優化參數對CPM-PSWF信號性能的影響*

楊大偉，劉傳輝，康家方，劉錫國

(1.海軍航空大學 航空通信教研室，山東 煙臺 264001；2.中國人民解放軍91439部隊，遼寧 大連 116041)

0 引 言

連續相位調制(Continuous Phase Modulation,CPM)屬于數字相位調制技術，是1981年由Anderson和Aulin等人[1-2]在連續相位頻移鍵控(Continuous Phase Frequency Shift Keying,CPFSK)、最小頻移鍵控(Minimum Shift Keying,MSK)、正弦頻移鍵控(Sinusoidal Frequency Shift Keying,SFSK)、高斯最小頻移鍵控(Gaussian Minimum Shift Keying,GMSK)等調制方式基礎上系統闡述的一類調制方法。CPM信號不僅具有很高的頻帶利用率和功率效率，還可以很好地抵御非線性影響，在移動通信、深空探測、遙感通信、衛星通信等領域應用廣泛[3-5]。現有的CPM基帶調頻脈沖信號主要有矩形脈沖信號、升余弦脈沖信號、類高斯脈沖信號等，不同的基帶脈沖信號決定了CPM調制信號不同的頻譜性能[6]。

橢圓球面波函數(Prolate Spheroidal Wave Function,PSWF)是Bell實驗室Slepian等人[7-8]于1961年定義的一類特殊函數集合，具有高時頻能量聚集性、時間帶寬積靈活可控性、完備正交性等優良基礎特性，在雷達、衛星通信、光學、超寬帶通信等領域都有所應用。相同參數條件下，0階PSWF信號又是PSWF信號集中最佳時頻能量聚集性信號[9]。目前，對CPM技術研究的相關文獻大多以CPM相關聯技術及其改進算法為主，從基帶波形信號設計方面對CPM進行研究的相關文獻并不多，那么相對于CPM常用基帶調頻脈沖信號，如果將具有優良基礎特性的PSWF信號作為CPM基帶信號，引入CPM調制，有望進一步提高現有CPM調制信號的能量聚集性和頻帶利用率。

本文將PSWF信號作為CPM的基帶調頻脈沖信號，結合CPM原理，提出了基于橢圓球面波信號的連續相位調制(CPM Based on PSWF,CPM-PSWF)方法，給出了CPM-PSWF調制信號產生原理。另一方面，由于PSWF的時間帶寬積、階數、調制指數、關聯長度等調制參數又進一步影響著CPM-PSWF調制信號的功率譜密度、信號占用帶寬等性能，所以，研究不同參數變化對CPM-PSWF調制信號性能影響，為CPM-PSWF信號在不同場景應用中的參數選擇提供參考依據，同時這也對提高CPM調制信號性能具有重要的借鑒意義。

1 CPM-PSWF信號描述

CPM-PSWF調制信號產生原理框圖如圖1所示。首先，將PSWF信號作為CPM基帶調頻脈沖信號即ψ(c,t)，對ψ(c,t)積分并波形歸一化處理后，得到相位成形脈沖函數q(t)；其次，計算q(t)與調制指數等參數的乘積，將信息符號序列ai加載到相位信息上，得到載波時變相位φ(t,a)；最后，將φ(t,a)經過載波調制變為帶通信號，得到相位連續且包絡恒定的CPM-PSWF調制信號s(t)。

圖1 CPM-PSWF信號調制原理框圖

CPM-PSWF調制信號s(t)表達式為

(1)

式中：E為碼元符號信號能量；T為碼元時間間隔；ωc為載波角頻率，且ωc=2πfc，fc為載波中心頻率；φ0為載波初始相位；φ(t,a)為載波的時變相位，也是信息承載項，其數學表達式為

(2)

式中：h為調制指數；ai為發送的碼元信息符號序列，單個碼元有M種取值，分別為±1,±3,…,±(M-1)，i=0,±1,±2,…；q(t)為CPM信號相位成形脈沖函數，其表達式為

(3)

式中：ψ(c,t)表示橢圓球面波信號，其積分方程表達式為

(4)

式中：ψ(c,t)是帶限于[-Ω,Ω]又在時域區間[0，LT]上集中分布的橢圓球面波函數，c=LTΩ是其時間帶寬積;λ是對應于ψ(c,t)的特征值;L為信號關聯長度，L=1為全響應CPM-PSWF信號，L>1為部分響應CPM-PSWF信號。

符號能量E和比特能量Eb的關系如下：

E=EblbM。

(5)

同符號能量和比特能量關系，類似的符號周期T與比特周期Tb關系如下：

T=TblbM。

(6)

由以上CPM-PSWF調制信號產生表達式可知，CPM-PSWF信號的頻譜性能與發送信息進制數M、信息傳輸速率R(1/T)、調制指數h、關聯長度L、時間帶寬積c等參數有關，分析這些參數對CPM-PSWF調制信號性能的影響，可以為CPM-PSWF信號將來在不同場景應用，選擇滿足條件的調制參數提供參考依據。

2 CPM-PSWF譜密度計算

根據維納辛欽定理，隨機信號的自相關函數和功率譜密度(Power Spectral Density,PSD)是傅里葉變換對，通常可以通過對自相關函數求傅里葉變換得到隨機信號的功率譜密度，采用最易實現的數值計算方法計算CPM-PSWF調制信號功率譜密度,步驟如下：

Step1 計算CPM-PSWF調制信號等效低通信號的自相關函數R(τ)：

R(τ)=R(τ′+mT)

(7)

式中：τ=τ′+mT，0≤τ′

Step2 計算常數Cα：

(8)

Step3 計算CPM-PSWF信號的功率譜密度：

(9)

式中：第一項是τ在0～LT范圍內R(τ)的傅里葉變換,第二項是τ在LT～(L+1)T范圍內R(τ)的傅里葉變換。

由于橢圓球面波函數沒有閉式解析解，而且像MSK、SFSK、GMSK等調制信號的自相關函數、功率譜密度計算過程往往也十分復雜，所以需要在理論分析的基礎上結合計算機數值仿真來驗證CPM-PSWF調制信號的頻譜性能。為了更加清晰直觀地分析不同參數對CPM-PSWF調制信號功率譜密度的影響，本文采用韋爾奇(Welch)譜密度估計法對調制信號的功率譜密度進行估計。

3 實驗結果與分析

由CPM-PSWF信號表達式可知，其調制信號功率譜密度特性取決于PSWF信號的時間帶寬積c、PSWF信號階數、調制指數h、關聯長度L、碼元速率R、進制數M等參數，當這些參數變化時，調制信號帶寬及其頻譜帶外衰減也會隨之發生變化。本節在Matlab2016a仿真環境下，通過數值計算的方法，在給定相同參數條件下，改變CPM-PSWF信號某一調制參數值(如在PSWF信號階數、調制指數h、關聯長度L、碼元速率R、進制數M等參數都相同條件下，只改變PSWF的時間帶寬積c)，分析其對CPM-PSWF信號的影響。按照該方法，依次改變PSWF信號階數、調制指數h、關聯長度L、碼元速率R、進制數M，分別分析每個參數對CPM-PSWF調制信號頻譜特性的影響。由于帶通信號的功率譜密度是其等效低通信號的時移形式，因此采用基帶信號處理方式，利用Welch功率譜密度估計后，可以進一步通過數字積分得到帶外功率占比與調制信號占用帶寬之間的關系，其中，PSWF信號由DPSS[10]方式產生。具體參數設置如表1所示。

表1 仿真參數

3.1 CPM-PSWF調制信號性能

圖2是CPM-PSWF信號與MSK、SFSK調制信號的功率譜特性對比圖，MSK是基帶調頻脈沖為矩形脈沖的CPM調制方式，SFSK是基帶調頻脈沖為升余弦脈沖的CPM調制方式。相同調制參數條件下，由圖2可知，當PSWF信號的時間帶寬積為2 Hz·s時，CPM-PSWF信號的功率譜密度帶外衰減更快。

圖2 CPM-PSWF與MSK、SFSK信號的PSD

表2是不同調制方式在不同功率百分比情況下占用的歸一化帶寬值。由表2可知，CPM-PSWF信號與MSK、SFSK調制信號相比，在包含信號99.9%功率帶寬條件下，可分別提升系統頻帶利用率約13%(即(2.84-2.47)/2.84)和16%(即(2.94-2.47)/2.94)。

表2 給定功率百分比不同調制方式占用帶寬

圖3是部分響應條件下，關聯長度L為3時，CPM-PSWF信號與GMSK調制信號的功率譜密度。當高斯脈沖的時間帶寬積BT典型值為0.3(GSM信號參數)、0.5時的GMSK調制信號，分別與PSWF時間帶寬積為2 Hz·s、4 Hz·s的CPM-PSWF調制信號相比，CPM-PSWF信號功率譜的高頻滾降和帶外衰減較快，而且功率譜主瓣帶寬也均小于GMSK。

圖3 CPM-PSWF與GMSK信號PSD

由表3可知，在部分響應條件下，通過設置PSWF的時間帶寬積參數，在相同功率百分比條件下，CPM-PSWF調制信號占用帶寬也可以小于典型值GMSK信號。尤其是當PSWF的時間帶寬積c為2 Hz·s時，CPM-PSWF調制信號頻譜性能(帶外衰減、高頻滾降、占用帶寬)相對較好。

表3 給定功率百分比不同調制方式占用帶寬(L=3)

下面分析算法復雜度。如表1所示，單個碼元周期內信號采樣點數為N，信號持續時間為nT，假定余弦函數的計算量為4倍乘法運算量，正弦基(sinc)函數的計算量為6倍乘法運算量，而正態分布函數Q(·)涉及指數冪的積分運算，為了便于比較，將Q(·)的計算量等價為10次乘法與10次加法運算量，產生一個N行N列矩陣，相當于N2的運算量。那么，結合矩形脈沖、升余弦脈沖、(類)高斯脈沖和PSWF信號的產生、積分、歸一化處理、信息加載、載波相位調制等過程，分別得到MSK、SFSK、GMSK、CPM-PSWF信號產生的算法復雜度。

以CPM-PSWF信號產生過程為例，首先，對PSWF信號的帶寬與時間乘積求sinc函數值，該步驟乘法運算量為O(6N)；然后，生成sinc函數值的托普利茲矩陣，并計算其特征值，取其中第1列數據獲得0階PSWF信號，乘法運算量為N×N近似為O(N2)；其次，對PSWF信號積分(乘法運算量為O(1)、加法運算量為O(N))、歸一化處理(乘法運算量為O(2N))、信息加載(乘法運算量為O(nN))、載波相位調制(乘法運算量為O(4nN))，所以CPM-PSWF信號產生的乘法運算復雜度為O(6N+N2+1+2N+nN+4nN)，合并并保留高階項得O(N2+5nN)，其加法運算復雜度為O(N)。MSK、SFSK、GMSK等CPM調制信號產生過程，只是基帶信號不同，因此與CPM-PSWF信號產生運算復雜度計算過程相似，可以得到其他調制信號的算法復雜度。因為不同調制信號加法復雜度運算量基本相當，而乘法運算復雜度要遠高于加法運算，故以乘法運算復雜度為度量標準。不同調制方式信號產生算法復雜度如表4所示。

表4 不同調制信號產生算法復雜度

由表4可知，調制信號產生算法復雜度由低到高依次為MSK、SFSK、GMSK、CPM-PSWF，CPM-PSWF信號的運算復雜度主要在于PSWF信號的數值產生過程。雖然CPM-PSWF信號產生復雜度相對較高，但是，一方面利用PSWF信號的高時頻能量聚集性、時間帶寬積靈活可控性可以獲得頻帶利用率較高的CPM信號，另一方面現代數字電路技術的發展程度也有利于快速實現PSWF信號的產生。

3.2 PSWF時間帶寬積

PSWF的時間帶寬積c作為其CPM-PSWF信號的重要參數，通過影響CPM基帶調頻信號ψ(c,t)從而影響著CPM-PSWF調制信號的頻譜性能。選取CPM-PSWF調制信號參數為進制數M=2，調制指數h=0.5，PSWF信號的關聯長度L=1(全響應)，比特傳輸速率為50 b/s，仿真得到的功率譜密度及相對帶外功率歸一化帶寬占比關系如圖4所示。

(a)功率譜密度

(b)功率百分數占用帶寬圖4 不同時間帶寬積CPM-PSWF信號PSD與功率百分數占用帶寬

由圖4可知，當PSWF的時間帶寬積分別為2 Hz·s、4 Hz·s、8 Hz·s時，CPM-PSWF調制信號的歸一化雙邊帶寬(占總功率99.9%信號帶寬)分別為2.43、2.87、4.28。隨著PSWF的時間帶寬積變大，CPM-PSWF調制信號的占用帶寬也隨著增大，也就是說改變時間帶寬積會影響調制信號帶寬。PSWF的時間帶寬積越小，調制信號功率譜密度特性第一旁瓣越低，帶外衰減越快。

圖5給出了不同時間帶寬積條件下CPM-PSWF調制信號在給定功率百分比(90%、99%、99.9%)下占用帶寬曲線。隨著PSWF時間帶寬積c的增加，CPM-PSWF調制信號在相同功率占比情況下，占用帶寬越寬；時間帶寬積c越小，占用帶寬越小；隨著PSWF時間帶寬積c增大，CPM-PSWF調制信號的頻譜旁瓣衰減減慢，-40 dB以上高頻滾降越慢。所以，PSWF時間帶寬積越小，CPM-PSWF信號頻譜性能越好。這些特性也與PSWF信號的基礎特性相關，且與PSWF信號在時寬一定時，隨著時間帶寬積增大，相應的調制信號帶寬增加是一致的。

圖5 時間帶寬積與CPM-PSWF信號功率占用帶寬關系

3.3 PSWF階數

在相同時間帶寬積、同一頻段下，可以產生多階PSWF信號，這是PSWF與矩形脈沖、升余弦脈沖、高斯脈沖相比所具有的獨特性質。下面分析對比不同階PSWF信號對CPM-PSWF調制信號頻譜性能的影響。

圖6和圖7是當PSWF信號的時間帶寬積分別為2 Hz·s、4 Hz·s時產生的0階PSWF信號、1階PSWF信號、2階PSWF信號，分別作為CPM基帶調頻脈沖得到的CPM-PSWF功率譜密度和不同帶寬條件下占用的功率百分數。由圖可知，基于0階PSWF信號得到的調制信號頻譜，不論是占用帶寬還是帶外衰減、頻譜滾將性能都要優于1階PSWF和2階PSWF，且基于2階PSWF的CPM調制信號頻譜帶外衰減速度要比1階PSWF快，且隨著時間帶寬積的增加，基于2階PSWF的CPM頻譜性能要更快速接近于0階PSWF，這與偶數階PSWF信號波形偶對稱、其積分信號對CPM相位路徑影響有關。當PSWF時間帶寬積為2 Hz·s時，占總功率90%的信號功率歸一化雙邊帶寬分別為0.84(0階)、2.92(1階)、2.74(2階)，且在帶寬大于2.50時，基于2階PSWF的CPM調制信號在相同帶寬條件下，其功率百分數越高；當PSWF時間帶寬積為4 Hz·s時，占總功率90%的信號功率歸一化雙邊帶寬分別為0.92(0階)、3.14(1階)、1.56(2階)，隨著時間帶寬積的增大，PSWF的1階、2階信號能量聚集度變高，基于2階PSWF的CPM調制信號占用帶寬也相對越小。

(a)功率譜密度

(b)功率百分數帶寬圖6 c=2 Hz·s不同階數CPM-PSWF信號PSD與功率百分數占用帶寬

(a)功率譜密度

(b)功率百分數帶寬圖7 c=4 Hz·s不同階數CPM-PSWF信號PSD與功率百分數占用帶寬

由以上分析可知，0階PSWF是相同條件下一組PSWF中時頻能量聚集性最佳信號，同樣適用于CPM調制信號中，雖然隨著PSWF階數的增加，PSWF信號本身能量聚集性也會隨之有所下降，但是偶數階PSWF信號要比奇數階PSWF更適合作為CPM基帶調頻脈沖信號，這也與PSWF信號不同階信號產生求解方法本身有關。

3.4 調制指數

調制指數h是影響CPM調制信號頻譜性能的重要參數，通常分為恒定指數和多指數兩種，而多指數h條件下的CPM信號分析復雜。這里以恒定指數作為分析基礎條件，對CPM-PSWF調制信號性能影響進行分析。選取CPM-PSWF調制信號參數為進制數M=2，PSWF信號的時間帶寬積c=2 Hz·s，信號的關聯長度L=1(全響應)，傳輸符號速率為50 b/s,仿真得到的功率譜密度及相對帶外功率歸一化帶寬占比關系如圖8所示。

(a)功率譜密度

(b)功率百分數帶寬圖8 不同調制指數CPM-PSWF信號PSD與功率百分數占用帶寬

由圖8可知，調制指數h分別為0.5、0.6、0.7時，CPM-PSWF調制信號的含99.9%的功率歸一化帶寬分別為2.43、2.64、2.81。隨著調制指數h的增大，CPM-PSWF調制信號占用帶寬也隨之增大；h越小，信號占用帶寬越窄，帶寬利用率越高，調制信號功率譜密度第一旁瓣越低，但當h減小時會影響接收端的解調性能。

3.5 關聯長度

關聯長度L的選擇主要存在CPM部分響應情況(L>1)時，不同關聯長度對CPM-PSWF調制信號的功率譜帶外衰減和帶寬會產生影響。選取CPM-PSWF調制信號參數為進制數M=2，PSWF信號的時間帶寬積c=2 Hz·s，調制指數h=0.5，比特傳輸速率為50 b/s,仿真得到的功率譜密度及相對帶外功率歸一化帶寬占比關系如圖9所示。

(a)功率譜密度

(b)功率百分數帶寬圖9 不同關聯長度CPM-PSWF信號PSD與功率百分數占用帶寬

由圖9可知，當基帶調頻PSWF信號關聯長度分別選為L=1(全響應)、L=3(部分響應)、L=5(部分響應)時，CPM-PSWF調制信號占99.9%功率歸一化帶寬大小分別為2.43、1.16、0.94。隨著關聯長度L的增大，“相關編碼”效果越明顯，CPM-PSWF調制信號頻譜主瓣寬度越小，帶外輻射更小。可以增大關聯長度L來減小信號占用帶寬，但是L的增大一方面會用信噪比作為代價來換取較好的頻譜特性，另一方面也會增加接收端解調的復雜度。

3.6 進制數

選取CPM-PSWF信號的調制參數為PSWF的時間帶寬積c=2 Hz·s，調制指數h=0.5，基帶調頻脈沖PSWF信號關聯長度L=1(全響應條件)，比特傳輸速率為50 b/s，分別取進制數M為2、4、8，數值計算得到功率譜密度和不同功率百分數占用歸一化帶寬曲線如圖10所示。

(a)功率譜密度

(b)功率百分數帶寬圖10 不同進制數CPM-PSWF信號PSD與功率百分數占用帶寬

由圖10可知，當選取進制數M分別為2、4、8時，CPM-PSWF調制信號的占總功率99.9%功率歸一化雙邊帶寬分別為2.43、3.82、6.86。隨著進制數M的增大，功率譜密度的帶外輻射減小，但是占用帶寬增加。對帶外功率抑制要求較高時，可以考慮增加進制數，但是M的增大會增加接收端檢測的復雜度。

3.7 碼元速率

選取CPM-PSWF信號的調制參數為PSWF的時間帶寬積c=2 Hz·s，調制指數h=0.5，基帶調頻脈沖PSWF信號關聯長度L=1(全響應條件)，比特傳輸速率為8 kb/s、16 kb/s、32 kb/s，進制數M=2，數值計算得到功率譜密度和不同功率百分數占用帶寬如圖11所示。

(a)功率譜密度

(b)功率百分數帶寬圖11 不同碼元速率CPM-PSWF信號PSD與功率百分數占用帶寬

由圖11可知，當碼元傳輸速率分別為8 kb/s、16 kb/s、32 kb/s時，CPM-PSWF調制信號占總功率99.9%雙邊帶寬分別為19.92 kHz、39.84 kHz、79.64 kHz。從數值分析可得，碼元速率以相應倍數增加，其調制信號帶寬近乎以相同倍數增加，但其功率譜密度呈現帶外衰減減慢的趨勢。也就是說，碼元速率的改變會影響CPM-PSWF調制信號占用帶寬大小，但對系統頻帶利用率不產生影響。

綜上所述，不同參數對CPM-PSWF調制信號頻譜的性能影響不同，當數據傳輸速率一定時，選用0階PSWF作為CPM-PSWF信號的基帶調頻脈沖，通過減小PSWF的時間帶寬積c、調制指數h、進制數M，增加關聯長度L，可以獲得更好的CPM-PSWF調制信號頻譜性能和頻帶利用率。PSWF的時間帶寬積c越小，CPM-PSWF信號功率譜密度帶外衰減越快；調制指數h越小，關聯長度L越大，CPM-PSWF信號占用帶寬越小；進制數M越小，CPM-PSWF信號的復雜度就越低。但是調制指數h的減小會影響CPM-PSWF系統接收端的解調性能，而且隨著關聯長度L的變大，會增加接收端解調的復雜度。所以，PSWF信號在實際工程應用中，應根據不同場景應用需求和指標綜合考量、選擇調制參數。

4 結束語

本文給出了一種基于橢圓球面波信號的連續相位調制方法，分析了優化調制參數對CPM-PSWF調制信號性能的影響。在相同參數條件下，以具有最佳時頻能量聚集性的0階PSWF作為CPM-PSWF的基帶調頻脈沖，調制信號頻譜帶外衰減快，占用帶寬小；PSWF的時間帶寬積和調制指數越小、關聯長度越長，調制信號頻譜性能越好，這也為下一步研究基于PSWF的最優CPM調制解調方法提供了參考依據。在選取最優參數時，還應兼顧系統帶寬、功率譜和系統誤碼性能、調制解調實現復雜度等因素權衡考慮，以滿足實際不同應用場景需求，為CPM-PSWF信號推向實際應用提供參考。