淺水波波速公式的推導

張利國

(北京交通大學附屬中學 北京 100081)

周慶莉

(首都師范大學物理系 北京 100037)

1 “波的折射”在新教材出現

區別于舊版高中教材，在2020年人教版新教材選擇性必修第一冊第三章第3節“波的反射、折射和衍射”一課中，增加了“波的折射”的相關內容，并利用發波水槽演示了波的折射現象．

在演示波的折射現象的實驗中，一般是調整水深，使一列水波在深度不同的兩個區域傳播，讓學生們觀察交界面處的折射現象，如圖1所示．

圖1 演示交界面處的折射現象

根據惠更斯原理，在不同的介質中，波的傳播速度發生了變化，導致傳播方向發生偏折，有的學生在觀察實驗的過程中不禁產生疑問，水深和波速之間有什么關系呢？

2 簡諧波的波函數與一維線性波動方程

波函數和波動方程都可以定量地描述任意時刻離波源任意距離處的質點的振動情況，設有一列平面簡諧波沿x軸傳播，如圖2所示，振動方向均沿ξ坐標軸方向，平面簡諧波振動量ξ是位置x和時間t的函數，即有ξ=ξ(x,t)．取O點為坐標原點，其振動方程為ξ(0,t)=Acos(ωt+φ)，其中A為振幅，ω為角頻率，φ為初相位．若波在介質中的傳播速度為v，則在傳播方向上坐標為x的質點的振動波函數為

(1)

其一維線性波動方程為

(2)

式(1)所表示的波函數在高中階段使用更為普遍，為簡諧波的運動學方程，波的形成有其動力學原因，分析介質的動力學結構，可以推導出式(2)所示的波動方程，二者都可以來描述簡諧波的規律．

圖2 一列平面簡諧波沿x軸傳播

3 淺水波的波速公式

3.1 淺水波

設水面到水底的深度h，水波的波長為λ，一般把h?λ的水波稱為淺水波．

3.2 研究對象的界定

如圖3所示，在近水底處沿質點水平振動方向設置x軸，無波動時取x到x+dx一小段水柱作為研究對象，設該水柱在垂直于xz平面方向的厚度為b．有波動時，側面x和x+dx的水平位移分別記為ξ(x,t)和ξ(x+dx,t)，側面x和x+dx的豎直方向的升高量分別記為η(x,t)和η(x+dx,t)．

圖3 確定研究對象

我們僅討論液體體積不可壓縮的情形，即小水柱體積不變，有

bhdx=b[h+η(x,t)]·

[dx+ξ(x+dx,t)-ξ(x,t)]

(3)

約分得

整理得

(4)

推導中考慮到η(x,t)?h，有

(5)

對x求偏導有

(6)

3.3 小水柱的受力情況分析

水柱在水平方向的振動加速度是由兩側重力壓強形成的壓力差提供．在圖2中，A和B兩處的壓強同為大氣壓p0，因為豎直升高高度的不同，接近水面處的上表面不平，水柱水面處水平方向的壓力為p0b[η(x+dx,t)-η(x,t)]，水柱接近水底處的壓強也不同，左側面AA0壓強分布和右側BB0段分布相同，B0B1段的壓強可以近似為p0+ρgh．水柱水底處水平方向的壓力為

F=(p0+ρgh)b[η(x+dx,t)-η(x,t)]

水柱沿x方向所受的凈壓力為

dFx=p0b[η(x+dx,t)-η(x,t)]-

(p0+ρgh)b[η(x+dx,t)-η(x,t)]

(7)

dFx=-ρghb[η(x+dx,t)-η(x,t)]

將式(6)代入，有

(8)

3.4 對小水柱列動力學方程

根據質心運動定理dF=dma，其中

dm=ρdV=ρhbdx

(9)

整理得

(10)

對比式(2)所示一維線性波動方程

求得

其中h為水深，推導完畢．