一種適用于水聲環境的變步長LMS算法

杭州應用聲學研究所 羅 斌 張海生 王曉林

隨著自適應信號處理在理論上的不斷發展和實踐應用，國內外研究學者從各方面著手，對自適應算法進行系統性研究。在自適應算法中，應用最為廣泛的是Widrow等人提出的最小均方（LMS,Least Mean Square）算法，該算法具有成熟的理論基礎、結構簡單、穩定性好，易于工程實現，在水聲信號處理中起著舉足輕重的作用。

本文通過對LMS算法理論推導，分析算法性能影響因子，并提出一種適用于水聲環境的變步長LMS算法，通過仿真對比，驗證了該算法的性能。

1 LMS算法

1.1 算法原理

LMS算法原理框圖如圖1所示。

圖1 LMS算法原理框圖

圖1中，輸入信號矢量x(n)可表示為[x(n) x(n-1) … x(n-L+1)]T：L為濾波器階數，T表示轉置運算。

自適應濾波器的權矢量表示為[w0(n) w1(n) … wL-1(n)]T：則輸出信號y(n)可表示為輸入信號矢量與權矢量的乘積。

而自適應系統輸出與期望信號的偏差則用ε(n)表示。根據LMS算法的思想，權系數更新表達式為：

式中，μ表示固定步長。

1.2 算法性能

研究LMS算法性能一般需綜合衡量其收斂性、收斂速度、穩態誤差及計算復雜度四項指標。研究表明，該四項指標可以用下面式子表示：

③中，tr[●]是跡運算，R表示輸入數據自相關矩陣，對于自適應橫向濾波器，該式亦可表示為：步長×濾波器階數×輸入功率。

結合收斂速度和穩態誤差表示式可以看出，μ越大，算法可以獲得較快的收斂速度，但同時也會帶來較大的穩態誤差；反之，μ越小，可以獲得較小的穩態誤差，但同時也會犧牲算法收斂速度。所以使用LMS算法時，要權衡收斂速度和穩態誤差兩者之間的關系，這對步長μ的選擇提出了很高的要求。

2 變步長LMS算法

步長μ在LMS算法迭代過程中是一個矛盾量，它在控制LMS算法收斂速度的同時也決定了算法的穩態誤差。因此，很多學者投入大量時間研究如何權衡兩者之間的關系，提出了許多變步長LMS算法，這些算法的根本思想是在初始階段選用較大的步長，使算法可獲得較快的收斂速度，收斂到一定程度后逐漸減小步長，使算法最終能有較小的穩態誤差。

在水聲信號處理中，通常我們均假定噪聲服從高斯分布，在較為理想情況下，噪聲可看成為高斯白噪聲。

在高斯白噪聲背景下，噪聲環境完全不相關，LMS算法步長可利用相鄰時刻誤差的互相關函數控制，能有效避免不相關噪聲在步長迭代過程中的影響，因此上述算法能較好地適用于不相關噪聲環境背景。但往往水聲環境噪聲不會這么理想，總會存在一定的相關性，如典型的高斯色噪聲背景，在此種環境背景下，上述算法達不到預期效果。

下面引入一種適用于水聲環境的變步長LMS算法，該算法步長利用誤差的高階函數控制，步長計算公式可表示為：步長與誤差函數2階和4階指數函數相關。

上述算法步長利用了高斯信號的特性。只要噪聲信號服從高斯分布，步長就不受噪聲環境所干擾，從而使得步長迭代在高斯噪聲環境下具有較強魯棒性。實際的水聲噪聲環境通常均服從高斯分布，所以該方法具有較強的環境適應性和使用性。

3 仿真分析研究

下面通過權系數收斂曲線和輸出誤差曲線來比對分析第2章中所述的兩種變步長LMS算法性能。

為方便說明，后續表述中用“算法一”代表利用相鄰時刻誤差的互相關函數表示的變步長LMS算法，用“算法二”代表利用誤差的高階函數表示的變步長LMS算法。圖2、圖3給出了仿真結果。

圖2 高斯白噪聲環境下算法性能對比

圖3 高斯色噪聲環境下算法性能對比

從圖2和圖3可見，在高斯白噪聲環境下，由于噪聲是不相關的，算法一性能較好，而當噪聲環境為高斯色噪聲時，由于噪聲變得具有相關性，算法一性能大大降低，體現在收斂速度變慢，輸出誤差變大。但是算法二在上述兩種環境下，均表現出較高的性能。

綜上分析，本文提出的變步長LMS算法，能較好地適應于高斯噪聲環境（即水聲環境），可為水聲信號處理提供良好的理論基礎。

本文在分析LMS算法基礎上，研究了變步長LMS算法理論，并在常規變步長LMS算法基礎上，提出一種適用于水聲環境的變步長LMS算法，該算法可在通常的水聲環境下，很好地保證算法的收斂速度和穩態誤差。仿真分析研究結果驗證了該算法的正確性及有效性。