圓柱體軸線直線度誤差的評定及其可視化研究

趙 新 宇

(中原工學院計算機學院 河南 鄭州 450007)

0 引 言

圓柱體零件是機械制造業大量使用的零件，對于高精度的圓柱孔和軸，其不僅有較高的尺寸精度要求，而且有較高的幾何精度要求。圓柱體零件的軸線直線度公差是其重要的幾何精度要求之一，其影響相配孔、軸的可裝配性和配合性能。圓柱體軸線直線度誤差的測量主要是通過沿圓柱體軸線方向測量若干圓周輪廓，并按相應的參考圓準則確定各圓周輪廓參考圓[1]的圓心坐標，將各圓周輪廓參考圓的圓心坐標逐點相連，其折線作為被測圓柱體的實際軸線，采用最小二乘法[2]或最小區域法[3-4]評定被測圓柱體的軸線直線度誤差。最小區域法評定圓柱體的軸線直線度誤差屬于“minimax”優化問題，可用優化算法確定包容面的軸線參數。圓度、圓柱度誤差的最小區域法評定以及最小外接直徑、最大內切直徑和最大最小直徑的評定也屬于“minimax”優化問題[5-9]，其相關算法也可在圓柱體軸線直線度誤差的最小區域法評定中應用。為了使評定結果更加直觀，需要對評定結果可視化。目前，直線度誤差的研究主要集中在機床導軌的空間直線度誤差的測量與補償等相關問題上，但圓柱體直線度誤差的測量與評定及其可視化研究較少。本文主要以最小二乘法評定圓柱體軸線直線度誤差的結果為基礎，研究圓柱體軸線直線度誤差評定結果的可視化，其數據處理方法同樣適用于最小區域法圓柱體軸線直線度誤差的評定。

1 最小二乘法圓柱體軸線直線度誤差的評定模型

1.1 最小二乘圓心坐標的確定

已知第i圓周輪廓第j采樣點相對徑向變動量為Δij，i=1,2,…,m，j=1,2,…,n，m和n分別為圓周輪廓數和每個圓周輪廓上的采樣點數。假設被測圓柱體的公稱尺寸為D，則第i圓周輪廓第j采樣點到虛擬回轉軸線的徑向尺寸可表示為：

(1)

由于圓柱體軸線直線度誤差測量之前，均經過調心調平處理，將確定最小二乘參考圓圓心x和y軸坐標的非線性最小二乘問題轉化為線性最小二乘問題，可得到第i圓周輪廓的最小二乘圓的圓心坐標oi(ai,yi,zi)：

(2)

式中：φij為第i圓周輪廓上第j采樣點與x軸的夾角，φij=(j-1)Δφ；Δφ為兩相鄰采樣點間的夾角，Δφ=2π/n；zi為第i個最小二乘圓圓心距xOy平面的z向距離；Δz為兩相鄰最小二乘圓之間的z向距離。式(2)中參數含義見圖1。將各最小二乘圓圓心逐點相連，即可得到被測圓柱體的實際軸線，如圖2所示。

圖1 第i圓周輪廓及其最小二乘圓

圖2 被測圓柱體圓周輪廓及其軸線

1.2 最小二乘軸線參數的確定

圓周輪廓的最小二乘圓的圓心坐標oi確定后，可利用最小二乘法確定圖2所示理想軸線的參數(x0,y0,p,q)，其中：x0和y0分別為理想軸線一端在xOy平面上的x軸和y軸方向上的坐標；p=cosα/cosγ，q=cosβ/cosγ，α、β、γ分別為理想軸線與x軸、y軸、z軸間的夾角。依據最小二乘法的定義，理想軸線參數應滿足下式：

(3)

式中：ri為第i圓周輪廓的最小二乘圓心與理想軸線之間的徑向距離，可表示為：

(4)

將式(4)代入式(3)，并對F分別求待定參數x0、y0、p、q的偏導，令四個偏導數分別等于零，可得到參數x0、y0、p和q的四元一次方程組，解該四元一次方程組，即可得到最小二乘理想軸線參數。

由式(5)確定第i最小二乘圓圓心到該理想軸線的垂直距離di，如圖2所示。

(5)

最小二乘法評定得到的圓柱體軸線直線度誤差為：

(6)

2 誤差評定結果可視化

2.1 圓柱體圓周輪廓的可視化

若由式(1)計算得到的ρij將圓周輪廓顯示出來，看到的將是理想圓的輪廓，圓周輪廓上的微小變動顯示不出來，為此，需對微小變動進行局部放大，即：

(7)

式中：A為局部放大倍數，其大小以能在圖形上清晰地顯示圓周輪廓的微小變動為宜。A值過大，將使顯示的圓周輪廓嚴重變形；A值偏小，起不到對圓周輪廓的微小變動實現局部放大的作用。圓柱體圓周輪廓圖形顯示如圖2所示。

2.2 實際軸線的可視化

圓周輪廓局部放大后，第i圓周輪廓的最小二乘圓的圓心坐標與由式(1)確定的圓周輪廓的最小二乘圓的圓心坐標之間存在以下關系：

(8)

將由式(8)確定的最小二乘圓逐點連接起來，可近似表示為被測圓柱體的實際軸線，如圖2所示。

2.3 理想軸線的可視化

將由式(8)確定的最小二乘圓圓心坐標oAi(aAi,bAi,zAi)代替式(2)確定的最小二乘圓圓心坐標oi(ai,bi,zi)，按1.2節所示方法可得到圓周輪廓局部放大后的理想軸線參數(xA0,yA0,pA,qA)。用oAi(aAi,bAi,zAi)代替oi(ai,bi,zi)，參數xA0、yA0、pA和qA分別代替參數x0,y0,p和q。由式(5)可得到圓周輪廓微小變動局部放大后最小二乘圓圓心到其理想軸線間的垂直距離dAi。用dAi代替式(6)中的di，即可得到圓周輪廓微小變動局部放大后圓柱體實際軸線的包容圓柱面的直徑DA。理想軸線在xOyz坐標系中有三種情形，即：與z軸重合、與z軸平行、與z軸傾斜，如圖3所示。

圖3所示的情形是理想軸線的通常狀態，理想軸線的參數為xA0、yA0、pA和qA。當理想軸線與z軸間存在傾斜時，理想軸線z之間的夾角為：

(9)

由與理想軸線與z軸間存在傾斜角γA，在包容面上作平行于xOy平面的平面，其與圓柱面輪廓的交線應是一個橢圓，橢圓輪廓的短軸長度ES等于0.5DA，長軸長度EL為：

EL=0.5DA/cosγ

(10)

橢圓輪廓的x和y坐標為：

(11)

式中：nE為橢圓輪廓上的點數；κk為橢圓輪廓上第k點與x軸間的夾角。

依據理想軸線的參數，在xOy平面將上述橢圓繞z軸逆時針旋轉，旋轉的角度λ為：

(12)

得到橢圓輪廓繞z軸旋轉角度λ后的輪廓點的坐標為：

(13)

將上述旋轉后的橢圓輪廓平移，即可得到實際軸線包容面的輪廓點的坐標為：

(14)

上述包容面的確定過程如圖4所示。圖4(a)所示為由式(6)確定包容面的直徑DA；圖4(b)所示為由式(11)確定的長半軸長EL和短半軸長ES的橢圓輪廓的x和y坐標；圖4(c)所示為由式(13)獲得的橢圓輪廓的x和y坐標；圖4(d)為由式(14)確定的輪廓位置，得到包容面輪廓。

(a) 與z軸重合 (b) 與z軸平行 (c) 與z軸傾斜圖3 理想軸線在xOyz坐標系中的三種情形

(a) 圓輪廓直徑 (b) 橢圓輪廓坐標

2.4 程序編制

圓柱體實際軸線包容面上的每個截面的輪廓坐標確定后，可以用MATLAB中的plot3三維繪圖函數與hold on語句組合使用，把m個圓周輪廓、m個橢圓輪廓、理想軸線和實際軸線呈現在一幅圖上。對于圓柱體實際軸線包容面的顯示，可將m個橢圓輪廓的坐標利用MATLAB中的serf或mesh函數顯示。

3 實 驗

使用Taylor585LT圓柱度儀對孔進行了圓周輪廓提取，并將圓周輪廓數據以“.CSV”格式導出，孔的公稱尺寸D為51.5 mm，孔的測量長度Lh為100 mm，Δz等于5 mm，孔的圓周輪廓數m為21，每個圓周輪廓的采樣點數n為2 000。圖5-圖7分別為用橢圓輪廓、surf函數、mesh函數三種可視化方法顯示的孔的軸線直線度誤差的評定結果以及圓周輪廓、實際軸線、理想軸線及軸線直線度誤差的包容面。圖中的x和y坐標并不是真實的坐標，而是微小變動局部放大后輪廓的坐標，輪廓局部放大倍數為1 000，其目的是使輪廓和軸線直線度誤差的包容面更清晰，另外，沒有對圖中的奇異點進行處理。可以看出，三種可視化方法均能較清晰地顯示被測孔的實際軸線、理想直線和包容面。但需要注意的是，軸線直線度誤差較小時，圖6和圖7的方式將不能清晰地顯示實際軸線。

圖5 用橢圓輪廓顯示軸線直線度誤差的包容面

圖6 用surf函數顯示軸線直線度誤差的包容面

圖7 用mesh函數顯示軸線直線度誤差的包容面

4 結 語

本文以圓周法提取方案對圓柱體的圓周輪廓進行測量，獲取圓周輪廓采樣點的微小變動量，建立了基于最小二乘圓的圓心坐標的圓柱體軸線直線度誤差的評定模型。由圓柱體軸線直線度誤差評定模型確定理想軸線參數，建立了圓柱體實際軸線包容面輪廓坐標的生成模型，并提出了圓柱體實際軸線包容面的三種可視化方法。基于所建立的模型，編寫了圓柱體最小二乘法軸線直線度誤差的評定及其可視化程序，對孔的軸線直線度誤差進行了評定及其結果顯示。本文提出的圓柱體實際軸線包容面的可視化方法也可用于圓柱度誤差評定中的圖形顯示。