基于DIC實(shí)驗(yàn)的空間域信號(hào)去噪方法研究

朱海華，孟 帆，宋漢文

（同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海200092）

數(shù)字圖像相關(guān)方法（Digital image correlation，DIC）作為一種視覺測(cè)量技術(shù)，通過相機(jī)系統(tǒng)采集物體在運(yùn)動(dòng)過程的圖像，以結(jié)構(gòu)表面預(yù)處理的散斑為信息載體，通過圖像相關(guān)計(jì)算以及立體匹配，從圖像坐標(biāo)重構(gòu)得到物理點(diǎn)的世界坐標(biāo)。DIC相對(duì)于傳統(tǒng)接觸式測(cè)量方法而言，無需布置傳感器，不會(huì)引入附加質(zhì)量及剛度效應(yīng)，且可實(shí)現(xiàn)全場(chǎng)同步測(cè)量。Phillip L 等[1]對(duì)比了基于DIC 方法及激光多普勒測(cè)量?jī)x所辨識(shí)得到的模態(tài)參數(shù)，驗(yàn)證了DIC 方法在振動(dòng)測(cè)試中的有效性及優(yōu)越性。因DIC 具有非接觸式、高空間分辨率測(cè)量的優(yōu)勢(shì)，國內(nèi)外已有一定量的研究將其應(yīng)用到動(dòng)力學(xué)相關(guān)領(lǐng)域[2-5]。

自然環(huán)境激勵(lì)技術(shù)（Natural excitation technique，NExT）于1992年被美國SADIA 國家實(shí)驗(yàn)室的James等[6]提出，指出白噪聲激勵(lì)下系統(tǒng)位移響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)在表達(dá)上具有相似形式，皆為系列衰減諧波的疊加，包含了相同的模態(tài)頻率、阻尼比及振型。因此可以利用相關(guān)函數(shù)代替脈沖響應(yīng)函數(shù)代入到經(jīng)典的時(shí)域辨識(shí)算法中，進(jìn)行環(huán)境激勵(lì)下的模態(tài)分析。目前，對(duì)于工況模態(tài)分析已有大量的相關(guān)理論及應(yīng)用研究[7-8]。

DIC 在振動(dòng)測(cè)試的應(yīng)用中，通常相機(jī)系統(tǒng)與激勵(lì)系統(tǒng)是獨(dú)立的，二者之間非同時(shí)觸發(fā)，激勵(lì)信號(hào)與圖像采樣頻率亦不相同，這會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)輸入與響應(yīng)之間并非一一對(duì)應(yīng)。因此，可完全基于DIC 測(cè)量所得響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行工況模態(tài)分析，得到結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。DIC 是對(duì)變形前后的圖像劃分子集進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，輸出結(jié)果為每一幀圖像所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)表面變形場(chǎng)，即全場(chǎng)的面響應(yīng)。而DIC 方法本身受相機(jī)本底噪聲、光照、散斑等方面的影響，其計(jì)算結(jié)果所包含的噪聲不可忽略。因此，需先對(duì)DIC 直接輸出的時(shí)序圖像所對(duì)應(yīng)位移場(chǎng)結(jié)果進(jìn)行空間濾波，以消除空間域噪聲的影響。本文通過DIC獲得薄板結(jié)構(gòu)在白噪聲激勵(lì)下時(shí)序的面響應(yīng)，并通過空間濾波消除二維信號(hào)中的噪聲影響，重構(gòu)位移場(chǎng)信息。再從時(shí)域信號(hào)出發(fā)，從響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)出發(fā)進(jìn)行工況模態(tài)分析，并將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與有限元計(jì)算模態(tài)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

1 復(fù)模態(tài)下的自然激勵(lì)技術(shù)[8]

對(duì)于一個(gè)N 自由度線性定常系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)的微分方程可表示為

其中：[M]、[C]及[K]分別表示系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣以及剛度矩陣；{x(t)}為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；{f(t)}為系統(tǒng)所受強(qiáng)迫激勵(lì)。

假設(shè)系統(tǒng)在k點(diǎn)受到白噪聲激勵(lì)力{fk(t)}，則在第i測(cè)點(diǎn)上的響應(yīng)為[9]

其中：{ψ}r(r=1,2,3,…,N)為系統(tǒng)的第r階模態(tài)振型 ；λr為系統(tǒng)的第r階特征值；diag(a1…ar…aN a*1…a*N)為系統(tǒng)矩陣在2N空間中復(fù)振型加權(quán)正交所得矩陣；*表示共軛運(yùn)算。

則第i,j測(cè)點(diǎn)間響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)Rkij(T)為

若系統(tǒng)在L個(gè)點(diǎn)上分別受到互不相關(guān)的多點(diǎn)白噪聲激勵(lì)，則第i，j測(cè)點(diǎn)間的相關(guān)函數(shù)可寫為

式中：Θjr表示為

其中：αk是和激勵(lì)強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)。

單位脈沖響應(yīng)函數(shù)表達(dá)式為

通過觀察式(4)和式(6)可以發(fā)現(xiàn)，相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式與脈沖響應(yīng)函數(shù)具有相似的表達(dá)形式，均為衰減諧波的疊加，且包含相同的模態(tài)頻率、阻尼比及振型信息，不同之處在于模態(tài)參與因子。因此，可利用響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)代替脈沖響應(yīng)函數(shù)，代入到ERA算法中進(jìn)行模態(tài)參數(shù)辨識(shí)。

2 空間信號(hào)去噪的基本原理

對(duì)于DIC 實(shí)驗(yàn)結(jié)果而言，相機(jī)系統(tǒng)所引入的噪聲不可避免。傳統(tǒng)測(cè)量方式的噪聲是包含在單個(gè)測(cè)點(diǎn)的時(shí)域響應(yīng)信號(hào)內(nèi)，而DIC 的直接輸出結(jié)果是每個(gè)時(shí)刻的位移場(chǎng)，噪聲分布在空間域內(nèi)，如圖1中所示。因此，需對(duì)空間信號(hào)進(jìn)行去噪預(yù)處理，再由時(shí)域信號(hào)出發(fā)進(jìn)行工況模態(tài)分析。

圖1 DIC結(jié)果實(shí)例

本節(jié)通過對(duì)位移場(chǎng)的空間傅里葉變換得到二維信號(hào)的波數(shù)域形式，在波數(shù)域中對(duì)其進(jìn)行低通濾波，以實(shí)現(xiàn)對(duì)位移場(chǎng)的去噪重構(gòu)。由FFT算法可知，圖1中(b)的高頻成分，不僅包含噪聲，同時(shí)又存在因信號(hào)非周期邊界條件的影響所引入的吉伯斯效應(yīng)。本文提出改進(jìn)的傅里葉連續(xù)延拓方法（Fourier extension）[10]，延拓二維信號(hào)并構(gòu)造周期邊界條件，消除了吉伯斯效應(yīng)影響。再通過波數(shù)域的窗函數(shù)實(shí)現(xiàn)空間低通濾波，對(duì)位移場(chǎng)進(jìn)行去噪重構(gòu)。

2.1 傅里葉連續(xù)延拓

對(duì)于空間非周期信號(hào)f()x,y，其分布區(qū)間為J1=[0,ax]×[0,ay]上，現(xiàn)將該非周期信號(hào)進(jìn)行空間域上的延拓使其為周期信號(hào)w()x,y，延拓后的區(qū)間為J2=[0,bx]×[0,by]，其中bx=2ax，by=2ay。將延拓后的周期信號(hào)用傅里葉指數(shù)進(jìn)行擬合，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其中：當(dāng)Mx為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)My為偶數(shù)時(shí)，My為奇數(shù)時(shí)，。而未知系數(shù)Amn可通過原區(qū)間上的已知信號(hào)得到最小二乘意義下的解：

其中：xp,yq分別表示x,y方向上的第p,q個(gè)坐標(biāo)，f(xp,yq)表示區(qū)間J1=[0,ax]×[0,ay]上的原信號(hào)。將式(8)以矩陣形式表示，f(xp,yq)及Amn重構(gòu)為一維向量：

則式(8)表示為求解方程[B]{α}≈{f}在區(qū)間J1=[0,ax]×[0,ay]的解，其中矩陣[B]中的元素為

通過對(duì)矩陣[]B進(jìn)行SVD 分解，則系數(shù)矩陣重構(gòu)后的一維向量的解為

其 中：[V]是MxMy×MxMy的酉矩陣，[S]?是MxMy×axay的對(duì)角矩陣，表示[S]矩陣的偽逆表示[U]矩陣的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。當(dāng)系數(shù)矩陣求得后，利用二維傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行擬合并延拓原信號(hào)至區(qū)間J2=[0,bx]×[0,by]，重構(gòu)后滿足周期邊界條件。

現(xiàn)通過MATLAB 給定一個(gè)理想二維信號(hào)f(x,y)=ex+y進(jìn)行示例，其分布在區(qū)間[0,1]×[0,1]。使用上述傅里葉指數(shù)進(jìn)行擬合并延拓，在x和y上的擬合階數(shù)為Mx=My=25，將信號(hào)延拓至區(qū)間[0,2]×[0,2]。原信號(hào)與延拓后信號(hào)如圖2所示。

2.2 波數(shù)域窗函數(shù)

在消除由于吉伯斯效應(yīng)所引入的高頻影響后，對(duì)位移場(chǎng)中的噪聲進(jìn)行低通濾波。將位移場(chǎng)通過空間傅里葉變換，轉(zhuǎn)換到波數(shù)域，數(shù)學(xué)過程如式(13)所示：

式中：其中?表示空間傅里葉變換算子，kx,ky分別表示在x和y方向上的波數(shù)，W(kx,ky)表示空間域信號(hào)w(x,y)的波數(shù)域表達(dá)。

本文在采用Li等[11]改進(jìn)的波數(shù)域?yàn)V波方法進(jìn)行低通濾波，再逆變換得到重構(gòu)后的位移場(chǎng)，濾波窗函數(shù)表達(dá)式如下：

圖2 延拓信號(hào)示意圖

圖3 空間低通濾波窗函數(shù)

2.3 空間域?yàn)V波信號(hào)的重構(gòu)

上述內(nèi)容闡述了本文對(duì)于空間信號(hào)的延拓方法與波數(shù)域?yàn)V波所涉及到的基本原理。通過對(duì)DIC所測(cè)位移場(chǎng)進(jìn)行二維傅里葉延拓消除吉伯斯效應(yīng)所引入的波數(shù)域高頻影響，再通過波數(shù)域的低通濾波對(duì)位移場(chǎng)進(jìn)行去噪重構(gòu)，結(jié)果如圖4所示。

3 基于數(shù)字圖像相關(guān)的工況模態(tài)分析

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置及流程

實(shí)驗(yàn)對(duì)象選用一塊純鋁薄板，長(zhǎng)440 mm，寬300 mm，厚1 mm，密度為2 700 kg/m3，泊松比為0.3，楊氏模量為70 GPa。實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示。使用兩塊63 mm×40 mm×5 mm 標(biāo)準(zhǔn)角鋼通過螺栓夾持鋁板，再與隔振平臺(tái)相連接，以此構(gòu)成單邊固支的邊界條件。除去夾持段，鋁板實(shí)際尺寸為400 mm×300 mm。本實(shí)驗(yàn)采用激振器作為激勵(lì)方式，通過功率放大器與信號(hào)發(fā)生器相連接，激振器使用彈力繩懸掛于特制金屬框架上。

實(shí)驗(yàn)采用雙目高速相機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行圖像采集，兩臺(tái)相機(jī)通過數(shù)據(jù)傳輸線與工控機(jī)相連接，工控機(jī)負(fù)責(zé)圖像的存儲(chǔ)。雙目相機(jī)通過信號(hào)同步儀實(shí)現(xiàn)同時(shí)觸發(fā)采集，保證兩臺(tái)相機(jī)所采集圖像的同步性。考慮相機(jī)所拍實(shí)際視場(chǎng)以及所關(guān)心鋁板的頻率段，調(diào)整相機(jī)的分辨率以及拍攝幀率。本次實(shí)驗(yàn)采用圖像分辨率為600 pixel×800 pixel，拍攝幀率為450 Frame/s。實(shí)驗(yàn)采用兩臺(tái)1 500 W 攝影燈作為可調(diào)光源。

圖4 空間去噪示意圖

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置圖

實(shí)驗(yàn)前使用Speckle generator 軟件進(jìn)行散斑生成，考慮散斑點(diǎn)大小在圖像中所占大小為3～5個(gè)像素平方，故散斑直徑大小統(tǒng)一為2.5 mm。散斑圖紙生成后，通過纖薄紙張打印再均勻、緊密地粘貼于被測(cè)鋁板表面。

在實(shí)驗(yàn)開始，首先對(duì)雙目相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定獲得相機(jī)內(nèi)外參數(shù)。記錄下試件在靜止?fàn)顟B(tài)下的圖像，作為后期進(jìn)行圖像相關(guān)計(jì)算的參考圖像。實(shí)驗(yàn)采用的輸入信號(hào)為穩(wěn)態(tài)白噪聲，經(jīng)由功率放大器傳遞給激振器。為減少激振器所引入的附加質(zhì)量及剛度效應(yīng)，激勵(lì)點(diǎn)選擇在靠近鋁板夾持處的角點(diǎn)。雙目相機(jī)在同步控制儀的外觸發(fā)下，共采集10 000 幀作為參考圖像，參考點(diǎn)響應(yīng)時(shí)程如圖6所示。

圖6 參考點(diǎn)響應(yīng)

圖像相關(guān)計(jì)算中，所劃分的子集大小為21 pixel×21 pixel，計(jì)算步長(zhǎng)為7 pixel，對(duì)于圖像中的ROI 共劃分為3 975 個(gè)計(jì)算點(diǎn)，其中在x方向上53列，y方向上75 行。選取自由端角點(diǎn)處附近處測(cè)點(diǎn)作為參考點(diǎn)，全場(chǎng)測(cè)點(diǎn)與其計(jì)算互相關(guān)函數(shù)，見圖7，代入ERA算法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)辨識(shí)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)流程如圖8所示。

圖7 互相關(guān)函數(shù)

圖8 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理流程示意圖

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

分別對(duì)DIC直接結(jié)果與經(jīng)過空間去噪的時(shí)序位移場(chǎng)，提取測(cè)點(diǎn)時(shí)域響應(yīng)信號(hào)。通過互相關(guān)函數(shù)代替脈沖響應(yīng)函數(shù)，代入到ERA 算法中，使用模態(tài)置信準(zhǔn)則（MAC）剃除偽模態(tài)之后辨識(shí)得到被測(cè)薄板的前5 階模態(tài)參數(shù)，固有頻率與阻尼比辨識(shí)結(jié)果見表1，振型辨識(shí)結(jié)果如圖9所示。

對(duì)比基于含噪的時(shí)序位移場(chǎng)以及經(jīng)過空間濾波的位移場(chǎng)所辨識(shí)得到的前5 階固有頻率、阻尼比及振型，頻率辨識(shí)結(jié)果在第1 階偏差較大，達(dá)到9.97%。阻尼比受DIC 圖像噪聲影響敏感，最高達(dá)到11.11%。經(jīng)過空間去噪后所辨識(shí)得到的振型更加平滑，符合物理空間的連續(xù)性質(zhì)。

5 有限元計(jì)算

5.1 計(jì)算模態(tài)分析

通過有限元軟件ANSYS模態(tài)分析模塊，進(jìn)行模型的計(jì)算模態(tài)分析。有限元模型選用shell 181 單元，單元橫截面厚度為1mm，楊氏模量為70 Gpa，泊松比為0.3，密度為2 700 kg/m3，單元大小5 mm×5 mm，模型共劃分為4 800 個(gè)單元，如圖10中(a)所示。

圖9 前5階振型

表1 前5階模態(tài)頻率與阻尼比

圖10 有限元計(jì)算振型

單邊固支狀態(tài)。通過Block Lanczos 法得到結(jié)構(gòu)前5階固有頻率見表2，振型如圖10所示。

5.2 對(duì)比分析

通過對(duì)比有限元仿真與基于DIC 實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，前5 階固有頻率吻合良好，誤差小于7.77%。經(jīng)過對(duì)時(shí)序位移場(chǎng)去噪重構(gòu)后提取測(cè)點(diǎn)響應(yīng)，再利用時(shí)域信號(hào)辨識(shí)得到的固有頻率誤差更小，對(duì)于低階模態(tài)表現(xiàn)明顯。通過模態(tài)置信準(zhǔn)則（MAC）判斷有限元計(jì)算所得振型與OMA 辨識(shí)振型的相關(guān)性，MAC值均在90%以上，振型結(jié)果高度吻合。觀察圖11，經(jīng)過空間去噪預(yù)處理所辨識(shí)得到的振型MAC 值普遍高于未經(jīng)空間濾波的，其振型表達(dá)更加連續(xù)平滑。

圖11 MAC值比較

6 結(jié)語

本文基于數(shù)字圖像相關(guān)方法測(cè)量薄板結(jié)構(gòu)振動(dòng)過程的時(shí)序位移場(chǎng)，提取全場(chǎng)的DIC測(cè)點(diǎn)時(shí)域響應(yīng)，通過互相關(guān)函數(shù)代入ERA算法進(jìn)行工況模態(tài)分析，辨識(shí)得到系統(tǒng)前5 階模態(tài)頻率、阻尼比及振型。通過對(duì)比ANSYS仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果，有結(jié)論如下：

(1)改進(jìn)了傅里葉連續(xù)延拓方法使其適用于二維信號(hào)，通過延拓位移場(chǎng)構(gòu)成周期邊界條件，消除空間傅里葉變換中的吉伯斯效應(yīng)。

表2 前5階模態(tài)頻率與阻尼比

(2)引入波數(shù)域窗函數(shù)，聯(lián)合傅里葉連續(xù)延拓方法，對(duì)DIC計(jì)算所得含噪位移場(chǎng)結(jié)果實(shí)現(xiàn)空間濾波；

(3）計(jì)算模態(tài)分析與基于DIC技術(shù)的OMA結(jié)果吻合良好，空間去噪方法提高了辨識(shí)振型的平滑性。