三維自適應有限時間超螺旋滑模制導律

李 軍,廖宇新,李 珺

(中南大學航空航天學院,湖南 長沙 410083)

0 引 言

隨著精確制導技術的不斷發展,制導律除了以零化脫靶量作為目標外,往往還需要滿足終端攻擊角約束,才能充分發揮導彈的毀傷效果和殺傷效率。比例導引由于結構簡單、所需的信息量少和易于實現的特點,被廣泛應用于工程領域。雖然傳統的比例導引能夠實現終端零脫靶量,但對終端攻擊角約束卻很難達到滿意效果[1]。

隨著現代控制理論的發展,為了解決終端攻擊角約束問題,在原有制導律設計思想的基礎上，進行將先進控制理論應用于帶攻擊角約束的制導律設計的相關研究,如最優制導律[2-4]和微分對策制導律[5-6]等。由于滑模控制能使系統快速趨于穩定,且控制器具有形式簡單和對外界干擾強魯棒性等優點,因而廣泛應用于帶攻擊角約束的制導律設計。文獻[7]針對具有終端攻擊角約束的導彈攔截問題,設計了一種基于擴展狀態觀測器的快速終端滑模制導律，該制導律使攔截彈道更優,同時解決了視線角速率只能漸進收斂到零的問題,有效縮短了打擊時間。文獻[8]設計了一種基于非線性干擾觀測器的快速終端滑模制導律,將目標加速度視為未知的有界外部干擾,同時在滑模面中引入非線性干擾觀測器估計并補償實際的外部干擾；針對線性滑模制導律存在視線角收斂時間較長現象,通過快速終端滑模控制策略進行解決,但造成系統狀態在平衡點附近的奇異問題。文獻[9]針對導彈攔截存在攻擊角需求和非線性滑模制導律的系統奇異問題,利用動態面法,設計了一種考慮彈體動態特性的非奇異有限時間制導律,滿足了終端攻擊角約束和系統在有限時間的收斂,但目標機動引起的未知干擾會造成制導指令較強的抖振。

抑制抖振現象,可在制導律的魯棒項中利用飽和函數代替符號函數解決。文獻[10-11]針對攻擊角約束要求，分別提出了固定時間收斂制導律和有限時間收斂制導律。由于滑模變結構中含有開關函數,控制量進行高頻切換時,會在實際系統中引起制導指令的抖振。因此文獻[10-11]通過飽和函數法減小制導指令抖振引起的彈體抖動，但這使系統軌跡穩定在滑模面附近,從而削弱了制導律的魯棒性。為了提高系統控制精度,可以采用高階滑模控制來抑制抖振,高階滑模在消除相對階限制的同時還增強了系統對干擾的魯棒性[12]。高階滑模控制方法中的超螺旋(super-twisting,ST)算法,具有特殊的嵌套結構,不需要滑模變量的一階導數信息。ST算法的實際控制變量在相對階為1的控制系統中,不存在高頻切換,因此減少了因控制量切換引起的抖振現象,多種利用ST算法抑制抖振的制導律相繼被提出[13-15]。然而,ST算法對系統的不確定性較為敏感,當外部干擾上界未知時,過高的估計干擾上界會導致過大的控制增益,使得系統不確定性增大,降低閉環系統的魯棒性。外部干擾參數的自適應能夠實時在線估計干擾上界,從而降低控制增益,減小系統抖振,保證系統具有良好的控制性能,因此多種自適應制導律相繼被提出[16-18]。

由于導彈攔截目標的真實情形發生在三維空間,因此三維制導律相較于二維制導律更適合真實情形。同時,導彈還必須具有攔截高速機動目標的能力,才能滿足作戰節奏快速性和戰場復雜性的需要。針對導彈攔截的真實情形,文獻[19-21]分別設計了相應的三維滑模制導律。為了達到更好的攔截毀傷效果,在進行零化脫靶量精準制導的同時,制導律還需要滿足終端攻擊角約束。

針對終端攻擊角約束的導彈攔截機動目標制導問題,本文在目標加速度未知的前提下,建立了非解耦且在有限時間內收斂的三維自適應制導律,實現了以固定終端攻擊角的精準攔截制導,同時解決了目標未知機動對制導精度的影響。首先，根據彈目三維相對運動關系,建立了導彈-目標相對運動質點模型。然后,基于改進ST算法和非奇異快速終端滑模,設計了有限時間ST滑模制導律(finite-time ST sliding mode guidance law,FSTSMGL)。此外,為了解決目標機動加速度帶來的外部干擾上界未知問題,將FSTSMGL的干擾項進行實時在線的參數自適應估計干擾上界,提出一種自適應FSTSMGL(adaptive FSTSMGL,AFSTSMGL),實現了擾動上界的自適應增益估計。同時，對閉環系統有限時間收斂進行證明,并給出了系統的收斂時間。最后，為了驗證AFSTSMGL制導性能的優越性進行了對比仿真。結果表明,AFSTSMGL具有更強的魯棒性、更快的收斂速度和更高的制導精度。

1 系統模型及相關引理

1.1 系統模型

為了研究三維空間中機動目標的導彈攔截制導問題,在地面慣性參考坐標系OIXIYIZI中,將導彈和目標均視為質點,同時構建目標速度坐標系OTXTYTZT、導彈速度坐標系OMXMYMZM和視線坐標系OMXLYLZL,則彈目三維相對運動關系如圖1所示。

圖1 彈目三維相對運動示意圖Fig.1 Three-dimensional relative motion diagram of missile and target

導彈速度關于OMXLYLZL坐標系的速度傾角和速度偏角分別為θM和φM,目標速度關于OMXLYLZL坐標系的速度傾角和速度偏角分別為θT和φT,則根據圖1中坐標系可將導彈-目標相對運動質點模型[22]描述為

(1)

導彈和目標的質點運動模型[22]分別可以描述為

(2)

(3)

根據式(1)～式(3),視線角的二階微分方程可描述為

(4)

當導彈與目標的相對速度小于零時,由式(4)可知合適的俯仰加速度aZM和偏航加速度aYM可以使視線角速率收斂至零。

基于上述耦合模型進行制導律設計,假設θM,φM≠±π/2,|aYT|≤a1,|aZT|≤a2。其中，?t≥0時,a1和a2分別為目標加速度在偏航和俯仰方向上的上界,令θLf和φLf分別為期望終端視線傾角和期望終端視線偏角,狀態變量x1=[x11,x12]T=[θL-θLf,φL-φLf]T,則基于視線角誤差的二階系統狀態方程為

(5)

(6)

為保證導彈能以θLf和φLf精準攔截目標,應通過設計光滑的制導律u,讓系統在未知干擾M存在的情況下,滿足視線角速率和視線角誤差在有限時間內收斂到零。

1.2 相關引理

引理 1[23]如果存在一個連續正定的函數V(t):Rn→R,當?t>t0時滿足不等式:

(7)

式中,t0為初始時間;α,β>0且0

(8)

引理 2[24]如果在區間Ω:0∈int(Ω)存在一個連續的函數V(x):Rn→R,且滿足不等式：

(9)

(10)

2 制導律設計及系統穩定性分析

2.1 AFSTSMGL設計

為了使導彈能以期望的攻擊角度成功攔截目標的同時還可以避免系統奇異問題,在文獻[25]的啟發下,選取多變量非奇異快速終端滑模面如下:

S=[S1，S2]T=x1+K1|x1|αsign(x1)+
K2|x2|βsign(x2)

(11)

式中,K1和K2>0為正實數;1<β<2,α>β,

式(11)對時間求導,可得

(12)

快速趨近律由文獻[26]的改進ST思路啟發,表達式為

(13)

式中,實數矩陣K3,K4,K5均為2階正定對角陣。則式(5)、式(12)和式(13)聯立可得FSTSMGL表達式為

(14)

當外部干擾上界未知時,過高地估計干擾上界會導致過大的控制增益,使得系統的不確定性增大,閉環系統的魯棒性降低。為了解決目標機動加速度帶來的外部干擾M上界未知的問題,利用參數自適應增益實時在線估計干擾上界,可得AFSTSMGL的表達式為

(15)

式中,K3(t)和K4(t)為干擾項M的自適應增益估計;K6,K7,Ω1,η1,μ1均為正實數。

2.2 有限時間收斂性能分析

定理 1令M=[M1，M2]T,當存在Mmax使Mi≤Mmax成立時(其中Mmax為正實數,即干擾項M有界),若選用趨近律式(13)、滑模面式(11)和制導指令式(15),則

(2) 滑模變量S在有限時間內收斂到零；

(3) 系統的狀態變量x1，x2在有限時間內收斂到零。

在式(5)中成立。

證明將式(5)和式(15)代入式(12)中可得

(16)

令Di=[di1,di2]T=[|Si|1/2sign(Si),Wi]T，定義一個子空間vi={(Si,Wi)∈R2|Si=0}，則在不包含vi的所有空間內，Di的時間導數可表示為

(17)

式中，

Kj= diag{Kj1,Kj2}

趨近階段考慮如下Lyapunov函數

(18)

式(18)對時間求導，同時令Mi=r(t)sign(Si)，0≤r(t)≤Mmax，可得

(19)

式中，

將式(19)變換為

(20)

(21)

(22)

(23)

-K3i-2K3ir<0

(24)

2K5i(K3i+1)|di1|(K3i+2K3ir)-
(K3iK5i|di1|+(K4i+1)r)2>0

(25)

由式(22)和式(23)可得

(26)

(27)

式(24)顯然成立。令

(28)

因為a1<0，所以r<-a2/2a1時，f(r)是單調遞增的，故當-a2/2a1>0且f(0)≥0時，?r∈(0,-a2/2a1)使得f(r)>0成立，即Hi2為負定矩陣的充分條件為

(29)

(30)

式(29)顯然成立。由式(26)和式(29)可得

(31)

將式(19)變換為

(32)

(33)

因為

所以由式(32)可得

(34)

式中，λmin{·}和λmax{·}分別為矩陣的最小和最大特征值；‖·‖為歐式范數。

(35)

考慮如下Lyapunov函數

(36)

將式(36)對時間求導可得

(37)

(38)

由式(35)和不等式(|a|p+|b|p)1/p≤|a|+|b|,p>1可得

-(ρ1V1/2(D)+ρ2V(D))

(39)

式中,ρj=min{ξi j|i=1,2}。

根據引理1可知,滑模變量S在有限時間內收斂到平衡點0,收斂時間TS為

(40)

式中,D0為零時刻D的初值。

由S=0可知:

x1+K1|x1|αsign(x1)+K2|x2|βsign(x2)=0

(41)

令Z[a]=|Z|asign(Z),則式(41)可化簡為

(42)

根據引理2可知,系統狀態變量x1和x2在有限時間內可以收斂到平衡點零,即有限時間內視線角誤差和視線角速率可以收斂到零。狀態變量收斂時間Tx和系統收斂時間T分別為

(43)

(44)

所以式(5)的狀態變量x1和x2將在T時間內收斂到平衡點0。

證畢

3 仿真分析

本節通過高速機動目標彈道攔截仿真,驗證制導律AFSTSMGL的有效性和優越性。仿真參數設置為:初始彈目距離R(0)=6 000 m,初始視線傾角θL(0)=30°,初始視線偏角φL(0)=0°,導彈和目標初始速度傾角θM=10°、θT=20°,導彈和目標初始速度偏角φM=10°、φT=180°,目標初始速度VT=300 m/s,導彈初始速度VM=600 m/s,導彈初始位置xM=[0,0,0]T,導彈最大過載aZM=aYM=25g,重力加速度g=9.8 m/s2,仿真步長為0.001 s,當彈目相對距離|R|<1 m時,仿真結束。

同時為了更全面地分析AFSTSMGL的制導性能,在仿真中與FSTSMGL和非奇異終端滑模制導律[22](non-singular terminal sliding mode guidance law,NTSMGL)展開不同期望終端視線角的制導對比。NTSMGL表達式為

(45)

由于制導律魯棒項的符號函數會引起抖振問題,所以根據飽和函數法緩解抖振,將式(45)中sgn(S)替換成如下函數:

(46)

AFSTSMGL的參數設定為K1=0.05,K2=1,K5=diag{5,10},K6=18,K7=14.4,α=5,β=8/7,μ1=0.05,Ω1=0.01,η1=0.1;FSTSMGL的參數設定為K1=0.05,K2=1,K3=diag{0.37,0.46},K4=diag{0.01,0.02},K5=diag{10,10},α=5,β=8/7;NTSMGL參數設定為α=15/13,β=1.1,k=0.01,h=0.1,H=diag{0.3,1}。

考慮如下3種不同的期望終端視線角情形:

(1) (θLf,φLf)=(25°,5°)

(2) (θLf,φLf)=(35°,5°)

(3) (θLf,φLf)=(35°,10°)

圖2 三維攔截軌跡Fig.2 Three-dimensional interception trajectory

圖3 制導指令Fig.3 Guidance instruction

圖4 視線角Fig.4 Line-of-sight angle

圖5 視線角速率Fig.5 Line-of-sight angle rate

圖6 滑模面Fig.6 Sliding surface

表1 以期望終端視線角1攔截目標的仿真結果Table 1 Simulation results of intercepting target with expected

表2 以期望終端視線角2攔截目標的仿真結果Table 2 Simulation results of intercepting target with expected terminal line-of-sight angle 2

表3 以期望終端視線角3攔截目標的仿真結果Table 3 Simulation results of intercepting target with expected terminal line-of-sight angle 3

綜上可知,目標混合機動情形下,針對不同終端攻擊角需求,所設計的AFSTSMGL脫靶量較小,終端視線角誤差和系統收斂特性明顯優于其他方法,具有良好的魯棒性、較廣的終端攻擊角適應范圍和更高的攔截精度。

4 結 論

針對具有攻擊角約束的制導問題,基于非奇異快速終端滑模面和改進ST算法,設計了一種FSTSMGL,既避免了抖振,又保證了系統在有限時間內收斂。

針對外部干擾上界未知的情況,利用參數自適應增益實時在線估計干擾上界,設計了一種AFSTSMGL,能夠滿足對機動目標的精準攔截和終端攻擊角約束要求。自適應律的形式簡單,不影響系統有限時間內的收斂性能,提高了閉環系統的魯棒性。

通過與FSTSMGL和NTSMGL在3種不同期望終端視線角下的仿真對比,驗證了本文設計的AFSTSMGL制導性能的優越性、有效性和魯棒性,提高了制導的打擊精度和終端攻擊角約束的控制精度。