桿件缺失位置對點陣夾芯結構固有頻率的影響規律

張 凱，陳建恩

（天津理工大學天津市先進機電系統設計與智能控制重點實驗室機電工程國家級實驗教學示范中心，天津300384）

夾芯結構是由上下面板和中間的芯層所構成的，由于其高比剛度、高比強度、優異的隔熱性能和巨大的能量吸收潛力，在運輸、航空和汽車領域得到了越來越多的應用.以往常用的芯層材料有蜂窩材料和泡沫材料，而在2000年，由國外一些學者提出了一種新型的空間點陣材料.它是模擬分子點陣構型制造出的周期性超輕多孔材料.其典型構型包括金字塔型、四面體型、Kagome等.相比于蜂窩和泡沫夾芯結構，點陣夾芯結構的性能更為優異，應用前景更加令人矚目.因此，對于夾芯結構的相關力學特性進行研究是很有必要的.

目前，國內外學者在壓縮、彎曲性能、沖擊、彈道響應以及振動特性等方面對點陣夾芯結構進行了相關研究.Li等人[1]從振動特性考慮，提出了一種檢測點陣夾芯結構桿件脫落的方法，用于夾芯結構的損傷定位.冀賓等人[2]對點陣夾芯板在受到面內壓縮載荷時的力學行為進行了研究，顯示出點陣材料的應用潛力.張彌等人[3]分別通過理論、試驗、數值模擬這三種方法來研究兩端簡支的3D打印鈦合金金字塔型點陣夾芯結構在三點彎曲載荷下的響應.龍連春等人[4]為了研究夾芯梁單胞變化對結構承載能力的影響，建立了點陣夾芯結構的優化設計模型，目標函數為結構剛度最大，約束條件為體積和單胞尺寸，對夾芯梁單胞的尺寸分布進行了優化設計，并以四面體單胞夾芯結構的優化設計為例進行詳細說明.Deshpande和Fleck[5]研究了四面體點陣夾芯梁在三點彎曲作用下的破壞響應.翟彥春等人[6]分析了粘彈性層厚度對復合材料夾芯梁自由振動的影響.毛毅凝等人[7]研究了3D-Kagome點陣夾芯板在高斯白噪聲激勵下橫向非線性振動的響應統計特性.錢若立等人[8]采用逐層/實體元的方法，研究金字塔型點陣夾芯梁結構在不同邊界條件下的靜力與自由振動問題.雷鵬福等人[9]在現有點陣結構整體建模技術的基礎上，提出一種點陣結構節點強化技術，能在點陣結構節點處實現自然圓角過渡，從而改善其力學性能.仲梁維等人[10]針對點陣材料結構設計困難的問題，建立了由長方體空間衍生的胞元結構的數學模型、試件的參數化模型及力學性能研究系統.張征等人[11]采用有限元軟件Abaqus建立了金字塔點陣結構單胞的平壓和剪切模型，并且發現復合材料不同的鋪層角度和鋪層數會對材料的剛度、比剛度、模量和比模量產生一定影響.閆國良等人[12]研究了影響點陣夾芯結構換熱性能的因素，采用翅片法推導四面體型點陣結構等熱流密度和等壁面溫度邊界條件下的努塞爾數，以此表征結構的換熱性能，并與實驗結果進行對比.王祖華和殷洪[13]研究了芯層含多種祖分的含空腔點陣增強夾芯結構的固有振動特性.韓笑等人[14]對多層梯度點陣夾芯板在爆炸載荷下的動態響應進行了模擬研究.鄭權等人[15]基于增材制造工藝制備多層金字塔型點陣夾芯板，并根據標準測試方法進行準靜態平壓破壞實驗，得到多層金字塔點陣結構的抗壓縮強度.陳鋒等人[16]通過實驗手段和有限元方法針對含孔碳纖維增強樹脂基復合材料點陣夾層結構在面外載荷作用下的失效模式及其影響因素進行了研究.勵爭等人[17]采用有限元數值計算和實驗的方法研究了輕質點陣夾芯板在熱載荷作用下的穩定性問題.周楠等人[18]描述了泡沫鋁及夾芯復合材料的制備方法和應用，研究了泡沫鋁夾芯復合材料的抗爆抗侵徹性能.

在對點陣結構缺陷方面的研究，目前較多的集中于蒙皮受到外部沖擊破壞之后，點陣結構整體的破壞情況，而很少涉及到內部芯層單獨受損的問題.本文以金字塔型點陣夾芯梁為例，在懸臂的邊界條件下，使芯層分別缺失一個、兩個、四個單胞所含桿件，改變缺失桿件的位置，分析不同位置的桿件缺失對于夾芯梁固有頻率的影響規律.并且在此基礎上，改變桿件半徑，研究芯層缺陷位置及半徑同時變化對固有頻率的影響.

1 有限元仿真設置及驗證

為確保分析結果的正確性，本文分別采用Ansys workbench和Abaqus兩種軟件對點陣夾芯梁進行仿真，通過比較所得梁的固有頻率來驗證有限元仿真設置的正確性.

1.1 點陣夾芯梁結構描述

本文研究的對象為金字塔型點陣夾芯梁，運用Solidworks軟件進行實體建模，模型如圖1所示.夾芯梁長度方向取20個單胞，寬度方向取4個單胞.夾芯梁結構參數為：蒙皮厚度為1 mm，芯層桿件半徑為1 mm，桿件傾斜角為45°，芯層高度為15 mm，單胞底面邊長為21 mm.夾芯梁蒙皮和芯層材料均為鋁合金，材料參數為：材料密度ρ=2 770 kg/m3，彈性模量E=71 GPa，泊松比ν=0.33.

圖1金字塔型點陣夾芯梁模型圖Fig.1 Model of pyramidal truss core sandwich beam

1.2 Ansys workbench仿真

選取三個模型進行分析，第一個模型去除了中間兩行第一和第二列的四個單胞，根據單胞缺陷的位置，將其編號為1.第二個模型去除了第九和第十列的四個單胞，編號為2.第三個模型去除了第十九列和第二十列的四個單胞，編號為3，分別如圖2（a）-（c）所示.將模型導入Ansys workbench中進行有限元仿真，采用四面體網格，選擇patch conforming算法，夾芯梁的左端面固定，右端面自由，使其處于懸臂狀態.

圖2含芯層缺陷的點陣夾芯梁模型圖Fig.2 Models of truss core sandwich beams with coredefects

1.3 Abaqus仿真

將上述的三個模型導入Abaqus中進行有限元仿真，仿真所需的材料參數及邊界條件與Ansys workbench設置相同，網格在選定為四面體單元之后，選擇默認算法，根據默認的設置，在邊界面上的部分區域使用映射的三角形網格.

1.4 固有頻率比較

通過有限元仿真，得到了夾芯梁在不同缺陷狀態下的前三階固有頻率.兩種軟件仿真所得的固有頻率如表1所示，另外，給出了夾芯梁在缺陷位置為1時的前三階振型，結果由Ansys workbench仿真所得，如圖3（a）-（c）所示.

表1不同缺陷位置下Ansys workbench和Abaqus所得的前三階固有頻率Tab.1 The first three natural frequencies of Ansys workbench and Abaqus at different defect positions Hz

圖3缺失位置為1的夾芯梁的前三階振型Fig.3 The first three mode shapes of beam with missing position

2 芯層缺陷位置變化

為了研究不同位置的桿件缺失對于點陣夾芯梁固有頻率的影響，在完整夾芯梁的基礎上，刪除不同位置單胞所含的桿件，然后利用有限元仿真得到夾芯梁的固有頻率.兩種軟件所得的仿真結果一致，節省篇幅起見，本文僅給出了Ansys workbench的計算結果.

2.1 中間一行各列單胞所含桿件缺失的情況

選取了夾芯梁中間一行，依次去掉各列單胞所含桿件，計算固有頻率.其中，完整梁的缺失位置記為0，其他梁根據缺失位置記為1-20，缺失位置為1的梁如圖4（a）所示.得到前三階固有頻率隨著缺失位置的變化情況，如圖4（b）-（d）所示.

圖4中間一行各列單胞缺失的夾芯梁模型圖及前三階固有頻率隨缺失位置的變化曲線Fig.4 Model diagram of the sandwich beam with missing cells in the middle row and the variations of the first three natural frequencies along with missing position

含單個單胞桿件缺失的夾芯梁第一階固有頻率與完整梁的第一階固有頻率相比，最大差值為0.41 Hz，第二階固有頻率的差值為4.56 Hz，第三階固有頻率的差值為16 Hz.另外，含缺陷的夾芯梁之間，第一階固有頻率之間最大差值為0.54 Hz，第二階固有頻率的差值為6.1 Hz，第三階固有頻率的差值為22.4 Hz.由上圖可以看出，缺失位置為1時，第一階固有頻率并沒有發生變化，而第二階和第三階固有頻率均下降.隨著缺失位置與固支端距離的增加，第一階固有頻率起初有小幅減小，之后則呈上升趨勢，然而第二階固有頻率變化稍顯復雜，呈現出波動的狀態，第三階固有頻率波動的現象更甚，頻率的變化規律更加復雜.

2.2 中間兩行各列單胞所含桿件缺失的情況

選取夾芯梁中間的兩行，依次去掉各列單胞所含桿件，計算夾芯梁的固有頻率.缺陷位置編號與之前設置一致.缺失位置為1的梁如圖5（a）所示.得到的固有頻率結果如圖5（b）-（d）所示.

圖5中間兩行各列單胞缺失的夾芯梁模型圖及前三階固有頻率隨缺失位置變化曲線Fig.5 Model diagram of the sandwich beam with missing cells in each column of the middle two rows and the variations of the first three natural frequencies along with missing position

中間兩行各列單胞缺失的夾芯梁的第一階固有頻率與完整梁固有頻率最大差值為0.87 Hz，第二階固有頻率的差值為11.64 Hz，第三階固有頻率的差值為43 Hz.含芯層缺陷的夾芯梁之間，第一階固有頻率最大差值為1.2 Hz，第二階固有頻率的差值為14.83 Hz，第三階固有頻率的差值為51.9 Hz.

由圖5可以看出，兩個單胞缺失的頻率變化情況總體來說與單個單胞缺失的情況一致.所不同的是，第一階固有頻率在缺失第一列單胞時就有所降低.另外，第二階固有頻率在缺失位置8-12區間內變化比較平緩，第三階固有頻率則是在9-11和13-15區間內變化較為平緩.

2.3 中間兩行相鄰兩列單胞所含桿件缺失的情況

圖6中間兩行相鄰兩列單胞缺失的夾芯梁模型圖以及前三階頻率和節點位移隨缺失位置的變化曲線Fig.6 Model diagram of the sandwich beam with two adjacent columns of cells missing in the middle two rows and the variations of the first three frequencies and node displacements along with missing position

選取了夾芯梁中間兩行，依次去掉相鄰兩列單胞所含桿件，然后計算固有頻率.這種情況下，缺失位置分別標記為1-10，其中缺失位置為1的梁如圖6（a）所示，得到的固有頻率結果如圖6（b）-（d）所示.此外，圖6中給出了夾芯梁上各節點的最大位移，即模態振型.提取模態振型的方法為：選擇沿長度方向的各單胞所對應的上面板中心節點，以上面板所在平面為零位移平面，讀取各節點沿z軸方向的最大位移并進行作圖.

中間兩行相鄰兩列單胞缺失的夾芯梁的第一階固有頻率與完整梁第一階固有頻率的最大差值為1.64 Hz，第二階固有頻率的差值為22.35 Hz，第三階固有頻率的差值為56.1 Hz.含芯層缺陷的夾芯梁之間，第一階固有頻率最大差值為2.22 Hz，第二階固有頻率的差值為27.28 Hz，第三階固有頻率的差值為63 Hz.由上圖可知，第一階固有頻率變化規律比之前兩種缺陷情況都更為平滑，但是第二階和第三階固有頻率并沒有出現第二種缺陷情況所含的平滑區間.通過比對固有頻率和模態振型隨缺失位置的變化曲線，可以看出，第二和第三階固有頻率隨缺失位置的變化曲線的峰值，總是位于對應振型的波腹的兩側.

3 芯層缺陷位置和桿件半徑同時變化

針對上述所得結果，分別對三種情況作了進一步討論，研究了點陣夾芯梁在芯層缺陷位置和桿件半徑同時發生變化時，其固有頻率的變化情況.

芯層桿件半徑分別取0.6 mm、0.8 mm、1.0 mm、1.2 mm、1.4 mm，三種芯層缺陷狀態下得到的固有頻率變化情況分別如圖7-9所示.

圖7第一種情況下前三階固有頻率隨缺失位置和桿件半徑變化的三維圖Fig.7 The first three natural frequencies change with the missing position and the member radius in the first case

圖8第二種情況下前三階固有頻率隨缺失位置和桿件半徑變化的三維圖Fig.8 The first three natural frequencies change with the missing position and the member radius in the second case

圖9第三種情況下前三階固有頻率隨缺失位置和桿件半徑變化的三維圖Fig.9 The first three natural frequencies change with the missing position and the member radius in the third case

由圖可知，當桿件半徑取不同值時，其固有頻率隨缺失位置的變化趨勢與桿件半徑為1 mm時呈現的規律相似.在不同的桿件半徑條件下，隨著缺陷由固支端向自由端變化，第一階固有頻率均表現出先減小后增大的趨勢，而第二階、第三階固有頻率均表現出降低升高交替出現的現象，并且對于第三階固有頻率這種特征要更明顯.

在缺失位置不變時，第一階固有頻率隨著桿件半徑的增大，整體呈下降趨勢，而第二階固有頻率整體上隨著半徑的減小而減小，但半徑為1.2 mm的頻率要高于1.4 mm時的頻率，且半徑為0.6 mm時的頻率要明顯低于其他半徑條件下的固有頻率，第三階固有頻率隨半徑減小而減小，無特殊情況.

接著，利用Origin軟件的nonlinear surface選項進行曲面擬合，分別得到三種情況下的前三階固有頻率關于桿件半徑和缺失位置的函數，對于第一種情況，第一階固有頻率的表達式為

其中，Z表示固有頻率；X表示缺失位置；Y表示桿件半徑.

4 結論

本文研究了金字塔型點陣夾芯梁在含芯層缺陷時的固有頻率.分別研究了芯層在缺失一個、兩個、四個單胞所含的桿件時夾芯梁的固有頻率變化，研究發現，三種情況下其前三階固有頻率隨缺陷位置的變化情況較為相似.隨著桿件缺失位置與固支端距離的增加，第一階固有頻率先減后增，并且最終頻率要高于無損梁.但是隨著頻率階次的增加，固有頻率的變化趨勢逐漸復雜，呈現出一種波動的狀態.另外，值得注意的是，固有頻率的變化曲線與夾芯梁的振型圖在形態上存在聯系，第三種情況下第二和第三階固有頻率變化曲線的峰值存在于對應振型的波腹兩側.

然后研究夾芯梁在不同的缺陷狀態和桿件半徑條件下，其固有頻率的變化情況.結果顯示，桿件半徑不同時，夾芯梁的固有頻率隨缺失位置的變化規律與桿件半徑1mm時呈現的規律基本一致.而在缺失位置一定時，第一階固有頻率隨桿件半徑的增大而減小，第二階和第三階固有頻率則增大，但在某些特定半徑值時，第一階和第二階固有頻率又會出現反常現象.為此，對不同缺陷、不同桿件半徑條件下的前三階固有頻率進行函數擬合，用擬合函數來定量描述三者之間的關系，利用該函數可以較為準確地計算所選的缺陷位置和桿件半徑范圍內的固有頻率.