圓柱體軸線直線度誤差的評(píng)定及其可視化研究

趙 新 宇

(中原工學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院 河南 鄭州 450007)

0 引 言

圓柱體零件是機(jī)械制造業(yè)大量使用的零件，對(duì)于高精度的圓柱孔和軸，其不僅有較高的尺寸精度要求，而且有較高的幾何精度要求。圓柱體零件的軸線直線度公差是其重要的幾何精度要求之一，其影響相配孔、軸的可裝配性和配合性能。圓柱體軸線直線度誤差的測(cè)量主要是通過(guò)沿圓柱體軸線方向測(cè)量若干圓周輪廓，并按相應(yīng)的參考圓準(zhǔn)則確定各圓周輪廓參考圓[1]的圓心坐標(biāo)，將各圓周輪廓參考圓的圓心坐標(biāo)逐點(diǎn)相連，其折線作為被測(cè)圓柱體的實(shí)際軸線，采用最小二乘法[2]或最小區(qū)域法[3-4]評(píng)定被測(cè)圓柱體的軸線直線度誤差。最小區(qū)域法評(píng)定圓柱體的軸線直線度誤差屬于“minimax”優(yōu)化問(wèn)題，可用優(yōu)化算法確定包容面的軸線參數(shù)。圓度、圓柱度誤差的最小區(qū)域法評(píng)定以及最小外接直徑、最大內(nèi)切直徑和最大最小直徑的評(píng)定也屬于“minimax”優(yōu)化問(wèn)題[5-9]，其相關(guān)算法也可在圓柱體軸線直線度誤差的最小區(qū)域法評(píng)定中應(yīng)用。為了使評(píng)定結(jié)果更加直觀，需要對(duì)評(píng)定結(jié)果可視化。目前，直線度誤差的研究主要集中在機(jī)床導(dǎo)軌的空間直線度誤差的測(cè)量與補(bǔ)償?shù)认嚓P(guān)問(wèn)題上，但圓柱體直線度誤差的測(cè)量與評(píng)定及其可視化研究較少。本文主要以最小二乘法評(píng)定圓柱體軸線直線度誤差的結(jié)果為基礎(chǔ)，研究圓柱體軸線直線度誤差評(píng)定結(jié)果的可視化，其數(shù)據(jù)處理方法同樣適用于最小區(qū)域法圓柱體軸線直線度誤差的評(píng)定。

1 最小二乘法圓柱體軸線直線度誤差的評(píng)定模型

1.1 最小二乘圓心坐標(biāo)的確定

已知第i圓周輪廓第j采樣點(diǎn)相對(duì)徑向變動(dòng)量為Δij，i=1,2,…,m，j=1,2,…,n，m和n分別為圓周輪廓數(shù)和每個(gè)圓周輪廓上的采樣點(diǎn)數(shù)。假設(shè)被測(cè)圓柱體的公稱尺寸為D，則第i圓周輪廓第j采樣點(diǎn)到虛擬回轉(zhuǎn)軸線的徑向尺寸可表示為：

(1)

由于圓柱體軸線直線度誤差測(cè)量之前，均經(jīng)過(guò)調(diào)心調(diào)平處理，將確定最小二乘參考圓圓心x和y軸坐標(biāo)的非線性最小二乘問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性最小二乘問(wèn)題，可得到第i圓周輪廓的最小二乘圓的圓心坐標(biāo)oi(ai,yi,zi)：

(2)

式中：φij為第i圓周輪廓上第j采樣點(diǎn)與x軸的夾角，φij=(j-1)Δφ；Δφ為兩相鄰采樣點(diǎn)間的夾角，Δφ=2π/n；zi為第i個(gè)最小二乘圓圓心距xOy平面的z向距離；Δz為兩相鄰最小二乘圓之間的z向距離。式(2)中參數(shù)含義見(jiàn)圖1。將各最小二乘圓圓心逐點(diǎn)相連，即可得到被測(cè)圓柱體的實(shí)際軸線，如圖2所示。

圖1 第i圓周輪廓及其最小二乘圓

圖2 被測(cè)圓柱體圓周輪廓及其軸線

1.2 最小二乘軸線參數(shù)的確定

圓周輪廓的最小二乘圓的圓心坐標(biāo)oi確定后，可利用最小二乘法確定圖2所示理想軸線的參數(shù)(x0,y0,p,q)，其中：x0和y0分別為理想軸線一端在xOy平面上的x軸和y軸方向上的坐標(biāo)；p=cosα/cosγ，q=cosβ/cosγ，α、β、γ分別為理想軸線與x軸、y軸、z軸間的夾角。依據(jù)最小二乘法的定義，理想軸線參數(shù)應(yīng)滿足下式：

(3)

式中：ri為第i圓周輪廓的最小二乘圓心與理想軸線之間的徑向距離，可表示為：

(4)

將式(4)代入式(3)，并對(duì)F分別求待定參數(shù)x0、y0、p、q的偏導(dǎo)，令四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)分別等于零，可得到參數(shù)x0、y0、p和q的四元一次方程組，解該四元一次方程組，即可得到最小二乘理想軸線參數(shù)。

由式(5)確定第i最小二乘圓圓心到該理想軸線的垂直距離di，如圖2所示。

(5)

最小二乘法評(píng)定得到的圓柱體軸線直線度誤差為：

(6)

2 誤差評(píng)定結(jié)果可視化

2.1 圓柱體圓周輪廓的可視化

若由式(1)計(jì)算得到的ρij將圓周輪廓顯示出來(lái)，看到的將是理想圓的輪廓，圓周輪廓上的微小變動(dòng)顯示不出來(lái)，為此，需對(duì)微小變動(dòng)進(jìn)行局部放大，即：

(7)

式中：A為局部放大倍數(shù)，其大小以能在圖形上清晰地顯示圓周輪廓的微小變動(dòng)為宜。A值過(guò)大，將使顯示的圓周輪廓嚴(yán)重變形；A值偏小，起不到對(duì)圓周輪廓的微小變動(dòng)實(shí)現(xiàn)局部放大的作用。圓柱體圓周輪廓圖形顯示如圖2所示。

2.2 實(shí)際軸線的可視化

圓周輪廓局部放大后，第i圓周輪廓的最小二乘圓的圓心坐標(biāo)與由式(1)確定的圓周輪廓的最小二乘圓的圓心坐標(biāo)之間存在以下關(guān)系：

(8)

將由式(8)確定的最小二乘圓逐點(diǎn)連接起來(lái)，可近似表示為被測(cè)圓柱體的實(shí)際軸線，如圖2所示。

2.3 理想軸線的可視化

將由式(8)確定的最小二乘圓圓心坐標(biāo)oAi(aAi,bAi,zAi)代替式(2)確定的最小二乘圓圓心坐標(biāo)oi(ai,bi,zi)，按1.2節(jié)所示方法可得到圓周輪廓局部放大后的理想軸線參數(shù)(xA0,yA0,pA,qA)。用oAi(aAi,bAi,zAi)代替oi(ai,bi,zi)，參數(shù)xA0、yA0、pA和qA分別代替參數(shù)x0,y0,p和q。由式(5)可得到圓周輪廓微小變動(dòng)局部放大后最小二乘圓圓心到其理想軸線間的垂直距離dAi。用dAi代替式(6)中的di，即可得到圓周輪廓微小變動(dòng)局部放大后圓柱體實(shí)際軸線的包容圓柱面的直徑DA。理想軸線在xOyz坐標(biāo)系中有三種情形，即：與z軸重合、與z軸平行、與z軸傾斜，如圖3所示。

圖3所示的情形是理想軸線的通常狀態(tài)，理想軸線的參數(shù)為xA0、yA0、pA和qA。當(dāng)理想軸線與z軸間存在傾斜時(shí)，理想軸線z之間的夾角為：

(9)

由與理想軸線與z軸間存在傾斜角γA，在包容面上作平行于xOy平面的平面，其與圓柱面輪廓的交線應(yīng)是一個(gè)橢圓，橢圓輪廓的短軸長(zhǎng)度ES等于0.5DA，長(zhǎng)軸長(zhǎng)度EL為：

EL=0.5DA/cosγ

(10)

橢圓輪廓的x和y坐標(biāo)為：

(11)

式中：nE為橢圓輪廓上的點(diǎn)數(shù)；κk為橢圓輪廓上第k點(diǎn)與x軸間的夾角。

依據(jù)理想軸線的參數(shù)，在xOy平面將上述橢圓繞z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度λ為：

(12)

得到橢圓輪廓繞z軸旋轉(zhuǎn)角度λ后的輪廓點(diǎn)的坐標(biāo)為：

(13)

將上述旋轉(zhuǎn)后的橢圓輪廓平移，即可得到實(shí)際軸線包容面的輪廓點(diǎn)的坐標(biāo)為：

(14)

上述包容面的確定過(guò)程如圖4所示。圖4(a)所示為由式(6)確定包容面的直徑DA；圖4(b)所示為由式(11)確定的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)EL和短半軸長(zhǎng)ES的橢圓輪廓的x和y坐標(biāo)；圖4(c)所示為由式(13)獲得的橢圓輪廓的x和y坐標(biāo)；圖4(d)為由式(14)確定的輪廓位置，得到包容面輪廓。

(a) 與z軸重合 (b) 與z軸平行 (c) 與z軸傾斜圖3 理想軸線在xOyz坐標(biāo)系中的三種情形

(a) 圓輪廓直徑 (b) 橢圓輪廓坐標(biāo)

2.4 程序編制

圓柱體實(shí)際軸線包容面上的每個(gè)截面的輪廓坐標(biāo)確定后，可以用MATLAB中的plot3三維繪圖函數(shù)與hold on語(yǔ)句組合使用，把m個(gè)圓周輪廓、m個(gè)橢圓輪廓、理想軸線和實(shí)際軸線呈現(xiàn)在一幅圖上。對(duì)于圓柱體實(shí)際軸線包容面的顯示，可將m個(gè)橢圓輪廓的坐標(biāo)利用MATLAB中的serf或mesh函數(shù)顯示。

3 實(shí) 驗(yàn)

使用Taylor585LT圓柱度儀對(duì)孔進(jìn)行了圓周輪廓提取，并將圓周輪廓數(shù)據(jù)以“.CSV”格式導(dǎo)出，孔的公稱尺寸D為51.5 mm，孔的測(cè)量長(zhǎng)度Lh為100 mm，Δz等于5 mm，孔的圓周輪廓數(shù)m為21，每個(gè)圓周輪廓的采樣點(diǎn)數(shù)n為2 000。圖5-圖7分別為用橢圓輪廓、surf函數(shù)、mesh函數(shù)三種可視化方法顯示的孔的軸線直線度誤差的評(píng)定結(jié)果以及圓周輪廓、實(shí)際軸線、理想軸線及軸線直線度誤差的包容面。圖中的x和y坐標(biāo)并不是真實(shí)的坐標(biāo)，而是微小變動(dòng)局部放大后輪廓的坐標(biāo)，輪廓局部放大倍數(shù)為1 000，其目的是使輪廓和軸線直線度誤差的包容面更清晰，另外，沒(méi)有對(duì)圖中的奇異點(diǎn)進(jìn)行處理。可以看出，三種可視化方法均能較清晰地顯示被測(cè)孔的實(shí)際軸線、理想直線和包容面。但需要注意的是，軸線直線度誤差較小時(shí)，圖6和圖7的方式將不能清晰地顯示實(shí)際軸線。

圖5 用橢圓輪廓顯示軸線直線度誤差的包容面

圖6 用surf函數(shù)顯示軸線直線度誤差的包容面

圖7 用mesh函數(shù)顯示軸線直線度誤差的包容面

4 結(jié) 語(yǔ)

本文以圓周法提取方案對(duì)圓柱體的圓周輪廓進(jìn)行測(cè)量，獲取圓周輪廓采樣點(diǎn)的微小變動(dòng)量，建立了基于最小二乘圓的圓心坐標(biāo)的圓柱體軸線直線度誤差的評(píng)定模型。由圓柱體軸線直線度誤差評(píng)定模型確定理想軸線參數(shù)，建立了圓柱體實(shí)際軸線包容面輪廓坐標(biāo)的生成模型，并提出了圓柱體實(shí)際軸線包容面的三種可視化方法。基于所建立的模型，編寫了圓柱體最小二乘法軸線直線度誤差的評(píng)定及其可視化程序，對(duì)孔的軸線直線度誤差進(jìn)行了評(píng)定及其結(jié)果顯示。本文提出的圓柱體實(shí)際軸線包容面的可視化方法也可用于圓柱度誤差評(píng)定中的圖形顯示。