基于2.5維有限元-2.5維瑞利積分薄板聲振性能研究

郎仕偉，鄧鐵松，圣小珍

(1.西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，成都610031；2.上海工程技術大學 城市軌道交通學院，上海201620)

薄板是加筋板、層合板等復雜結構的基本單元，如高速列車組合地板中的外地板結構，在設計選材時，通常會考慮相同質量下隔聲性能更好的材料[1]。因此，對薄板聲振性能的研究有助于進一步了解和掌握各種復雜結構的隔聲機理。

國內外學者針對薄板的隔聲量做了一系列研究，Prasetiyo 和Thompson[2]建立了半無限薄板的聲振解析模型，并調查了不同入射角度對隔聲量的影響。Reynders 等[3]基于有限元-統計能量混合法，建立了空腔-板-空腔結構的薄板隔聲模型，與實測結果的對比表明，其與傳遞矩陣法和波傳播法得到的隔聲量在中頻吻合得更好。王篤勇[4]使用矩形管道模型，利用有限元軟件ANSYS和Virtual.Lab Acoustics計算了無限大單層板和雙層板的隔聲量，并與波傳遞法得到的結果進行了對比。趙志高等[5]利用有限元-邊界元法，分析了薄板聲輻射功率與板厚以及激振力頻率的關系；任亭亭[6]利用均勻分布法和周期結構分析法研究了無限大雙層薄板的聲學特性；霍新祥等[7]利用有限元聲學軟件ACTRAN得到了不同材料屬性、幾何參數及邊界條件下矩形薄板在全頻段的隔聲量；黎勝等[8]還采用有限元-邊界元法研究了平面聲波由空氣經加筋板向水中傳播的特性。以上研究中，薄板為無限或有限結構，只能單一考慮結構的模態特性或波動特性。而組成列車地板、船舶船體、飛機艙體等的薄板單元，縱向尺寸遠大于橫向尺寸，可假設為無限長薄板，為典型的波導結構，在橫向表現出模態特性，同時在縱向表現出波動特性。國內外學者對于這種無限長薄板聲振性能的研究甚少。

2.5 維有限元法和2.5 維瑞利積分(2.5DFE-2.5D Rayleigh’s Integral)就是一種適合波導結構動力學分析的方法，最早用于預測軌道結構的動力學響應[9-10]，只需建立和求解截面的有限元模型，通過波動理論來表征位移場在垂直截面方向的傳播規律，能有效克服傳統有限元、邊界元法在高頻響應分析中的缺陷，提高計算效率。因此，本文基于2.5 維有限元和2.5維瑞利積分建立了無限長薄板聲振模型，研究了結構的頻散特性和隔聲性能，討論了入射角度、阻尼損耗因子和板厚對薄板隔聲性能的影響，對由薄板單元組成的復雜板結構的減振降噪具有一定的理論指導意義。

1 2.5D FE-2.5D Rayleigh’s Integral理論

基于既考慮面內運動又考慮出平面運動的薄板理論和Hamilton 原理可得到2.5 維結構的振動控制方程[11]為

其中：q(x)為結構截面的節點位移列向量，若采用3節點2.5維殼單元，可表示為

其中：ui和υi為節點的面內位移，wi為節點的出平面位移，θi為節點繞x軸的轉動位移，矩陣Kn和M分別為剛度和質量矩陣，且矩陣K4，K2，K0和M為對稱矩陣，K1為反對稱矩陣，F為對應的節點力向量。對式(1)兩邊進行傅里葉變換得到波數域下的控制方程為

當波導結構與流體相互作用時，考慮三個耦合條件：(1)聲壓作用于結構；(2)接觸面上結構的法向速度與流體法向速度相等；(3)將2.5D Rayleigh積分配置節點于接觸面上。結構在力激勵F~和聲壓激勵條件下，通過上述三個條件可得到耦合系統的控制方程：

其 中：K=[(-iκ)4K4+(-iκ)2K2+(-iκ)K1+K0]，ρ0為流體密度；方程(4)對應第一個耦合條件，表示接觸面上的聲壓作用于2.5維結構上的等效節點力；方程式(5)對應第三個耦合條件，和分別為邊界節點的速度勢向量和法向速度向量，n為邊界的法向量，H和G是由2.5D Rayleigh積分配置節點時產生的矩陣為入射聲壓；方程式(6)對應第二個耦合條件，I為單位矩陣，C2為將有限元節點位移轉換為邊界節點位移的矩陣。

2 驗證

本節中，以一塊寬1 m、厚6 mm 的無限長薄板結合文獻[2]的解析方法，就結構的頻散曲線和隔聲量驗證了2.5DFE-2.5D Rayleigh’s Integral 的準確性。該薄板如圖1所示，通過約束兩端節點的平動位移實現簡支約束，材料屬性如表1所示。

2.1 頻散曲線的驗證

圖1 無限長薄板的示意圖

表1 薄板的材料屬性

其中：ω為頻率，κ為無限長方向波數。式(7)可通過給定頻率ω得到特征波數κ或給定波數κ得到特征頻率ω，從而得到薄板的頻散曲線，如圖2所示。并與文獻[2]中的解析解進行了對比。

圖2 無限長薄板的頻散曲線

圖2中波數為零時所對應的頻率稱為薄板結構的cut-on 頻率（即二維截面平面應變問題的固有頻率），具體值見表2。由表可知，2.5DFE 比文獻[2]多出兩階cut-on頻率，正好是薄板的前2階面內波對應的cut-on頻率。

2.2 隔聲量的驗證

平面聲波斜入射至無限長薄板，入射角度按球坐標系定義，如圖3所示，其中，夾角α和γ分別為方位角和仰角。

圖3 平面入射波在坐標系中表示

在入射聲波激勵下，薄板的隔聲量定義為

其中：τ是聲功率透射系數，表示為

其中：Wtrans和Winc分別為無限長薄板單位長度透射聲功率和入射聲功率。入射聲功率可表示為

其中：θ為入射平面波矢量在薄板上投影與波矢量的夾角，可由入射角α和γ表示。透射聲功率可表示為

為排除單元尺寸對隔聲量的影響，確保模型驗證的準確性，首先討論了單元大小對薄板隔聲的影響，如圖4所示（聲波以γ=90°、α=45°斜入射）。從圖4可看出，在10 000 Hz以下，當在薄板1 m寬度內單元數大于30 時，其隔聲量收斂；其它角度入射條件下，單元尺寸對隔聲量的影響規律與該斜入射情況保持一致，不再贅述。因此，為提高計算效率，在后續的驗證和計算中，薄板均按此單元大小進行網格劃分。

聲波以γ=90°、α=90°（即垂直薄板入射）斜入射時，本文隔聲數值仿真結果與文獻[2]的對比如圖5所示。由圖5可知，二者計算結果吻合很好；隔聲低谷頻率對應于無限長薄板的cut-on 頻率（見表2），即圖2中各出平面彎曲波頻散曲線與y軸的交點頻率。其它角度入射條件下，驗證結果與該入射角度情況保持一致，不再贅述。

表2 2.5DFE和文獻[2]的cut-on頻率對比/Hz

圖4 當γ=90°，α=45°時，單元尺寸對隔聲量的影響

圖5 當γ=90°、α=90°時，2.5DFE-2.5D Rayleigh’s Integral隔聲仿真結果與文獻[2]的對比

因此，結合頻散特性和隔聲的驗證結果可知，本文建立的2.5DFE-2.5D Rayleigh’s Integral 模型是準確有效的，可用于無限長薄板甚至復雜波導結構的聲振特性研究和減振降噪設計。

3 無限長薄板的聲振性能

本節基于前面建立的2.5DFE-2.5D Rayleigh’s Integral 模型進一步研究前述無限長薄板的頻散特性及波動特征，討論平面聲波入射角度、阻尼損耗因子和板厚對其隔聲性能的影響。

3.1 頻散特性及波動特征

無限長薄板的頻散曲線如圖2所示。每條頻散曲線代表一種特征波在結構中傳播。紅色頻散曲線代表出平面的彎曲波，在薄板橫向表現出彎曲模態特征。例如，圖6列出了圖2中前3條紅色頻散曲線對應彎曲波的截面變形情況。

由于2.5DFE-2.5D Rayleigh’s Integral 模型中考慮了薄板的面內運動，其得到的頻散曲線包括結構的面內波。例如，圖2中紅點1和藍點2所在兩條頻散曲線代表薄板的面內波，其波動俯視圖和截面變形如圖7所示。由圖7可知，面內波不發生面外位移，面內兩方向位移耦合形成在無限長方向上傳播的前2階壓縮波。

圖6 前3階彎曲波截面變形

3.2 入射角度的影響

以下研究聲波分別沿無限長方向（α=90°）和沿橫向（γ=90°）斜入射時，另一入射角對無限長薄板隔聲量的影響，分別如圖8和9 所示。由圖8可知，最后一個較大隔聲低谷頻率為吻合頻率，為入射聲波頻散平面內投影與平板第1階彎曲波在高頻處的交點頻率，例如，當聲波以α=90°、γ=20°入射時，圖8和圖9中圓圈標記處對應的頻率；當入射角度γ增加時，吻合頻率向高頻移動，且吻合頻率以下頻帶隔聲量變大；除隔聲吻合低谷頻率外，其它隔聲低谷頻率對應薄板奇數階彎曲波頻散曲線與聲波頻散曲線平面投影的交點頻率，例如，當聲波以α=90°、γ=20°入射時，圖8和圖9中叉標記處對應的頻率。這是因為，偶數階彎曲波截面振型為反對稱，其輻射聲場在遠場點處的聲壓趨于零。

由圖10可知，當聲波沿橫向斜入射時，隔聲曲線走勢與聲波沿無限長方向斜入射時相似，但曲線呈現更多峰值。這是因為，當聲波沿橫向斜入射時，整個耦合系統轉化為二維平面問題，結構橫向模態更容易被激發，隔聲低谷頻率對應圖9中的cut-on頻率。

3.3 阻尼損耗因子的影響

提高結構阻尼能有效抑制結構的振動，從而影響結構的振動聲輻射和隔聲規律，其對單一入射角度下和混響場隔聲量的影響如圖11所示。混響場隔聲量定義為

圖7 面內波的波形

圖8 當α=90°時，入射角度γ對隔聲量的影響

圖9 當α=90°、γ=20°時，聲波頻散面內投影與薄板

圖10 當γ=90°時，入射角度α對隔聲量的影響

其中：τd為混響場聲功率透射系數，定義為

其中：θlim為積分下界角，取值依入射情況而定。本文計算時θlim取值為0°，積分取為2°。

由圖11可知，隔聲低谷附近的隔聲性能受阻尼損耗因子的影響較大，隨阻尼損耗因子的增加，隔聲低谷周圍的隔聲量逐漸提高；此外，在混響場情況下，當頻率高于臨界頻率（混響場隔聲量最后一個明顯低谷頻率，即圖中圓圈標記處）時，增加阻尼能大大改善結構的隔聲量，其原因是把不同入射角的低谷都提高了。

3.4 板厚的影響

增加板厚既能增加板的質量，又能提高板的剛度，必將影響無限長薄板的隔聲量。圖12為薄板厚度由3 mm增加至9 mm，其對γ=90°、α=45°斜入射條件下和混響場隔聲量的影響情況。由圖12可知，薄板厚度對隔聲曲線的剛度控制區、質量控制區及吻合頻率之后區域均存在很大的影響。在剛度控制區，由于彎曲剛度隨板厚增加而變大，隔聲量相應提高；在質量控制區，由隔聲的質量定律可知，當板厚或面密度加倍時，隔聲量提高約6 dB；在高于吻合頻率或臨界頻率的區域，隔聲量隨板厚增加而增加；由于薄板整體剛度隨板厚增加而變大，導致隔聲曲線“聲學短路”區域（第1 階低谷與吻合頻率或臨界頻率之間的頻帶）縮小，圖中圓圈標記處為吻合頻率。

4 結語

本文基于2.5 維有限元法和2.5 維瑞利積分(2.5DFE-2.5D Rayleigh’s Integral)建立了無限長薄板聲振模型，研究了薄板的頻散特性及波動特征，同時，討論了入射角度、阻尼損耗因子和板厚對隔聲性能的影響，主要結論如下：

圖11 阻尼損耗因子對隔聲量的影響

圖12 板厚對隔聲量的影響

(1)無限長薄板在有限尺寸方向表現出模態特性，在無限長方向表現出波動特性，特征波包括面內壓縮波和以橫截面彎曲振型波動的彎曲波；

(2)隨入射角度的增加，無限長薄板隔聲吻合頻率向高頻移動，且吻合頻率以下頻帶隔聲量變大；

(3)增加薄板的阻尼損耗因子有助于提高隔聲低谷附近頻帶及吻合頻率之后頻帶的隔聲量；

(4)增加板厚能有效提高無限長薄板在整個頻段的隔聲性能，隔聲“聲學短路”區域隨板厚增加而縮小。

(5)該方法適用于復雜的無限長波導結構，在高頻聲振研究中，較傳統有限元-邊界元法計算的效率更高，具有廣泛的應用前景。