挖掘教材習題資源 提高數學解題能力

文∣張守榮

數學，需要學習者反復練習來提升熟練程度，如何做到有效練習值得我們探討。

一、原題展現

【例】如圖1，點A，B，C在一條直線上，△ABD，△BCE均為等邊三角形，連接AE和CD，AE分別交CD，BD于點M，P，CD交BE于點Q，連接PQ，BM。下面結論：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ為等邊三角形；④MB平分∠AMC，其中結論正確的有( )

圖1

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

這道題主要考查全等三角形的知識，以最后一道選擇題呈現，是選擇題中的壓軸題，在學生學完全等三角形之后，教師將這道題作為最后一道選擇題來測試學生學習的效果，結果幾乎“全軍覆沒”。和學生探討這道題失敗的原因時，他們普遍認為此題“量”太大，相當于四個證明題，根本無法在短時間內完成，大家只能順利判斷第①個結論，后面幾個問題能夠順利判斷出來的學生越來越少，尤其第④個結論，大家根本無法判斷，只能根據平時做題的“經驗”。他們認為這種類型的題目很少出現所有結論都正確的情況，應該至少有一個結論是錯誤的，因此選擇C的人數最多。學生剛學完全等三角形，雖然還沒有經歷初三“備考”的“刷題”歷練和系統復習，對知識把握不夠全面，但其根本原因還是沒有認真研習教材習題，沒有做到舉一反三，也沒有融會貫通。

簡單梳理一下這四個結論的判斷思路：利用“邊角邊”證明△ABE≌△DBC，可得出結論①；由結論①易知∠BAP=∠MDP，且∠APB=∠DPM，在△ABP和△DMP中，有兩個角相等，那么剩下一個自然相等，得出∠DMA=∠ABP=60°，得出結論②；由點A，B，C在一條直線上，△ABD，△BCE均為等邊三角形，易知∠QBP=60°，要讓③成立，還需證明△QBP為等腰三角形，由①知，∠BAP=∠BDQ，由△ABD為等邊三角形知AB=BD，且∠DBQ=∠ABP=60°，可利用“角邊角”證明△ABP≌△DBQ，得到BP=BQ，得出結論③；依據全等三角形對應邊上的高相等可以得出點B到AE、CD的距離相等，即點B到∠AMC兩邊的距離相等，得出結論④。

二、追本溯源

圖2

圖3

教材作為教師教學和學生學習最權威的“指揮棒”，教材中的每一道例題和習題都浸透著教材專家的智慧和心血，因此，不論是教師教學，學生學習，還是考試命題，都應該充分挖掘和利用教材習題資源，以這些習題為原型展開研究和討論。在教材中尋找結論①的“母題”，實際上排除對結論①的干擾線段MB，PQ，學生能很快判斷出結論①是成立的，再“去偽存真”，學生會發現，∠DBE的大小并不影響結論①，因此對于結論①來說，點A，B，C在一條直線上可以當作偽條件來刪掉，圖2就作為結論①的一般圖形，自然可以在圖2的基礎上來討論剩下三個結論是否成立，發現等邊△PBQ就“弱化”為等腰三角形，那么只有結論③不成立，其他結論都可直接由①得出，繼續排除結論①的干擾“線段”，刪掉線段PQ，把圖2中的△BCE繞點B順時針旋轉一定的角度，并連接線段CD。就找到“母題：如圖3，△ABD、△BCE都是等邊三角形．求證AE=CD。(見人教版八年級上冊數學第83頁習題12，為了方便此文的討論，僅字母和教材中的不一樣)

三、原題再探

接著討論這道中考選擇題，表面看它考查的是全等三角形的內容，但進一步討論發現，它的結論還可通過“圓”的知識來解決。

圖4

如圖4，先做出過點A，B，M的圓，用上述方法先證明△ABE≌△DBC后，可知∠EAB=∠CDB， 從而點D也在過點A，B，M的圓上，即點A，B，M，D四點共圓，同理可得點B，C，E，M四點也共圓，易知∠AMD=∠ABD=60°，得出結論②；根據同圓或等圓中，同弧所對圓周角相等可知∠AMB=∠ADB=60°，∠BMC=∠BEC=60°，可得出結論④；∠PMQ=∠AMB+∠BMC=120°，同時∠PBQ=60°，說明四邊形PBQM的對角互補，可得出P，B，Q，M四點共圓，而PB，QB分別為∠PMB和∠QMB所對的弦，且這兩個角相等，因此PB=QB，得出結論③。重溫此題，發現它不僅可以用全等三角形的知識來解決，還可以用圓的知識解決，形成了知識之間的互通和共享。不僅拓寬了學生的解題思路，還發展了學生的思維。

對于喜歡探索的學生來說，還會發現三個圓“和諧”地聚在一起，想著它們一定還有“和諧”的結論，研究之后易知，如圖5，三個圓的圓心在同一條直線上，且這條直線為線段BM的垂直平分線。

圖5

由前面討論可知，該題中的部分條件對于部分結論來說是多余的，因此，不斷“去偽存真”，尋找出相應的結論是由哪些條件得出。

如圖6，當A，B，C不在同一條直線上時，A，B，M，D和B，C，E，M分別四點共圓的條件并沒有破壞，但是四邊形PBQM對角互補的性質遭到了破壞，因此P，B，Q，M四點不共圓，同時對應的結論③不成立，其余結論依然成立。

圖6

四、圖形變換

借助圖形旋轉的觀點認識幾何或幾何問題能使得我們在動手操作的過程中獲得對圖形元素及位置關系與數量關系的深刻認識，變被動解題為主動嘗試，既有解題經驗的積累，又有客觀規律的本質把握。除了對圖形進行旋轉變換外，還可對圖形的條件進行強化或弱化處理，從而產生新的圖形，對比“新舊”圖形，既有共性也有特性，不論共性還是特性，都可以通過圖形變換命制“新題”。

(一)原圖的旋轉變換

對圖6中的△BCE不斷地繞點B逆時針旋轉，當旋轉到一定程度時，就會出現不同的情況，如圖7中①就是旋轉到點E恰好落在BD上的情況，圖7中②是旋轉到點A，C，E恰好在同一條直線上的情況，圖7中③是點E落在AB上的情況，這些情況都能保證AE=CD，其中圖7中①和②都可通過證明△ABE≌△DBC來實現，但是對這些特殊情況，部分學生無法通過常規辦法來解決。因此，學會在特殊圖形中如何尋找一般圖形所具有的結論，也會有利于學生思維的培養。圖7中③無法通過△ABE≌△DBC來得出結論AE=CD，但AE=CD的結論是顯而易見的。

圖7

(二)把等邊三角形變成正方形后旋轉變換

把原題的兩個等邊三角形變成兩個正方形ABCD和CEFG，再把正方形CEFG繞點C逆時針旋轉，就會出現如圖8中①至⑤的情況。它們仍然滿足BG=DE，且除圖8中⑤外都可以通過證明△BCG≌△DCE來實現，同上述情況一樣，雖然圖8中⑤不存在△BCG和△DCE，但是BG=DE的結論也是顯而易見的。

①

(三)把等邊三角形變成等腰三角形后旋轉變換

把原題的兩個等邊三角形變成頂角相等的兩個等腰三角形ABC和BDE，再把等腰三角形BDE繞點B逆時針旋轉，就有以下四種特殊情況，除圖9中④外每一種情況都能通過證明△ABE≌△CBD來證明AE=CD，同樣圖9中④沒有△ABE和△CDB，但是AE=CD顯而易見。

①

限于篇幅，上面每種圖形變換下的特性不再一一討論，只是把圖形列出來，讓大家學會將每一種不同的圖形改為一道習題的素材。習題源于教材，卻廣于教材，讓學生做題時有據可考，有章可循，避免在“題海中掙扎”之困。

五、習題再編

①

(1)在圖10②中，AE與CD的數量關系是

(2)在圖10③中，猜想BM和BN的數量關系、∠MBN與∠ABC的數量關系，并證明你的猜想。

此題是對圖9④和圖9②結合起來的一次改編，對問題(2)來說，也是通過證明△ABM≌△CBN來得出BM=BN，∠MBN=∠ABC的結論，如果沒有問題(1)的證明就不可能有問題(2)的證明，如果沒有掌握“母題”的證明，就不可能完成這道題目的證明。

六、教學建議

(一)尋根問祖，在教材中找出“母題”

數學家蘇步青在中學時代曾做過上萬道數學題，說明數學知識的獲得和豐富離不開做題。但是有些同學做題無數，能力并未提高很多，說明無休止的、低效的“刷題”并不一定能真正提高能力。數學題目的層出不窮和千變萬化，誰也不可能窮盡所有題目。如何有效、高效地做題，對習題的選擇和“做法”就至關重要，實際上教材的習題一般都極具典型性和代表性。因此，做教材習題應是第一選擇，只有反復研究教材習題，善于捕捉題目信息，找準習題中的隱含條件和干擾條件，拓展題目信息資源，從特殊到一般、從一般再到特殊，對每一道教材習題認真剖析、舉一反三、融會貫通，才是獲取數學知識、理解和掌握數學知識、提高數學能力的正確方法。

(二)善用教學軟件，為數學思維插上翅膀

隨著多媒體技術的飛速發展，各種教學輔助軟件的問世為數學發展插上了騰飛的翅膀。例如，借助幾何畫板或GeoGebra等軟件，可輕松獲得結論，同時易于觀察到哪些結論在圖形變化的過程中保持不變，從一般和特殊的各種互換過程中，哪些結論會隨之改變，這些軟件往往能幫助我們突破瓶頸。當然，“對于教學軟件的使用也應講究‘法’，其使用應以激發學生思考、探索為目的”。“學會理解計算機給出的答案，知其所以然”。要在借助工具解決問題的基礎上進一步思考工具背后的“數學本質”，還要把其中的“理”說清楚、想明白，而不是簡單地停留于問題的機械解答。

(三)充分利用教材習題資源命制試題，避免“押題”“刷題”之困

一道高質量的數學題一定能在教材中找出“母題”，一定讓學生在看到這個題目時感到似曾相識，但又從未見過。教師要在引導學生透徹研究這道題后會“通一片”，要讓兩個看似不同的題目形成知識之間的遷移和互通。教師要命制這樣的試題，就要在教材中尋找題目源，深挖教材習題，反復研磨教材習題，不怕在教材習題上浪費時間，只有把教材習題研究透徹，才能避免“押題”“刷題”之困，所謂磨刀不誤砍柴工。