一種面向民航的北斗衛(wèi)星軌跡定位擬合方法

羅銀輝，鄭迦馨

（中國民用航空飛行學院計算機學院，廣漢 618307）

0 引言

廣播式自動相關(guān)監(jiān)視（automatic dependent surveillance-broadcast，ADS-B）系統(tǒng)是國外的設備，系統(tǒng)的衛(wèi)星信號源來自美國的GPS，一旦出現(xiàn)GPS信號精度降低甚至不可用的情況，民航飛行、訓練保障等方面就會受到很大影響，探索研究將部分航空器的ADS-B機載設備的GPS信號源改成北斗信號源，并在實際運行中檢驗北斗系統(tǒng)的運行精度、可用性、完好性和連續(xù)性。事實證明，基于北斗的ADS-B其導航經(jīng)度可用性、完好性和連續(xù)性并不比GPS差。衛(wèi)星定位［1］是ADS-B技術(shù)的兩大核心之一，因此，通過衛(wèi)星軌跡確定的北斗信號源十分重要。當前，常用的獲取軌道位置的方法是通過對精密星歷進行多種插值法，包括拉格朗日、牛頓、三角多項式插值方法［2-4］，但是精密星歷難以獲取，且主要用于事后處理；對于廣播星歷的插值，沙海等人［5］使用Powell法對衛(wèi)星軌跡進行擬合，但僅針對2小時之內(nèi)的數(shù)據(jù)，時間范圍過短；F Cao等人［6］通過構(gòu)造一個等于脈沖力的恒定力來建立持續(xù)增加的加速度來對GEO衛(wèi)星進行軌道擬合，但是結(jié)果表明操縱前的觀測結(jié)果確實會影響軌道確定和預測，且精度為米級，不夠精確。本文針對上述方法的缺點，提出基于最小二乘法［7］原理對三種衛(wèi)星分別進行長時間的軌跡擬合，并就擬合值再與真實數(shù)值進行比較，驗證方法的有效性。

1 北斗衛(wèi)星廣播星歷及衛(wèi)星位置計算

1.1 北斗衛(wèi)星廣播星歷

北斗衛(wèi)星系統(tǒng)采用類GPS開普勒根數(shù)的廣播星歷，具有計算簡單、外推能力強和高精度的特點，具體參數(shù)包含歷元時的開普勒根數(shù)I、ω、M0、Ω），長期項改正參數(shù)（Δn、i0、Ω?e）以及（Cuc、Crs、Cis、Crc、Cic、Cuc）短周期改正項振幅3種不同類型的參數(shù)項［8］。

在GNSS領(lǐng)域中普遍采用與接收機獨立交換 格 式（receiver independent exchange format，RINEX）［9］進行數(shù)據(jù)交換。RINEX格式例子解析如圖1所示，第一行“3.03”表示版本號，“N”表示廣播星歷，第二行表示創(chuàng)建此文件的程序和機構(gòu)“IONOSPHERIC CORR”表示的是電離層的校正參數(shù)，“END OF HEADER”表示表頭結(jié)束。之后的每八行記錄對應衛(wèi)星在特定歷元下的廣播星歷參數(shù)。各個參數(shù)所在位置以及所代表的含義如表1所示。

圖1 BDS導航信息文件

表1 BDS衛(wèi)星星歷各個參數(shù)所在位置以及所代表的的含義

續(xù)表1

1.2 衛(wèi)星在歷元t時的位置計算

由于ADS-B主要的位置數(shù)據(jù)信息來源于北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)（beidou navigation satellite system，BDS）［10］，因 此 BDS 提 供 的 定 位 信 息 精 確 度 與ADS-B的運行能力息息相關(guān)。此時衛(wèi)星的位置計算就顯得尤為重要。在通常情況下，衛(wèi)星的位置數(shù)據(jù)是根據(jù)接收機接收到的衛(wèi)星導航電文中的廣播星歷參數(shù)按照直接法由固定的公式來計算，具體步驟如下：

計算衛(wèi)星運行時的平均角速度：

其中，μ為地球的引力常數(shù)。

計算緯度幅角、徑向、軌道傾角攝動改正項：

計算IGSO衛(wèi)星、MEO衛(wèi)星在ECEF坐標系下的升交點經(jīng)度：

需要注意的是tk應為兩個時間歷元之間的實際的全部時間差，必須對星期交接時的起始和結(jié)束進行考慮，也就是說如果大于（或小于）302400 s，則要相應的減去（或加上）604800 s。衛(wèi)星鐘差［11］可由下式計算（用表示衛(wèi)星的編號）：

式中，時間變量的單位是s，計算的鐘差單位為10-6s。

2 北斗衛(wèi)星廣播星歷擬合

為解決直接法過程繁瑣、效率低的問題，本文以時間為自變量，采用最小二乘法對廣播星歷進行擬合，這樣當接收機接收到新的參數(shù)時可以直接帶入最小二乘法進行計算。

使用x構(gòu)造具有n+1列和以的長度為行數(shù)的Vandermonde矩陣［12］并生成線性方程組。

推導過程：

也就是說X*A=Y，那么A=(X′*X)-1*X′Y，得系數(shù)矩陣A。由于Vandermonde矩陣中的列是向量x的冪，因此條件數(shù)X對于高階擬合來說通常較大，生成一個奇異系數(shù)矩陣。若處于這些情況下，中心化和縮放可改善系統(tǒng)的數(shù)值屬性使得擬合更加可靠。

3 仿真實驗及結(jié)果分析

3.1 實驗數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)處理

本文利用中國衛(wèi)星導航系統(tǒng)管理辦公室測試評估中心2021年的廣播星歷（B1I/B3I）數(shù)據(jù)，選取了從2021年1月1日到2021年7月10日的數(shù)據(jù)（共172813條數(shù)據(jù)）。

由于數(shù)據(jù)包含誤差和錯誤信息，需對數(shù)據(jù)進行預處理［13］。首先，判斷缺失數(shù)據(jù)和錯誤數(shù)據(jù)，并進行清洗。然后，判斷格式錯誤數(shù)據(jù)，并進行數(shù)據(jù)校正，形成規(guī)格化數(shù)據(jù)。最后，將數(shù)據(jù)格式轉(zhuǎn)換為特征和索引格式。流程如圖1所示。

圖1 數(shù)據(jù)預處理流程

3.2 軌跡分析

取t為當前歷元的GPS時間，對模型進行仿真實驗，得到每個時刻的衛(wèi)星軌跡坐標的曲線圖，形成衛(wèi)星軌跡圖，可以看到不同類型衛(wèi)星的軌跡大不相同。

（1）以2021年C01號衛(wèi)星為例的GEO衛(wèi)星在地固坐標系下的軌跡如圖2（a）所示。可以看到，GEO衛(wèi)星的軌跡重疊度很高，基本符合隨地球自轉(zhuǎn)而運行的特點。

（2）以2021年C07號衛(wèi)星為例的IGSO衛(wèi)星在地固坐標系下的軌跡如圖2（b）所示。IGSO衛(wèi)星運動軌跡垂直向下在地球表面的投影呈現(xiàn)“8”字形，實驗中發(fā)現(xiàn)衛(wèi)星軌跡呈螺旋上升又螺旋下降的重復運動，符合星下點［14］軌跡。

（3）以2021年C12號衛(wèi)星為例的MEO衛(wèi)星在地固坐標系下的軌跡如圖2（c）所示。MEO衛(wèi)星的運行軌跡垂直向下在地球表面的投影呈現(xiàn)波浪線，實驗中發(fā)現(xiàn)該衛(wèi)星運行中僅保證了x、y方向的坐標運行成圓形，而z方向上呈波浪線形，符合星下點軌跡。

圖2 2021年衛(wèi)星運行軌跡

3.3 擬合分析

取12小時內(nèi)時間間隔為60 min的時間序列t為橫坐標，對模型進行仿真實驗，得到其對應的實際運行曲線和在時由最小二乘法擬合后的曲線如圖3所示，分別用星號、菱形和上三角形表示擬合后的軌跡，用黑色線條表示三條原始曲線，可以看出曲線基本能被擬合，且精度較高。

根據(jù)衛(wèi)星運行軌跡圖可以看出對于GEO衛(wèi)星三個方向上的位置變動較大，而對于MEO和IGSO衛(wèi)星，相比較于x、y方向的坐標變化，z方向上的變化可以忽略不計。因此在圖3（b）～（c）中z方向上的曲線相比于x、y方向幾乎呈直線。

圖3 衛(wèi)星軌跡擬合曲線圖（續(xù)）

圖3 衛(wèi)星軌跡擬合曲線

3.4 誤差分析

圖4為BDS各類衛(wèi)星在12小時內(nèi)經(jīng)最小二乘法擬合后得到的每個時刻的曲線擬合位置與實際位置之間的誤差e，在n+1時，可以看到，GEO衛(wèi)星、IGSO衛(wèi)星和MEO衛(wèi)星的擬合精度分別為10-5m、10-6m和10-4m，以星號、加號和直線表示對于x、y、z坐標的誤差值，可以看到誤差呈現(xiàn)出中間較穩(wěn)定兩端誤差更大的情況，而相比較于x和z坐標的變化，y的誤差變化在兩端更大，但這對于精度為米級的廣播星歷來說都可以忽略不計。

圖4 2021年衛(wèi)星坐標誤差

圖4 2021年衛(wèi)星坐標誤差（續(xù)）

4 結(jié)語

本文通過北斗衛(wèi)星廣播星歷計算出衛(wèi)星軌跡并可視化，通過使用最小二乘法對12小時內(nèi)的衛(wèi)星軌跡進行擬合，擬合精度高，對于以米為精度的廣播衛(wèi)星可以忽略不計。本文提出的擬合方法可以實現(xiàn)軌道的實時運算，并且計算簡單，提高了擬合效率，為獲取衛(wèi)星位置信息提供了可靠可行的方法和理論依據(jù)，同時也為ADS-B系統(tǒng)的運行提供了獲取北斗衛(wèi)星信號源的方法。