實腹式軸心受壓鋼構件整體穩定性教學實驗設計

趙衛平，趙欣杰，陳佳麟，吳麗麗

（中國礦業大學（北京）力學與建筑工程學院，北京 100083）

0 引言

鋼結構基本原理為土木工程專業核心課，軸心受壓構件的穩定承載力既是教學重點也是教學難點。根據截面形式和支撐邊界條件的不同，軸壓柱有彎曲型、彎扭型和扭轉型3 種失穩形式。雙軸對稱工字形截面繞強、弱軸均發生彎曲型失穩；單軸對稱的T 形截面繞非對稱軸發生彎曲型失穩，而繞對稱軸發生彎扭型失穩；十字形截面失穩形式可能是彎曲型和扭轉型，取決于截面自由外伸肢的寬厚比［1-2］。

先修專業基礎課材料力學在T 形截面繞對稱軸失穩時不計入扭轉效應的簡化方法將導致偏于不安全的結果［3-4］，《鋼結構設計規范》1988 年之前的版本已經廢除［5］；此外，薄壁開口截面扇性坐標及扇性慣性矩所涉及的理論計算多數院校并沒有納入土木工程專業本科階段力學課程的教學范疇。鋼結構基本原理課程中涉及軸心壓桿穩定的計算從平衡微分方程組的關聯性出發［6-7］，結合剪力中心的概念講授對本科生特別抽象、突兀［8-9］；為提高學生對壓桿失穩形式的認識，設置相關的實驗教學環節與理論授課相結合，可在有限的學時內得到很好的授課效果。

本文從理論公式入手，找到各類失穩類型轉變的臨界條件，設計了與3 種失穩形式相對應的縮尺教學試件。利用簡單的教學設備、占用有限的實驗室空間和極少的資金投入即可達到良好的教學效果。基于ANSYS軟件對各試件的失穩形式進行了數值模擬，有限元計算結果與理論分析吻合較好。實驗設計過程兼顧了安全性、經濟性、可操作性，可供相關專業的實踐教學環節老師或工程技術人員參考。

1 實驗設備

實驗設備為梁柱教學實驗系統，由反力架，壓力500 kN、行程200 mm 的分離式液壓千斤頂和支座組成，可以進行鋼結構、混凝土等柱類試件的軸壓、偏壓實驗，如圖1 所示。

圖1 壓桿穩定性試驗裝置圖

反力架的上、下橫梁可以根據試件的大小上下調節，千斤頂通過拉桿拉板與反力架上橫梁連接，該種連接方式可以使千斤頂固定在橫梁上的任意位置。千斤頂活塞桿端依次為力傳感器、柱頂承壓盤、受壓鋼柱、柱底法蘭盤、反力架下橫梁、柱底法蘭盤與下橫梁通過螺栓連接，避免鋼柱受壓彎曲變形后彈出引發安全隱患。柱高統一取1 m，長細比的變化可通過調整橫截面幾何尺寸實現。軸壓鋼柱加載示意圖見圖2。

圖2 軸壓柱加載示意圖

2 理論計算

2.1 開口薄壁桿彈性微分方程

根據開口薄壁桿件理論，理想壓桿失穩的彈性微分方程為［1］：

式中：E為彈性模量；Ix為繞x軸慣性矩；N為軸向壓力；v為x方向彎曲位移；x0為x方向剪切中心與形心之間的距離；θ 為截面扭轉變形角；Iy為繞y軸慣性矩；u為y方向彎曲位移；y0為y方向剪切中心與形心之間的距離；Iw為扇形慣性矩；G為剪切模量，G＝E／2（1 ＋υ）；It為抗扭慣性矩；r0和分別為考慮縱向應力和殘余應力對扭轉平衡的影響，

雙軸對稱截面軸心壓桿剪力中心和形心重合，x0＝0，y0＝0，代入式（1）～（3）得：

由式（4）～（6）可知，3 式都可以獨立求解求得3個解，代表3 種失穩模態，分別是繞x、y軸彎曲失穩和繞縱軸的扭轉失穩。歐拉臨界力分別為：

式中：Nex、Ney分別為繞x、y軸的歐拉臨界應力；Neθ為歐拉扭轉臨界應力；l0x、l0y分別為x、y軸計算長度；λθ為扭轉屈曲換算長細比。

對于單軸對稱截面軸心壓桿剪力中心和形心不重合，所以y0＝0（x軸為對稱軸），代入式（1）～（3）得：

式（11）可以單獨求解，為彎曲失穩；而式（10）、（12）需要聯立求解，說明x向位移與軸向扭轉角之間存在偶聯關系，為彎扭失穩，失穩歐拉臨界力分別為：

式中：λx、λy分別為繞x、y軸的長細比；New為彎扭臨界力；λxz為彎扭長細比。

根據彈性穩定理論，扭轉屈曲臨界力為：

將式（9）與（15）聯立得扭轉換算長細比：

式中：i0為極回轉半徑（i0＝e20＋i2x＋i2y，e0為形心到剪心的距離；ix、iy分別為繞x、y軸回轉半徑）；A為截面面積；角鋼截面Iw＝0［10］。對由狹長矩形截面組合成的截面［2］：

其中k是考慮各組成截面實際是連續的影響而引入的增大系數；雙軸對稱工字截面k＝1.30，單軸對稱工字截面k＝1.25，T形截面k＝1.20，其余情況k＝1.00。

根據彈性穩定理論，彎扭屈曲臨界力為［11］：

將式（14）與（17）聯立得彎扭換算長細比：

最后通過長細比查表找出穩定系數φ，通過下式求出失穩臨界力F：

式中，f為材料抗壓強度設計值。

2.2 角鋼截面理論計算

等邊角鋼的截面形式與尺寸如圖3 所示。

圖3 等邊角鋼截面尺寸

由式（10）～（12）分析可知，單軸對稱截面可能會發生繞對稱軸失穩的彎扭失穩，繞非對稱失穩的彎曲失穩，按照λx＝lox／ix和式（18）分別計算出λx和λxz，然后利用式（19）計算出F。鋼結構設計規范GB 50017—2017 中給出了等邊單角鋼換算長細比簡化公式［12］：

當b／t≤0.54loy／b時：

發生彎扭失穩時，彎扭屈曲換算長細比應滿足λxz＞λx，將式（20）與λx＝lox／ix代入該式得：

即：

當b／t＞0.54loy／b時：

根據發生彎扭失穩時換算長細比應滿足的條件，將式（22）與λx＝lox／ix代入得：

解得：

所以當b／t≤0.54loy／b時，b2／t＞2 141 發生彎扭失穩，反之發生彎曲失穩；當b／t＞0.54loy／b時（13.5b4＋4t2）／13.5b2t＞2 146 發生彎扭失穩，反之發生彎曲失穩。

《鋼結構設計規范》GB 50017—2017 中等邊角鋼截面對x軸對y軸均為b類［12］，變化參數與計算結果見表1。

表1 等邊角鋼截面計算參數與失穩形式

2.3 十字截面理論計算

雙軸對稱十字形截面形式與尺寸如圖4 所示。

圖4 十字形截面尺寸

由式（4）～（6）分析可知雙軸對稱截面軸心壓桿可能會發生彎曲失穩和扭轉失穩兩種形式，按照λx＝μl／ix和式（16）分別計算出λx和λθ然后利用式（19）計算出F。

扭轉屈曲換算長細比為式（16），十字鋼截面Iw＝0［13］，所以

解得：

當發生扭轉失穩時，λθ＞λx，將式（26）與λx＝lox／ix代入該式得：

即：

所以當b2／t＞906 時發生扭轉失穩，反之發生彎曲失穩。

《鋼結構設計規范》GB 50017—2017 中十字形截面對x軸和對y軸均為c類［12］，變化參數與計算結果見表2。

表2 十字形截面計算參數與失穩形式

2.4 工字截面理論計算

雙軸對稱工字形截面形式與尺寸如圖5 所示。

圖5 工字形截面尺寸

按照λx＝μl／ix、λy＝μl／iy和式（19）計算即可，《鋼結構設計規范》GB 50017—2017 中軋制工字形截面當b／h≤0.8 時對強軸為a類曲線對弱軸為b類曲線［12］，h、b、t、tw單位都為mm。由式（4）～（6）分析可知工字鋼截面可能會發生繞x軸的彎曲失穩（x軸為弱軸），繞y軸彎曲失穩和繞縱軸的扭轉失穩；但工字鋼截面扭轉屈曲臨界力總是高于彎曲屈曲臨界力，本文不再列舉［14］，變化參數與計算結果見表3。

表3 工字形截面計算參數與失穩形式

3 有限元模擬結果及分析

3.1 模型介紹

ANSYS中SHELL181 單元適合薄殼結構的大轉動變形和非線性大形變的分析。本次研究的3 種截面形式鋼柱在長度方向的幾何尺寸l遠大于橫截面特征尺寸，同時橫截面上的厚度t遠小于外伸肢寬度b。

MASS21 是一個具有6 個自由度的點單元，即x、y和z方向的平動和繞x、y和z軸的轉動。用于加載點的模擬［15］。

根據表1～3，由SHELL181 單元生成殼，然后把MASS21 單元分別建在鋼柱的兩端，并把鋼柱兩端的自由度耦合在MASS21 節點上形成剛域，用于施加約束和荷載，約束情況為一端自由一端固定，然后先進行特征值屈曲分析然后用UPGEOM 命令根據一階特征屈曲模態失穩形式施加初始缺陷，打開大變形選項采用弧長法疊代計算。

鋼材屈服強度fy＝235 MPa，彈性模量E＝206 GPa，泊松比ν ＝0.3，本構關系為理想的彈塑性模型（BISO）。

3.2 數值模擬結果

根據一階特征屈曲模態施加初始缺陷，失穩前后模型對比如圖6～8 所示。

圖6 工字截面失穩變形圖

表1 中當截面尺寸為b＝100 mm，t＝10 mm 與b＝160 mm，t＝10 mm時通過計算，兩種截面尺寸鋼柱失穩形式分別為彎曲失穩與彎扭失穩，上述同樣截面尺寸在ANSYS軟件中模擬，結果也分別為彎曲失穩與彎扭失穩；表2 中當截面尺寸為b＝48 mm，t＝5 mm與b＝120 mm，t＝11 mm 時通過計算，兩種截面尺寸鋼柱失穩形式分別為彎曲失穩與扭轉失穩，上述同樣截面尺寸在ANSYS軟件中模擬，結果也分別為彎曲失穩與扭轉失穩；表3 中當截面尺寸為b＝68 mm，h＝100 mm，tw＝4.5 mm，t＝7.6 mm 時通過計算，失穩形式為彎曲失穩，上述同樣截面尺寸在ANSYS軟件中模擬，結果也為彎曲失穩。表1～3 中其他截面尺寸鋼柱也有同樣結果，不再列舉。有限元模擬結果與計算結果對應良好。

圖7 十字截面失穩變形圖

圖8 角鋼截面失穩變形圖

3.3 柱子曲線

2017 版的《鋼結構設計規范》中的柱子曲線是考慮了初彎曲和殘余應力且初彎曲的失高取柱長度的1／1 000［12］，然后根據數理統計，將柱子曲線分成a、b、c、d4條，柱子曲線具體形式如下：

圖9 柱子曲線散點圖

由圖9 可見，表1～3 截面類型的穩定承載力均分布在《鋼結構設計規范》GB 50017—2017 規定的帶狀區域內，實踐教學環節可根據目標失穩形式選擇合適的截面類型和尺寸。

4 結語

等邊角鋼截面鋼柱當b／t≤0.54loy／b時，b2／t＞2 141 發生彎扭失穩，反之發生彎曲失穩；當b／t＞0.54loy／b時，（13.5b4＋4t2）／13.5b2t＞2 146 發生彎扭失穩，反之發生彎曲失穩。根據計算結果彎曲失穩建議截面尺寸b＝100 mm，t＝10 mm，彎扭失穩建議截面尺寸b＝160 mm，t＝10 mm。十字形截面鋼柱當b2／t＞906 時發生扭轉失穩，反之發生彎曲失穩。根據計算結果彎曲失穩建議截面尺寸b＝48 mm，t＝5 mm，扭轉失穩建議截面尺寸b＝120 mm，t＝11 mm。工字形截面鋼柱弱軸的長細比總是大于強軸長細比，而且扭轉換算長細比總是小于彎曲失穩長細比，所以總是發生繞弱軸的彎曲失穩。根據計算結果彎曲失穩建議截面尺寸b＝68 mm，t＝76 mm，tw＝45 mm，h＝100 mm。