改進的A-FAP圖像去噪算法

劉巍巍，李海新

(沈陽工業大學 機械工程學院，遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

在處理材料圖像時[1]，國內外學者提出幾種典型的去噪算法，如文獻[2]中的巴特沃斯高通濾波去噪，文獻[3]中的維納濾波去噪，文獻[4]中的多方向的加權均值濾波去噪以及文獻[5]小波變換的圖像去噪研究等，以上算法對圖像進行了不同程度的去噪，但是這些去噪算法的掩模模板均為整數階積分，在去噪的同時造成了圖像邊緣和紋理細節的缺失。

近年來，分數階微積分在圖像去噪上成為一個新的研究熱點[6,7]。文獻[8,9]采用Grünwald-Letnikov分數階微積分掩模去噪，雖然可以保留部分紋理細節，但是整幅圖像的噪聲點未能精確去除；文獻[10]提出的分數階Alexander多項式去噪算法，能較好保留圖像的紋理信息，但該算法利用自定的微積分階次，在處理不同類型的噪聲時，只能根據同一階次的頻率特性曲線，難以達到優良的去除噪聲效果。

本文提出改進的A-FAP圖像去噪算法，通過分析原始圖像的灰度值，調定去噪的微積分階次，利用構造的自適應分數階Alexander函數(adaptive fractional Alexander polynomials，A-FAP)濾波器對圖像進行去噪，使處理后的圖像具有清晰的視覺效果，對圖像的弱邊緣和紋理細節信息的顯現具有明顯優勢。

1 問題描述及算法流程

材料圖像在傳輸過程中受到信號和設備的干擾，極易產生高斯、椒鹽和乘性噪聲，從而造成圖像失真和模糊，圖像邊緣和紋理細節信息的缺失則會導致色偏現象的出現。本文提出改進的A-FAP去噪算法，通過建立去噪模型，構造A-FAP掩模模板對圖像進行去噪，利用小波反變換對圖像進行重構，得到去噪后的圖像。本文算法的過程如圖1所示。

圖1 A-FAP算法去噪流程

2 去噪模型的建立

2.1 建立二維離散小波變換模型

小波變換在處理大小為M×N的圖像時，通常根據規范正交基函數，將小波級數進行展開，展開為二維尺度空間函數和二維小波空間函數；具體展開形式如下

(1)

(2)

對受到噪聲污染的lean圖像，采用二維離散小波進行二層展開，如圖2所示；其中J2是低頻分量，通過分級濾波和沿橫縱方向的雙重提取獲得；H1、H2、V1、V2和D1、D2表示水平、垂直和對角線上的高頻分量系數。尺度空間函數二層展開k的近似J2是圖像的高尺度、低頻分量，小波空間函數中的i的二級分解為H2、V2、D2、H1、V1和D1是低尺度、高頻分量。因為噪聲屬于高頻信號，通常存在于高頻分量中。

圖2 二維離散小波的二級展開

2.2 建立Alexander分數階微積分(Alexander fractional，AF)模型

2.2.1 Alexander函數

(3)

式中：lm為正整數。

2.2.2 分數階微積分函數

當v>0時，函數s(t)的分數階微積分為

(4)

當0

(5)

3 自適應分數階Alexander濾波器的構造

3.1 Alexander分數階微積分掩模的構造

為保持圖像的邊緣信息，進一步豐富圖像紋理細節，更好抑制噪聲，對式(4)、式(5)進一步推導；α=0時

(6)

(7)

基于Mittag-Leffler函數的定義參見文獻[6]，結合Alexander函數(3)，根據式(6)、式(7)得出分數階微分算子(AFD)和分數階積分算子(AFI)的兩個掩模窗口系數。

分數階微分算子(Alexander fractional differential，AFD)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

分數階積分算子(Alexander fractional integral，AFI)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

圖3 分數階掩模模板

3.2 自適應函數階次的構造

圖像的邊緣和紋理信息主要與圖像結構特征(圖像梯度)、圖像統計信息特征(信息熵)和圖像差異特征(對比度)有關，因此利用以上3個特征構造自適應分數階函數，確定分數階微分階次。

圖像梯度(G)體現了圖像灰度頻率特征，判斷圖像紋理信息是否豐富；圖像在灰度點(x，y)處的梯度是對該圖像離散小波模型的微分，具體表示為：G[f(x，y)]=[?f/?x,?f/?y]；為計算方便，定義梯度模值為

|G|=max{|Gx|,|Gy|}

(20)

信息熵(S)是表征圖像灰度信息量的頻率變化，S較小時，圖像表現為平滑區域，反之，則為邊緣和平滑區域。表達式為

(21)

式中：pij表示為灰度點(x，y)在分量展開區域中出現的概率。

對比度(C)表現圖像灰度差異性的特征，圖像灰度差異性顯示圖像的清晰度、紋理度，即圖像越清晰，紋理細節越明顯，C越大，反之，C越小。其公式為

(22)

式中：σ為圖像灰度值的標準差，u2為圖像灰度的中心距離。

因此，分數階微積分算子根據以上3個特征參數進行自適應的變化，本文對二維離散小波分解后的圖像進行去噪，高噪聲密度區域主要集中在高頻區域；因微分階次隨G、S、C的增加而增加，所以本文利用指數函數的性質，構造階數v與f(G,S,C)之間的函數關系。

即

v=ef(|G|,S,C)-b

(23)

為突出掩模中心點的紋理細節，增設一個平衡系數β，式中，f(|G|,S,C)=lG+mS+nC+β，表示對梯度、信息熵和對比度的加權求和。其中l+m+n+β=1，l,m,n分別表示為梯度加權系數、信息熵加權系數和對比度加權系數。

對于分數階階次函數v=ef(|G|,S,C)-b，設：φ=f(|G|,S,C)，即v=eφ-b,φ∈[0,1]；對分數階次函數進行求導，v′=eφ>0，函數在區間[0,1]內>0，函數為增函數，即vmin=1-b,vmax=e-b。

為保證v∈[0,1]，b的取值范圍為[1,e-1]，保持去噪效果的穩定性，本實驗b取中間值1.35。

4 仿真實驗及結果分析

4.1 仿真實驗

為驗證本文算法的去噪性能，選取標準庫中受到高斯、椒鹽和乘性噪聲污染的256×256的原始lena圖像，在操作系統為Windows7，處理器為inter-COREi3-3217 CPU，內核為1.80 GHz，RAM2.00的條件下，通過軟件MATLAB 2013a進行去噪處理。仿真實驗的具體分析過程如下：

(1)對受到噪聲污染的圖像進行二層級數展開，得到高、低頻分量系數；

(2)對低頻分量系數采用AFD模板進行處理，最大限度保留低頻圖像的邊緣和紋理信息；

(3)對高頻分量系數(水平、垂直、對角)運用構造的分數階函數自適應確定去噪階次，采用AFD和AFI掩模模板相結合的方案進行處理，即可以顯現高頻圖像的邊緣和紋理信息，又可以最大程度抑制噪聲；

(4)對處理后的分量系數進行重構，得到去噪后的圖像。

4.2 結果分析

對處理后的lena圖像，采用PSNR和SSIM對算法進行性能評價。其定義參見文獻[12]

(24)

(25)

式中：Ii,j是像素點為256×256的原始lena圖像，Ki,j為去噪后的圖像，u1,u2分別為Ii,j,Ki,j的均值，σ1,σ2分別表示Ii,j,Ki,j的方差，σ1,2表示Ii,j,Ki,j的協方差，為保持系統的穩定性，引入定量常數c1=0.01,c2=0.02；其PSNR越高，SSIM越大，表示圖像的去噪效果越好。

采用3組實驗驗證本算法的去噪效果，分別利用巴特去噪、維納去噪、均值去噪、小波去噪、分數階積分去噪和A-FAP圖像去噪算法對高斯噪聲、椒鹽噪聲、乘性噪聲進行去噪。

第一組(圖4)對加入高斯噪聲(噪聲中有均值u1=u2=0，方差σ1=σ2=0.02，協方差σ1,2=0)的lena圖像進行去噪效果的驗證，并與其它算法進行對照，去噪結果分析如圖4所示。

圖4 不同算法對受到高斯噪聲的處理結果

圖4(a)為初始lena圖像，圖4(b)是加入高斯噪聲的圖像。圖4(c)～圖4(f)是對加入高斯噪聲的圖像，通過傳統方法進行去噪[1-5]，對高斯噪聲的處理有一定的抑制作用，但是易造成lena圖像的面部、頭發和帽檐邊緣部分出現模糊現象。圖4(g)為分數階積分去噪，根據文獻[11]利用梯度檢測噪聲點，運用分數階積分模板進行去噪，圖像的邊緣細節得到了部分顯現，整體的去噪效果有所欠缺，顯現出一種模糊現象。利用本文算法去噪的結果如圖4(h)所示，該算法抑制了大量的噪聲，保留了圖像的邊緣和紋理細節，使lena圖像的面部、頭發和帽檐邊緣部分清晰顯示出來。

此外，從表1中的PSNR值和SSIM值可以得出，本文算法得到的PSNR值和SSIM值高于其它每個算法，相對于其它算法的平均值提高了2.286 dB、0.123，這從客觀說明了本文算法對高斯噪聲去噪效果的良好性。

表1 各算法對高斯噪聲去噪后的PSNR和SSIM

第二組(圖5)對加入椒鹽噪聲(其噪聲概率為0.2，u1=u2=0.01，方差σ1=σ2=0.03，協方差σ1,2=0.01)的lena圖像進行去噪效果的驗證，并與不同算法進行對比，去噪結果分析如圖5所示。

圖5 不同算法對受到椒鹽噪聲的處理結果

圖5(a)為原始圖像，圖5(b)是被椒鹽噪聲污染的lena圖像。圖5(c)～圖5(f)為傳統去噪算法，其中巴特去噪[2]和維納去噪[3]對噪聲的抑制能力較弱，均值去噪[4]和小波去噪[5]對椒鹽噪聲有一定的抑制作用，但是整幅圖像的邊緣和紋理細節較為模糊。圖5(g)為分數階積分去噪[12](階次為v=0.52)，圖像邊緣和細節信息得到了很好的凸顯，但是由于缺乏梯度的自適應階次判別，其噪聲點未能很好的去除。本文算法的去噪結果如圖5(h)所示，對于圖像的紋理細節有較好的保留，對噪聲造成的模糊邊緣有針對性的去除，從圖像的清晰度和視覺感知上較其它算法有了明顯的改善。

同理，對比表2中的數值可以得出，本文算法得到的PSNR值和SSIM值高于其它每個去噪算法，相對于其它算法的平均值提高了4.707 dB、0.108，這從客觀說明了本文算法對椒鹽噪聲去噪效果的優越性。

表2 各算法對椒鹽噪聲去噪后的PSNR和SSIM

第三組(圖6)對加入乘性噪聲(u1=u2=0，方差σ1=σ2=0.04，協方差σ1,2=0)的lena圖像進行去噪效果的驗證，并與其它算法進行對照，去噪結果分析如圖6所示。

圖6 不同算法對受到乘性噪聲的處理結果

圖6(a)為初始圖像，圖6(b)為加入乘性噪聲的lena圖像。圖6(c)～圖6(f)是采用傳統濾波器進行乘性噪聲去噪的結果圖，其中巴特算法[2]對乘性噪聲抑制作用較弱，維納算法[3]、均值算法[4]和小波算法[5]對乘性噪聲有一定的抑制能力，噪聲得到了很好的去除，但是對于lena圖像面部紋理細節和發絲的邊緣細節未能得到較好的保留，造成局部模糊的現象。圖6(g)是運用分數階積分[13]對乘性噪聲進行去噪的結果圖，由于該算法對乘性噪聲點的去噪能力有限，雖然對于發絲的細節有所保留，但是該圖整體較為模糊。圖6(h)為本文算法去噪，根據圖像的灰度情況，自適應的確定積分階次，抑制了大量的乘性噪聲點，并對圖像面部、發絲的紋理和邊緣細節得到了保留。

通過比對表3中的結果可以得出，本文算法得到的PSNR值和SSIM值高于其它算法，相對于其它算法的平均值提高了2.259 dB、0.070，進一步說明了本文算法對乘性噪聲去噪的性能高于其它算法。

表3 各算法對乘性噪聲去噪后的PSNR和SSIM

5 結束語

本文提出改進的A-FAP圖像去噪算法，通過圖像的梯度、信息熵和對比度的參數變化，判斷去噪的微分階次，配合高低頻二級展開的分量系數，針對性地抑制大量噪聲點，利用構造的AFD、AFI掩模算子，對圖像進行自適應去噪。仿真結果表明，本文提出的算法對比與其它各類型的算法，從視覺感知和性能評價上顯現出本文算法的去噪效果，其抑制噪聲的能力突出，保持圖像紋理細節和邊緣信息上具有優勢，得到的PSNR值和SSIM值高，從而驗證了本文算法在對高斯、椒鹽和乘性噪聲去噪方面的準確性和優越性。