小回線瞬變電磁法多匝回線電感研究

連晨光，石顯新

（1.煤炭科學研究總院,北京100013；2.中煤科工集團西安研究院有限公司，陜西 西安710077）

瞬變電磁法（簡稱TEM 法）觀測純二次場，對低阻體敏感，對野外場地的適應能力強, 施工效率高,是探測與煤礦水害隱患有關的異常地質體的重要手段,在煤田水文地質勘探中得到廣泛應用。小回線瞬變電磁法對傳統瞬變電磁法的探測裝置進行了改進，采用邊長幾米（一般1～5 m）的多匝方形回線發射、同一回線接收或中心探頭接收的方式進行探測。由于小回線裝置受地形影響小、可在地面障礙物密集、施工場地狹小（如井下巷道）等地段進行有效探測，施工靈活方便，體積效應小，因此小回線瞬變電磁法在山地、隧道、煤礦井下及其他施工布置困難地區的含水地質異常體探測中得到廣泛應用，并取得了較好的效果[1]。為增加探測深度、提高抗干擾能力，小回線瞬變電磁法除盡可能增大發射電流外，一般通過增加回線的匝數進而增大發射磁偶極矩來實現。因此線圈自感和互感影響較突出。而多匝回線之間的自感和互感影響往往會造成瞬變電磁法測量早期信號嚴重失真[2]，導致計算的視電阻率普遍偏低，與實際情況嚴重不符。因此，準確計算出線圈的自感和互感，從而消除其影響對小回線瞬變電磁法探測具有重要意義。

關于回線電感的研究，國內外學者已經做了大量的研究。自感方面，Green House 將線圈看成同等長度的直導體，給出的回線自感互感表達式[3]，計算方便；《電感計算手冊》雖以簡化公式、圖表以及數據表的形式給出單匝矩形線圈自感表達式，但使用不便[4]；蔣邦遠、牛之璉給出了單匝矩形線圈自感計算公式[5,-6]，誤差極大；李文堯等推導出單匝矩形線圈自感精確解析式和近似式[7]；薛國強等以近似公式計算出了單匝線圈自感[8-9]；楊海燕等對多匝圓回線的自感互感計算公式進行了大量的研究，給出了多匝線圈電感的近似公式[10-12]；武中華等推導出圓形回線自感積分表達式，并用matlab 進行了數值計算，雖精度較高，但計算較為復雜[13]；羅垚、吳德會等采用有限元方法對矩形截面圓線圈自感進行研究，給出計算線圈自感的公式，提高了計算速度[14-16]。在回線互感方面，Christian Peters 等基于畢奧薩伐爾定律計算出回線的互感，只能直接計算出整個回線的互感[17-18]；嵇艷菊、劉洋等則利用Neumann 公式計算出了回線的互感，可以計算回線部分電感，進行累加求出回線的總互感[19-22]。

但目前對多匝回線自感互感常用公式的準確性比較與適用性分析少有人研究，因此總結目前常用的的多匝回線自感互感計算公式，主要包括圓形回線自感計算、矩形回線自感計算、互感計算3 個方面，比較分析現有公式的自感互感值及其誤差，以便選出準確的公式來計算小回線電感，為小回線瞬變電磁法電感影響的消除提供依據。

1 多匝回線自感計算公式

在瞬變電磁法中，回線的自感參數主要應用于局部導體晚期瞬變電磁場的等效計算、接收線圈固有過渡過程計算、關斷時間計算及其瞬變電磁儀器研制方面[6]。

線圈自感的計算有數值解法和解析解法，解析解法又分為近似解析解和精確解析解2 種[7]。

1.1 矩形回線自感計算公式比較

利用蔣邦遠、牛之璉、楊海燕、Green House、薛國強、李文堯等學者給出的矩形回線自感計算公式[2-3,5-7,9,11]，在導線半徑為0.001 m，線圈匝數為1，回線邊長為1～5 m 的方形單匝線圈下，以李文堯給出的矩形回線自感解析公式作為理論值，計算其余公式自感值及其相對誤差，方回線自感值及自感誤差見表1。

表1 方形回線自感值及自感誤差Table 1 Error of self-inductance of square loop

通過matlab 計算發現，文獻［6］和文獻［9］中公式的計算結果與理論值相差多個數量級，因此不在表1 中出現，不建議使用。從表1 中可以看出，計算的方形回線自感值都會隨著線圈邊長的增大呈現線性增大的趨勢。文獻［5］中公式計算的自感值與理論值相差多個數量級，誤差大。

從表1 中可以清晰地比較出各個公式與理論值的誤差百分比，當方形線圈邊長為1～5 m 范圍內，文獻［2］中公式相對誤差為－3.60%～－5.28%，文獻［3］中公式相對誤差為30.36%～23.96%，文獻［7］中近似式相對誤差為－0.43%～－0.40%。

因此，可以得出計算方形線圈自感值可以采用文獻［2］和文獻［7］中給出的公式。

1.2 圓形回線自感計算公式比較

利用楊海燕、李文堯、Green House 等學者給出的圓形回線自感公式[3,7,11]，在導線半徑為0.001 m，線圈匝數為1,半徑為1～5 m 的圓回線，利用楊海燕給出的圓回線自感公式自感值作為理論值，計算其余公式自感值及其相對誤差。圓回線自感值及自感誤差見表2。

表2 圓回線自感值及自感誤差Table 2 Error of self-inductance of circular loop

從表2 中可以看出，隨著圓回線半徑的增加，自感值也呈線性增加，與矩形回線類似。文獻［11］和文獻［7］中的公式計算出的圓回線自感值相差較小。在半徑為1～5 m 的范圍內，文獻［7］中根據矩形自感公式利用圓回線和方回線等磁距求得的計算公式，誤差為－0.6%～1.67%。文獻［3］則是將圓回線看成長度相同的直導體，誤差為在11.34%～9.31%,誤差相對較大。

因此,可以得出文獻［11］和文獻［7］中的公式可以作為計算圓回線自感的計算公式。

2 小回線互感計算

任何2 個線圈之間都存在互感，互感系數有線圈的幾何形狀、尺寸、匝數及線圈之間的相對位置決定[23]。回路電感和部分電感是計算線圈之間互感的2 種主要方法[24]。回路電感即直接計算出整個回線的互感，主要利用畢奧薩伐爾定律進行計算，如楊海燕、Christian Peters、Yuhua Cheng 等給出的回線互感計算公式[11,17-18]。部分電感則是將發射回線和接收回線分為多個部分，利用Neumann 公式等分別就算出這些部分之間的互感，累加求出回路互感值，如嵇艷菊、劉洋、Hadi Tavakkoli、Salahuddin Raju 線圈互感的計算公式[19-22]。

研究矩形回線互感公式，為了方便計算，將其設置為方形回線，設置2 個平行的邊長相等的方回線，回線邊長為1～5 m，導線半徑為0.001 m，匝數N=1，2 個回線距離z＝0.001 m，比較各個公式計算出的互感值，同時以Yuhua Cheng 給出的公式計算的互感值作為理論值，計算其余公式的相對誤差，方回線互感及互感誤差見表3。

表3 方回線互感及互感誤差Table 3 Error of mutual inductance of square loop

由表3 可知，隨著方回線邊長的增加，回線之間的互感值逐漸增加。文獻［18］和文獻［19］中給出的計算公式計算結果誤差極小，幾乎重合。而文獻［17］和文獻［21］中的公式計算的互感值差距較大，相差約1 個數量級。文獻［17］中公式的相對誤差在邊長為1～5 m 的范圍內，誤差達到－89.550 000%～－30.840 000%，文獻［21］中的公式的相對誤差為－55.070 000%～－54.110 000%，誤差極大，不適用，而文獻［18］中公式的相對誤差小于1%。

因此在計算平行方形回線互感時，可以采用文獻［18］和文獻［19］中的計算公式。

為研究圓回線互感公式，設置2 個平行的半徑相同的回線，回線半徑為1～5 m，導線半徑0.001 m，匝數N=1，2 個回線距離z＝0.001 m，比較各個公式計算出的互感值，以文獻［11］中給出的解析公式計算的互感值作為理論值，計算與近似公式及其文獻［22］公式的相對誤差。圓回線互感及互感誤差見表4。

表4 圓回線互感及互感誤差Table 4 Error of mutual inductance of circular loop

從表4 中可以看出，當兩平行圓回線之間距離時，文獻［11］近似公式與解析式計算出的結果相差很小，但文獻［22］對橢圓積分進行級數展開時所得的近似公式存在較大誤差。從表4 中得到，在半徑為1～5 m 時，文獻［11］中近似公式誤差在－3.88%～－4.73%，文獻［22］中近似公式誤差達到－86.55%～－88.97%，誤差極大，不適用，因此在計算圓形線圈互感時可以選用文獻［11］中的公式。

回線總電感為所有回線的自感與回線之間互感的和[25]：

式中：LT為回線總電感；n 為線圈匝數；Li為線圈自感；Mij為回線互感。

3 結 語

在考慮實際多匝回線大小（邊長或半徑為1～5 m）的前提下，計算了圓回線和方回線不同計算公式所計算出的自感式互感值，并分析其相對誤差，發現當邊長為1～5 m 的方回線，利用文獻［2］和文獻［7］中的公式來計算其自感誤差小于5%，文獻［18］和文獻［19］計算其互感較準確。當半徑為1～5 m 時的圓回線，利用文獻［7］和文獻［11］公式計算自感，其誤差小于5%，利用文獻［11］中的計算公式計算互感較準確。

在礦井瞬變電磁中，計算多匝回線的自感互感，往往忽略了導線的寬度、厚度、截面形狀、纏繞方式等影響，在做精細測量中，應該給予考慮。同時，在實際生產活動中，不僅要準確計算出多匝回線的互感自感，也要分析回線電感隨時間的變化規律，而目前根據RCL 等效電路分析給出的自感電流電壓的時間域方程，未考慮到地質體典型特征的影響，應進行理論研究和分析。