無限大多層層合板隔聲量分析

王鵬偉，孫維光，董仕杰，陳 杰，張立民

（1.西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，成都610031;2.青島四方機車車輛有限公司，山東 青島266111）

多層層合板指由兩層以上的單層板以緊密結合的方式成為整體的結構單元體，可以由不同材質的單層板所組成[1]。一般用于分析由多層介質組成的復雜結構的理論方法有波傳遞法、傳遞矩陣法和阻抗分析法等。Mu等[2]利用波傳遞法計算了多層穿孔結構的聲能透射損耗；黃夢情等[3]將結構彎曲波引入到波傳遞法，分析了帶空腔的雙層板結構；萬翾等[4]在無限大板假設前提下，分析了由各向正交異性材料所構成的多層層合板的傳聲損失；Feng[5]利用傳遞矩陣法和試驗結果比較，將多層結構的聲學特性與各層的反射和透射系數聯系起來；Liu[6]采用傳遞矩陣法，將多孔彈性材料雙層結構的理論模型推廣到三層結構中；Fringuellino 等[7]在不考慮聲波在傳播過程中損耗的前提下，用阻抗分析法分析了三層層合板的隔聲；王佐民等[8]應用阻抗分析法探討了具有確定平面尺寸和邊界條件的雙層板結構的隔聲量。

以上研究大多數局限在由三層不同介質組成的結構，對于三層以上的結構則研究較少。本文將在單層薄板隔聲量計算理論的基礎上，通過引入經典層合板彎曲剛度計算公式，提出“等效薄板法”，將單層薄板計算公式推廣到多層層合板結構，可用來分析任意多層且總厚度較薄的多層層合板結構的隔聲性能。

1 單層薄板隔聲量計算

1.1 整體振動的單層均勻柔性薄板隔聲量計算

柔性薄板是指厚度很小以至于前后表面介質的法向速度相同的薄板，如圖1所示，其中pi代表入射波，pt代表透射波。

圖1 整體振動的單層薄板聲透射示意圖

聲阻抗率是聲場中某位置的聲壓與該位置的質點速度之比。設聲波入射角為θ，薄板的聲阻抗率為Zsm，薄板兩側介質特性阻抗為ρc，其中ρ 和c 分別為介質的密度和聲速，介質的聲阻抗率則為Zs=ρc/cosθ，此時在入射界面處的聲壓反射因數為[9]

設薄板質點法向振動速度為vm，兩側聲壓分別為pf和pb，兩側介質質點法向振動速度分別為vf和vb，則有：

根據聲阻抗率的定義，引入等效局部法向聲阻抗率的概念：等效局部法向聲阻抗率是聲場中某點的聲壓與質點法向速度的比值，在聲場中多層介質的界面連續并與入射角有關。設Zf和Zb分別為薄板前后表面的等效局部法向聲阻抗率，在薄板前表面即聲波入射端處，因為同時存在入射波和反射波，故Zf不等于入射波的法向聲阻抗率；而在薄板后面因為僅有透射波，所以Zb=Zs。結合式（2）與式（3），得：

繼而可得：

結合式（1）可得在入射界處的等效聲壓反射因數為

將式（4）和式（6）代入式（5），并利用Zb=Zs，得：

利用式(7)得到薄板前界面介質中質點速度為

薄板以及前后分界面介質中質點速度為

由式（8）和式（9）得聲壓透射因數為

板的隔聲量計算公式為

將式（10）代入式（11），得：

根據牛頓第二定律可知：

式(14)中：m為薄板面密度。將v=vaejωt代入上式，并聯合式（2）可得薄板的聲阻抗率為

將式（15）代入式（13）得：

1.2 彎曲振動的單層均勻薄板的隔聲量計算

在聲波斜入射到薄板結構的情況下，除了產生縱波之外，還會產生使薄板進行彎曲振動的橫波，也叫彎曲波。如圖2所示。彎曲波是剪切波和縱波的組合，對于各向同性板，在角頻率為ω 的聲波激勵下，彎曲波的傳播速度cB為[10]

圖2 彎曲振動的單層薄板聲透射示意圖

式(17)中：B為彎曲剛度，由下式給出：

其中：m為薄板面密度，h為厚度，E為楊氏模量、σ為泊松比。

由式（17）可知，彎曲波的傳播速度隨著聲波頻率的增加而增加，因此必然會存在一個臨界頻率fc，使得彎曲波傳播速度等于聲波在介質中的傳播速度。臨界頻率也叫吻合頻率，單位為Hz，由下式給出：

彎曲振動的單層均勻薄板聲阻抗率Zsm與cB有關，可寫成[9]：

聯立式（17）、式（19）和式（20），并考慮到彎曲振動存在能量損耗，得到無限大且包含損耗的單板的聲阻抗率為

式(21)中：f為聲波頻率，單位為Hz，η為板的能量損耗因子，與材料和單板的邊界條件有關，一般取值范圍在0.01～0.001 之間。將式（21）代入式（13）即可求得在入射角為θ時隔聲量。考慮實際情況下聲波入射角度為0°～78°，因此通過對入射角加權平均得混響聲場中單板隔聲量為：

2 等效薄板法

根據上述分析可知，彎曲剛度是計算薄板隔聲量的關鍵因素。當層合板的彈性特性與單層薄板相近且面積足夠大以致于可以忽略板的邊界效應時，可將層合板等效為一個單層均勻薄板，通過引入由經典層合板理論所得出的彎曲剛度計算公式，繼而計算出層合板的隔聲量。

建立經典層合板理論有四點假設前提[1]：

（1）層合板各單層板之間粘結牢固且有共同的變形，不產生滑移；

（2）各層單板可近似認為處于平面應力狀態；

（3）層合板變形前垂直于中面的直線段在變形后仍為垂直于中面的直線段，且長度不變；

（4）平行于中面的各截面上正應力可以忽略不計。

在以上假設前提下，設（x，y）面在層合板中線處，如圖3所示，則層合板的彎曲剛度計算公式為

圖3 多層層合板彎曲剛度示意圖

式(23)中：Ek為第k層板的楊氏模量，σk為第k層板的泊松比，lk為第k層板的厚度，zk為第k層板中線到（x，y）面的坐標。

聯立式（12）、式（19）、式（21）、式（22）和式（23）即可求得擴散聲場中多層層合板的隔聲量：

3 多層層合板隔聲量對比

分別對由不同材料組成的三層、四層和五層層合板隔聲量做計算，并與統計能量法（SEA）計算結果進行比較，論證等效薄板法的可行性。統計能量法是目前預測聲振系統的主要方法之一，適用于分析50 Hz 以上頻率范圍的聲學系統特性[11]。考慮到等效薄板法的前提是無限大板假設，且增大SEA模型的面積可以提高隔聲量預測準確度，因此通過多次模型論證，得知SEA 模型采用5 m×5 m 的規格即可，其隔聲量預測模型如圖4所示。

多層層合板材料特性參數見表1。

表1 材料特性參數

圖4 統計能量法仿真示意圖

多層層合板的隔聲量計算結果對比如圖5至圖7所示。

圖5 三層層合板隔聲量對比（1 mm鋁板+1 mm軟木+1 mm鋁板）

圖6 四層層合板隔聲量對比（1 mm鋁板+1 mm軟木+1 mm硬橡膠+1 mm鋁板）

圖7 五層層合板隔聲量對比（1 mm鋁板+1 mm膠合板+1 mm硬橡膠+1 mm軟木+1 mm鋁板）

由圖5至圖7可以看出，對于三層、四層和五層層合板，當層合板的厚度較小且結構相同時，由等效薄板法得出的結果與SEA 法所得出的結果在進入吻合效應區前的頻率范圍內基本相同，并且增長率約為6 dB/倍頻程，符合板結構在質量控制區內的隔聲量增長特性，但在進入吻合效應區后兩種方法的結果具有較大誤差，因此可以判斷，等效薄板法可以用來預測多層層合板在質量控制區內的隔聲量；等效薄板法所預測的吻合頻率與SEA 仿真結果相比誤差較小，誤差在1/3個倍頻程范圍內。

4 結語

本文針對多層層合板的隔聲量，在無限大板的假設前提下，通過引入多層層合板彎曲剛度計算公式，提出了用于計算多層層合板隔聲量的等效薄板法，通過與統計能量法仿真結果相比較，證明等效薄板法在質量控制區范圍內的隔聲量預測較為準確，且對吻合頻率的預測誤差較小，可以作為研究多層層合板隔聲性能的方法。