基于協同優化算法的高速受電弓多學科設計優化

張 靜 程肥肥 宋寶林 劉志剛 張衛華

1. 西南交通大學機械工程學院，成都，610031 2. 西南交通大學國家軌道交通電氣化與自動化工程技術研究中心，成都，611756 3. 西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，成都，610031

0 引言

隨著高速列車運行速度的不斷提高，弓網的垂向振動、縱向沖擊、橫向擺動和耦合振動越來越明顯，弓網的離線也更加頻繁。弓網一旦接觸不良，就會影響弓網受流質量，降低列車的牽引供電性能，在列車高速運行中，如果受電弓結構受損，不僅直接中斷受流，還將引起接觸網系統的破壞[1]。

國內外學者針對受電弓設計及弓網受流特性開展了大量的研究。劉紅嬌等[2]對高速受電弓進行平面化處理，研究了受電弓的運動軌跡；在此基礎上，JIA等[3]以弓頭橫向位移和平衡桿偏轉角為目標，對受電弓的桿長參數進行了優化。張義民等[4]結合受電弓靜態強度分析結果和實驗設計結果，對受電弓進行可靠性分析，結果表明載荷和材料屬性對受電弓的可靠性影響較大。王江文等[5]建立受電弓的多剛體模型，分析了動態載荷對受電弓各部件的影響規律。LEE等[6]采用受電弓的質量塊模型和有限元網模型，對弓網接觸力進行仿真與研究，分析了受電弓動力特性對弓網受流質量的影響。周寧等[7]考慮弓網滑動接觸角的存在，對弓網赫茲接觸模型進行修正，提出一種新的弓網動力學仿真模型。KIM等[8]以接觸力作為評估指標，采用穩健設計和靈敏度分析方法，對受電弓的質量參數進行優化設計。姜靜等[9]考慮受電弓的非線性問題，對弓網耦合模型進行修正，研究了受電弓非線性對弓網動態受流的影響。為提高弓網受流，除了修正受電弓的結構參數，還可采用相應的控制策略，以達到抑制弓網接觸力波動的目的。SANCHEZREBOLLO等[10]采用接觸網有限元模型，提出一種基于Hardware-in-the-Loop (HIL)的控制策略，有效降低了弓網接觸力的波動。為提高控制精度，SONG等[11]采用受電弓多體模型，提出一種新的PD控制器，結果表明，增大比例增益和減小微分參數可得到較為穩定的弓網接觸力。PAPPALARDO等[12]建立受電弓的多體動力學模型，采用非線性控制方法，提高了受電弓的運行精度和弓網受流質量。

上述研究主要針對受電弓的某個因素進行分析，并未探究這些因素之間的內在聯系[13]。由于高速受電弓是一個結構復雜的機械系統，性能受到多個學科的影響，如機構學、靜力學、動力學、控制學等，因此為提高受電弓的工作性能，改善高速弓網受流性能，在設計和優化過程中，不僅需要考慮不同設計因素的影響，還要分析不同因素之間的耦合關系，研究多個學科之間的相互影響，獲得受電弓系統的整體最優解或滿意解，這一設計思想與多學科設計優化(multidisciplinary design optimization，MDO)是一致的。MDO主要針對復雜系統設計的整體過程，集成各學科(子系統)的知識，采用分層或分解等策略組織和管理復雜系統的設計過程，獲得整個系統的最優解和工程滿意解[14]。

本文采用多學科設計思想，建立受電弓系統級優化模型及運動學、靜力學、動力學和控制學4個子系統優化模型；分析影響受電弓性能的主要設計因素和關鍵參數，采用協同優化和遺傳算法求解優化模型，獲得高速受電弓多學科設計整體最優解或者滿意解，并通過有限元分析，驗證受電弓的結構強度和剛度。

1 協同優化方法

協同優化(collaborative optimization，CO)算法是MDO中應用較為廣泛的一種算法，主要設計思想如下[15]：將復雜的工程項目系統設計問題分解為多個子系統級問題，每個子系統獨立完成自身的設計優化，不必考慮其他子系統的設計結果對本系統的影響，子系統間的不相容性和不一致性由頂層系統級協調。該算法具有并行計算降低高階非線性方程組求解難度的特點，算法框架為雙層結構，如圖1所示。

圖1 協同優化算法框架Fig.1 Collaborative optimization algorithm framework

CO算法具體計算流程為：①系統級對設計變量初始化，將初始值分別賦予各子系統級；②各子系統級用相應的優化算法，獲得本學科設計變量的優化值，將優化值傳遞給系統級；③系統級根據系統約束條件消除各子系統級優化解的不相容性；④系統級通過比較本次和上次的優化結果，判斷是否滿足收斂條件，若滿足，迭代結束，獲得最終系統級和子系統級的優化值，反之，轉至步驟②，繼續迭代優化。

2 高速受電弓多學科設計模型

高速受電弓是弓網系統的重要組成部分，機械結構相對復雜，故其工作性能受到多方面因素的影響。若受電弓的工作高度達不到要求，即可認為受電弓的工作性能極差；弓頭滑板作為弓網相互作用的接口，如果弓頭偏轉幅度過大，將直接導致滑板受力不均，加快滑板的磨損速度，降低弓網受流質量和縮短滑板使用壽命；列車運行中，如果受電弓的結構遭到破壞，將直接導致弓網受流中斷，進而影響列車運行的安全性；受電弓的動力學模型作為弓網耦合模型主要部分，直接決定接觸力的變化，進而影響弓網受流質量。采用有效的控制策略可改善弓網受流，提高受電弓工作性能。受電弓幾何結構關系如圖2所示。

圖2 受電弓幾何結構關系Fig.2 Structure relation of the pantograph

根據MDO思想，將受電弓的設計優化問題劃分為運動學、靜力學、動力學和控制學4個學科問題，通過CO算法完成4個學科的設計優化，使受電弓的整體性能達到最優，該設計問題的全局設計變量為

X=(Xs,Xsh,Xcon)

(1)

Xs={x1,x2,…,x11}Xcon={kp,kd}

Xsh={d1,d2,…,d6}

式中，x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8分別為桿AC、CD、BG、BD、DE、GH、EH和AB的長度；x9、x10分別為上臂桿和下臂桿的夾角；x11為桿AB的水平角；d1、d2、…、d6分別為桿AC、BD、CD、DE、GH、DG的外徑；kp、kd分別為增益系數和積分系數。

學科設計變量(局部變量)如下：運動學變量為Xs，靜力學變量為Xs、Xsh，動力學變量為Xs、Xsh，控制學變量為Xcon。

2.1 系統級優化模型

根據協同優化思想，建立受電弓系統級的優化模型為

(2)

2.2 運動學優化模型

根據圖2所示的受電弓結構關系，得到如下運動關系。

(1)E點和H點的坐標分別為

(3)

(4)

式中，lCE為C點與E點的距離。

(2) 弓頭平衡臂偏轉角

(5)

列車運行中，受電弓的工作高度、弓頭偏轉角和橫向位移對受電弓的工作性能影響顯著，而弓頭滑板是否受力均勻對弓網接觸力影響更大，為獲得更加平穩的受流質量，將弓頭平衡臂盡量平動運行作為優化目標，其余作為約束條件，建立優化模型:

(6)

2.3 靜力學優化模型

受電弓是保證列車能夠安全可靠運行的主要部件之一。列車運行過程中，受電弓會受到自身重力Gp、弓網接觸力Fc、運動副間的摩擦阻力FR、空氣動力FA和升弓轉矩M的作用。在滿足強度和剛度的前提下，對受電弓進行輕量化處理，可提高列車的運行速度與弓網受流質量。因此，受電弓的靜力學優化模型為

(7)

2.4 動力學優化模型

弓網關系是影響高速列車運行的核心因素之一?；谑茈姽姆蔷€性模型，采用拉格朗日方程和牛頓第二定律得到受電弓的動力學方程：

(8)

式中，mh、yh分別為弓頭的質量和垂向位移；P1、P2、P3、P4、P5和δ的含義參見文獻[16]。

接觸力是評估弓網受流質量的主要標準，結合受電弓和接觸網的動力學模型[17]，得到接觸力的表達式：

(9)

(10)

式中，yc為接觸點處接觸線的垂向位移；k0為平均剛度系數；αi為剛度變化系數；L1為吊弦間距；L為跨距；v為列車運行速度。

高速列車運行中，弓網動態接觸力曲線愈平穩，表示弓網受流質量愈好，受電弓工作性能越好。根據TB/T3271對接觸力各項指標的要求，列車運行速度超過200 km/h時，接觸力的范圍為0～350 N，接觸力的標準差小于30%的接觸力平均值，平均值小于(0.000 97v2+70)N，因此，受電弓的動力學優化模型可表示為

(11)

2.5 控制學優化建模

受電弓主動控制是抑制弓網耦合振動的有效措施。本文對受電弓的非線性模型進行線性化處理，并將主動控制力u施加在框架位置，如圖3所示，推導出系統動力學方程：

(12)

圖3 弓網等效模型Fig.3 Pantograph-catenary equivalent model

式中，me、Ke、Ce、ye分別為受電弓框架的等效質量、剛度、阻尼與位移；Kh、Ch分別為弓頭的等效剛度和阻尼；F0為靜態抬升力。

采用PD控制策略，設計了一種針對弓網接觸力的最優PD控制器，控制流程如圖4所示，圖中e(t)=Fpt-Fc(t),e(t)為輸出誤差，Fpt為接觸力的期望值，u(t)=kpe(t)+kdde(t)/dt，u(t)為主動控制力。

圖4 PD控制流程Fig.4 PD control flow

以接觸力輸出誤差最小為目標，建立優化模型如下：

(13)

3 高速受電弓多學科協同優化設計

3.1 不同學科設計參數的耦合關系

根據各學科子系統的設計要求以及各變量的歸屬關系，變量Xs是運動學、靜力學和動力學的共享變量，變量Xsh是靜力學和控制學的共享變量，控制變量Xcon獨屬于控制學，確定受電弓設計變量的耦合關系，如圖5所示。

圖5 設計變量耦合關系Fig.5 Coupling relationship of design parameters

3.2 高速受電弓協同優化

因受電弓設計變量之間具有耦合關系，故需對受電弓進行兩次協調計算，根據協同優化計算步驟，受電弓的計算流程如圖6所示。從圖6中可以看出，受電弓的優化過程分為3個階段：首先對受電弓的運動學、動力學和靜力學進行第一次協同優化，若不滿足協同優化的收斂條件則繼續優化迭代，反之，獲得變量Xs的優化值，并傳遞給下一階段優化；對受電弓的靜力學和動力學這兩個學科進行第二次協同優化，若不滿足協同優化的收斂條件則繼續迭代優化，若滿足，獲得變量Xsh的優化值；將變量Xsh和變量Xs的優化結果傳送到受電弓的控制學中，對變量Xcon進行優化迭代，若不滿足收斂條件則繼續迭代，反之得到變量Xcon的優化值，完成對受電弓的設計優化過程，得到受電弓全局設計變量的優化值。

圖6 高速受電弓計算流程Fig.6 Computation flow chart of the high-speed pantograph

3.3 協同優化設計結果

根據圖6所示的受電弓多學科協同優化流程，采用遺傳算法求解各學科優化模型，完成受電弓多學科優化迭代的計算過程。

首先，協調運動學、靜力學與動力學的優化模型，得到變量Xs的尋優過程，如圖7～圖9所示，以及第一次協同優化迭代過程，如圖10所示。

圖7 變量Xs的運動學迭代過程Fig.7 Iterative process of Xs in the kinematics

圖8 變量Xs的靜力學迭代過程Fig.8 Iterative process of Xs in the statics

圖9 變量Xs的動力學迭代過程Fig.9 Iterative process of Xs in the dynamics

圖10 第一次協同優化迭代過程Fig.10 First iterative process of the collaborative objective function

圖7～圖9分別給出了變量Xs在運動學、靜力學和動力學3個學科中的迭代尋優過程和最優結果，對Xs進行尺度變換：

Xs={0.1x1,0.5x2,0.1x3,0.1x4,0.1x5,0.1x6,
x7,0.25x8,0.05x9,10x10,x11}

(14)

圖10給出了運動學、靜力學和動力學23個學科的協同優化過程，可見系統級優化模型的迭代過程滿足收斂條件，說明Xs的優化結果是有效的。

然后，進行靜力學與動力學的協同優化，獲得變量Xsh的尋優過程，如圖11和圖12所示，以及第二次協同迭代過程，如圖13所示。

圖11 變量Xsh的靜力學迭代過程Fig.11 Iterative process of Xsh in the statics

圖12 變量Xsh的動力學迭代過程Fig.12 Iterative process of Xsh in the dynamics

圖13 第二次協同優化迭代過程Fig.13 Second iterative process of the collaborative objective function

圖11和圖12分別給出變量Xsh在靜力學和動力學兩個學科中的迭代尋優過程和最優結果。圖13給出了靜力學和動力學兩個學科的協同優化過程，表明靜力學和動力學的系統級優化模型也滿足收斂條件，說明Xsh的優化結果也是合理的。

最后，實現受電弓控制學的迭代優化過程，得到控制變量Xcon的尋優過程，如圖14所示，以及控制學迭代收斂過程，如圖15所示。

圖14 變量Xcon的控制學迭代過程Fig.14 Iterative process of Xcon in the control

圖15 第三次優化迭代過程Fig.15 Third iterative process of the objective function

圖14給出了控制變量的迭代過程和優化結果，其中對變量Xcon進行尺度變換為Xcon=[0.005kp，kd]，圖15表示控制學優化模型的迭代過程，可見控制學優化模型滿足收斂條件，說明Xcon的優化值是符合要求的。

通過受電弓的多學科設計優化與對全局變量的尋優過程，得到高速受電弓設計變量X的優化值(表1)以及各學科的目標函數值(表2)。

表1 高速受電弓設計變量優化值Tab.1 Optimized values of the high-speed pantograph design variables

表2 高速受電弓學科目標函數值Tab.2 Values of the high-speed pantograph disciplines functions

3.4 協同優化設計結果分析

通過高速受電弓桿長參數Xs的優化值，可以獲得受電弓的運行軌跡，圖16和圖17分別為設計優化前后受電弓弓頭運動軌跡和偏轉角的變化曲線。由圖16可知，在高速受電弓正常工作高度(0.3～2.3 m)內，優化前弓頭最大橫向位移為42.4 mm，優化后減小到37 mm。由圖17可知，弓頭偏轉角的波動幅度大大降低，優化后，偏轉角的最大偏差從原來的4.5344°減小到0.7964°，可認為受電弓在升降弓過程中，弓頭始終處于平動狀態。比較優化前后弓頭橫向位移和偏轉角的變化，結果表明受電弓的桿長參數Xs滿足設計要求，受電弓的運行軌跡更加精確。

圖16 受電弓弓頭運動軌跡Fig.16 Trajectory of the pantograph head

圖17 受電弓弓頭偏轉角Fig.17 Deflection angle of the pantograph head

根據高速受電弓全局變量X的優化值，即可得到優化前后和控制前后弓網接觸力的變化曲線以及相關接觸力的計算結果，如圖18和表3所示。

圖18 弓網接觸力狀態Fig.18 Contact force of the pantograph-catenary

表3 接觸力計算結果Tab.3 Contact force results N

由圖18和表3可知，優化前后接觸力最大值減小6.371%，最小值增大27.025%，標準差減小16.349%，平均值幾乎不變，說明受電弓的結構參數對接觸力的變化有影響，并且主要是通過增大接觸力最小值達到抑制接觸力波動的目的。對受電弓采用控制算法的目的是為了提高受電弓的工作性能，抑制弓網接觸力波動，改善弓網受流質量。比較控制前后接觸力的變化曲線可知，接觸力的變化更加平穩；比較控制前后接觸力各項參數指標的變化可知，控制后接觸力的最大值減小10.425%，最小值增大14.415%，標準差減小17.050%，接觸力的平均值減小0.535%，說明本文設計的PD控制器是有效的，提高了受電弓的工作性能，實現了減小接觸力波動和提高弓網受流質量的目的。此外，受電弓采用主動控制策略之后，弓網接觸力的波動得以改善，且效果較為明顯，可見主動控制對受電弓的運行起著至關重要的作用。通過比較多學科設計前后接觸力的變化可知，接觸力的最大值減小16.132%，最小值增大45.336%，標準差減小30.612%，平均值基本不變，說明多學科設計優化提高了受電弓的工作性能，抑制了弓網接觸力波動，改善了弓網受流質量，增強了列車運行穩定性。

3.5 高速受電弓結構分析

根據受電弓多學科協同設計優化得到的桿長參數和截面參數結果，基于現實受電弓的實體模型，建立了合理的受電弓三維仿真模型，采用有限元軟件ANSYS進行受電弓的結構強度分析，分析結果如圖19～圖21所示。

(a) 應力云圖

(b) 變形云圖

(a) 下臂桿

(b) 拉桿

(c) 弓頭橫梁

(d) 上框架

(e) 平衡桿

(f) 底架

(a) 左側施加300 N

(b) 右側施加300 N

圖19所示為受電弓整體結構的強度分析結果。其中，圖19a為受電弓所受到的應力分布云圖，最大應力點位于下臂桿低端，為178.01 MPa，小于不銹鋼的屈服極限207 MPa，圖19b為受電弓整體變形云圖，最大變形點位于弓頭，為46.668 mm，說明受電弓整體結構的應力值和變形量均在許用范圍內。圖20為受電弓各部件的應力云圖，由圖20a～圖20f可知，下臂桿、拉桿、弓頭橫梁、上框架、平衡桿和底架的最大應力分別為178.01 MPa、10.633 MPa、25.837 MPa、53.859 MPa、25.267 MPa、88.98 MPa，明顯小于相應材料的屈服極限，符合受電弓設計的強度要求。

圖21給出了受電弓的剛度分析結果，圖21a為在上框架的左側施加300 N之后的變形圖，最大偏移量為26.347 mm，圖21b為在上框架的右側施加300 N之后的變形圖，最大偏移量為26.095 mm，根據受電弓橫向剛度標準，工作高度在2.5 m位置時，受電弓橫向偏移量的允許值為30 mm，計算結果表明受電弓的偏移量在允許范圍內，最大值均小于30 mm，故受電弓的橫向剛度也滿足設計要求，對受電弓強度和剛度的分析說明，設計變量Xs和Xsh的優化結果是合理的。

4 結論

(1)多學科優化后，受電弓弓頭的最大橫向位移由42.4 mm減小到37.1 mm，偏轉角的最大偏差由4.534 4°縮減至0.797 8°，表明受電弓在正常工作高度內，弓頭始終處于平動狀態，滑板受力均勻，提高了受電弓的運行精度和跟隨性。

(2)多學科協同優化后，弓網接觸力的最大值減小6.371%，最小值增大27.025%，標準差減小16.349%，平均值幾乎不變，說明受電弓的結構參數對弓網接觸力有一定的影響，并且主要通過增大接觸力的最小值來降低接觸力的波動。

(3)采用主動控制策略后，弓網接觸力的最大值減小10.425%，最小值增大14.415%，標準差減小17.050%，平均值減小0.535%，說明本文設計的PD控制器有效抑制了弓網接觸力的波動，改善了弓網受流質量，也表明主動控制對受電弓的運行起著至關重要的作用。

(4)根據全局變量的優化值，對受電弓進行有限元分析，結果表明受電弓的強度和剛度均符合設計要求，說明受電弓多學科設計獲得了整體最優解或滿意解。

(5)在對受電弓結構參數分析時，可以考慮接觸網結構變化帶來的影響，對受電弓和接觸網的整體結構進行設計優化，以獲得更優匹配的弓網結構參數。