常見棱柱體渠道斷面臨界水深是否唯一的證明

摘 要：臨界水深是緩急流的判別標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)水深小于臨界水深水流處于急流狀態(tài)，而水深大于臨界水深則處于緩流狀態(tài)。在常見的渠道中臨界水深是否唯一關(guān)系到一些理論問題，比如若出現(xiàn)兩條臨界水深，兩臨界水深之間的水流處于什么狀態(tài)？臨界水深還是不是等深線？等等問題。因此有必要對臨界水深是否唯一進(jìn)行深入嚴(yán)密的分析論證。

關(guān)鍵詞：常見;棱柱體渠道;臨界水深;唯一。

臨界流時的相應(yīng)水深稱為臨界水深，一般用hk表示，即斷面形狀、尺寸和流量一定的條件下Fr=1時對應(yīng)的水深。臨界水深hk是緩流和急流的判別標(biāo)準(zhǔn)，大于臨界水深的水流是緩流，而小于臨界水深的水流是急流。但我們首先需要弄清楚臨界水深是否唯一，如果出現(xiàn)兩條或兩條以上臨界水深，又該怎么判別緩急流？

棱柱體渠道中，當(dāng)流量Q一定時，臨界水深線是一條等深線。在各類底坡中，它的值是固定不變的。那么其前提首先應(yīng)該是臨界水深線唯一，但這一點(diǎn)還未經(jīng)證明。已知滿足αQ2/g=ω3/B條件的水深為臨界水深，對常見斷面渠道，我們來試作證明。

一、矩形斷面，因?yàn)棣罳2/g為常數(shù)，而ω3/B=B2hk3為單調(diào)遞增函數(shù)，則滿足αQ2/g=ω3/B條件的hk唯一，即矩形斷面臨界水深唯一。

二、三角形斷面，因?yàn)棣?1/2Bhk，即ω3/B=1/8B2hk3，同樣由于B，hk均單調(diào)增大，則1/8B2hk3單調(diào)增大，即滿足αQ2/g=ω3/B條件的hk唯一，就是三角形斷面臨界水深唯一。

三、梯形斷面，ω3/B=（b+mh）3h3/（b+2mh）=（b+mh）3h2/（b/h+2m），因?yàn)閎、m為常數(shù)，隨h增大，分子增大，而分母減小，則整體遞增，所以等式右側(cè)也是單調(diào)遞增函數(shù)，說明梯形斷面渠道hk唯一。

四、圓形斷面，ω3/B=[d2/8（θ—sinθ）]3/dsin（θ/2）=d5[θ/sin（θ/2）—2cos（θ/2）]/83。因?yàn)閏os（θ/2）當(dāng)θ在0o—360o范圍時，為單調(diào)遞減。而θ/sin（θ/2）的一階導(dǎo)數(shù)為[sin（θ/2）—（θ/2）cos（θ/2]/sin2（θ/2），[sin（θ/2）—（θ/2）cos（θ/2]的導(dǎo)數(shù)為（θ/4）sin（θ/2），（θ/4）sin（θ/2）在（0o—360o）區(qū)間大于零，即[sin（θ/2）—（θ/2）cos（θ/2]單調(diào)遞增，而當(dāng)θ=0o時，其值為零;則θ>0o時，[sin（θ/2）—（θ/2）cos（θ/2]>0。所以[sin（θ/2）—（θ/2）cos（θ/2]/sin2（θ/2）>0，即θ/sin（θ/2）單調(diào)遞增，而2cos（θ/2）單調(diào)遞減，則θ/sin（θ/2）—2cos（θ/2）單調(diào)遞增。所以滿足αQ2/g=ω3/B條件的值只有一個，即hk唯一。

五、拋物線形斷面，y=ax2，ω=∫0h2xdy=∫0h4axdy=2ah2。B=2x=2√（h/a）。所以ω3/B=4a3.5h5.5，單調(diào)遞增。即hk唯一。

六、多邊形，由上下兩個梯形組成，下梯形下底b0、上底b1、高h(yuǎn)0、邊坡系數(shù)m0。上梯形下底b1、上底b2、高h(yuǎn)1、邊坡系數(shù)m1，已知0<m1<m0。對下邊梯形一定單調(diào)遞增（已證），那么，上邊梯形及上下過渡時是否單調(diào)遞增呢？A0=（b0+m0h0）h0，b1=b0+2m0h0。設(shè)水深為t，當(dāng)t>h0（t<h0+h1），因?yàn)棣?[b1+m1（t-h0）]（t-h0）+A0，B=b1+2m1（t-h0），ω/B=[b1+m1（t-h0）+A0/（t-h0）]/[b1/（t-h0）+2m1]=[b1+m1（t-h0）-2m1A0/b1]/[b1/（t-h0）+2m1]+A0/b1。因?yàn)閎1/（t-h0）遞減，所以分子遞減而分母遞增，所以為單調(diào)增函數(shù)。而ω2必遞增，所以ω3/B必遞增。上下梯形交界處，即水深為h0處若水深增加dh，ω1/B1—ω0/B0=[（b0+m0h0）h0+（b0+2m0h0+m1dh）dh]/（b0+2m0h0+2m1dh）—[（b0+m0h0）h0/（b0+2m0h0）=[（b0+2m0h0+m1dh）dh-（b0+m0h0）h0·2m1dh/（b0+2m0h0）]/（b0+2m0h0+2m1dh）。因?yàn)榉肿?gt;b0dh+2m0h0dh+m1dh2-2m1h0dh，因?yàn)閙0>m1所以分子>b0dh+m1dh2>0。所以ω1/B1>ω0/B0，又因?yàn)棣?2>ω02，所以ω13/B1>ω03/B0，即ω3/B必遞增，所以hk唯一。

七、復(fù)式斷面，若在槽的底部出現(xiàn)一臨界水深，當(dāng)水深達(dá)到與灘底面齊平時，由于ω3/B中ω未變，而B突然增大，使ω3/B減小，則水位繼續(xù)上升的時候，可能會再次出現(xiàn)αQ2/g=ω3/B的情況。因此復(fù)式斷面可能會出現(xiàn)兩條臨界水深的情況。

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作者簡介：

尤海峰 男 ，講師 ，1974年9月生 ，工學(xué)碩士學(xué)位，多年來在內(nèi)蒙古大學(xué)交通學(xué)院橋梁工程系從事水力學(xué)與橋涵水文的教學(xué)，研究方向是力學(xué)。