽芯下鋸法的出材率遠高于傳統梯形下鋸法的出材率。證明了梯形板抽芯下鋸法對小徑木的適應性更強，效果更好。由于數學上的分支界定法與仿生類的智能算法存在著算法本身的差異，故優化結果不完全吻合。從總體情況來看，兩種優化結果的差異合理，不會對優化整體結果產生不良影響。可見優化結果切實合理。

結合圖8和資料分析優化提高出材率的原因：優化前傳統的梯形下鋸法存在不合理之處。當原木的徑級較小(<14 cm)時，統一剖分3個鋸口；當原木的徑級較大(>15 cm)時，統一剖分5個鋸口。這種方式過于粗糙，無法針對特定尺寸的小徑木原木給出最佳的下鋸方案。而優化得出了每個尺寸的最佳下鋸方案，并保證了其加工得到的板材符合國家標準，達到了優化設計的目的。

5 結論

(1)建立了小徑木梯形板抽芯下鋸法數學模型，得出了其出材率公式。

(2)利用分枝界定法和遺傳算法得到了兩組優化設計結果，證明了小徑木梯形板抽芯下鋸法的高出材率和其數學模型的合理性，優化了傳統梯形下鋸法的不合理之處是出材率提高的原因。