用GeoGebra 軟件設計李薩如圖形仿真平臺*

喬永海

(惠州市實驗中學 廣東 惠州 516008)

大學物理基礎實驗是理工科學生的必修基礎課程，針對李薩如圖的實驗教學是重要的基礎實驗之一．目前，觀察李薩如圖形時，常借用兩臺單獨的信號發生器產生正弦信號送入示波器來實現，由于示波器工作機制的限制，各分振動的初相位不可控制，這樣做很難得到穩定的、不同相位差、不同頻率比的李薩如圖形．

為了解決上述困難，科研工作者開發出仿真模擬平臺供教師的教學和學生的實驗體驗所用．基于LabVIEW的李薩如圖仿真平臺、基于Matlab_GUI的李薩如圖形仿真平臺[1]、 基于Labview 虛擬儀器平臺等，這些仿真平臺經過熟悉相關軟件的科研工作者編寫，生成可以獨立運行的工具，供教師和學生使用．

GeoGebra是一款功能強大的數學軟件，用該軟件制作李薩如圖仿真平臺，只需要一個工具和一組代碼，制作非常便捷，功能卻十分強大．學生可以利用GeoGebra 自制“教具”來探究規律，對學生的綜合素質培養有重要意義．

1 原理

簡諧振動是物體振動的最基本形式．在一定條件下，兩列相互垂直的振動疊加形成李薩如曲線．兩個傳播方向相互垂直的簡諧波的振動疊加時，如果兩列波的傳播頻率比值成簡單整數比時，兩列波的合成軌跡是規則的圖形，叫李薩如圖形(Lissajous-Figure)．

x方向的振動方程為

x=A1cos(n1ωt+φ1)

(1)

y方向的振動方程為

y=A2cos(n2ωt+φ2)

(2)

為了簡化操作和圖形的對稱性，我們設A1=A2=1，由于我們主要關注相位差，因此，設φ2=0，φ1=Δφ,ω=1．

上述式(1)、(2)分別簡化為

x=cos(n1t+Δφ)

y=cos(n2t)

下面我們開始創建李薩如圖形模擬平臺．操作非常便捷，只用一個工具和一組代碼，就可以創建一個可控的李薩如圖仿真平臺，該平臺可以控制兩個振動的頻率和相位差而獲得相應的李薩如圖形．

2 制作過程

打開GeoGebra 軟件，窗口如圖1所示．初次接觸該軟件的讀者要熟悉它的界面，便于后續的操作．

圖1 GeoGebra窗口

2.1 創建滑動條

2.1.1 創建控制相位差的滑動條

選擇“滑動條”(圖1中工具欄第10個)，點擊繪圖區，出現屬性對話框，選擇“角度”，默認名為α，可以不改動，用它代替相位差Δφ，如圖2所示，點擊“確定”．

圖2 創建控制相位差Δφ的變量

2.1.2 創建控制x和y方向振動頻率的滑動條n1

選擇“滑動條”，名稱欄內輸入n_1：點擊繪圖區，出現屬性對話框，選擇“數字”，3個輸入框中，最小值輸入1，最大值輸入8，增量輸入1．

再次選擇“滑動條”，名稱欄內輸入n_2：點擊繪圖區，出現屬性對話框，選擇“數字”，3個輸入框中，最小值輸入1，最大值輸入7，增量輸入1．

2.2 繪制李薩如圖

在GeoGebra的命令欄(圖1的最下部)內輸入如下代碼便可產生李薩如圖．

曲線[cos(n_1*t+α),cos(n_2*t),t, 0, 2π]

代碼輸入提示：除了中文，其他要在半角下輸入．符號“_”是下角標標示符號，用“Shift+ -”輸入．

繪圖區出現李薩如圖，如圖3所示．點擊“平移”工具(如圖1工具欄第一個)，然后點擊繪圖區，隱藏坐標和網格，把李薩如圖移動到合適位置．也可以改變李薩如圖的線條粗細和顏色．

圖3 李薩如圖

先點擊“平移”工具，再點擊α滑動條，右鍵，在下拉菜單里勾選“啟動動畫”，看到相位差逐漸變大時動態的李薩如圖．通過拖動n1和n2來改變x和y方向振動的角頻率值，觀察圖形變化．需要靜態圖形時，點擊繪圖區左下角的“啟動、暫停”按鈕．至此，我們就制成了頻率比和相位差可控的李薩如圖模擬實驗平臺．

3 探究李薩如圖和頻率的關系

在電工和無線電技術中，可以利用示波器觀察李薩如圖，根據已知振動波頻率和相位，來測定未知振動波的頻率和相位差．下面我們尋找如何從多變的李薩如圖中尋找頻率比的方法．

3.1 獲得一組李薩如圖

把圖2的“增量”改為45°后通過拖動滑動條改變Δφ,n1，n2，獲得不同的李薩如圖，如圖4所示．

圖4 不同頻率比和相位差的李薩如圖

3.2 探究頻率比和李薩如圖的關系

3.2.1 探究1

如圖5所示的兩個圖形，可以看出如下規律：n1的大小和李薩如圖左、右側的“峰”的個數相同，n2的大小和李薩如圖上下側的“峰”的個數相同．可以歸納出如下規律：x方向的振動頻率和y方向的振動頻率之比等于李薩如圖左(右)側和上(下)側“峰”的個數的比值．

圖5 不同頻率比和相位差為90°的李薩如圖

3.2.2 探究2

如圖6所示，頻率比為4∶3和8∶6的李薩如圖是相同的．因此，頻率比要進行約分后得到頻率比的不可約分數，該不可約分數和“峰”數比值才相等．可以進一步完善規律的表述：x方向的振動頻率和y方向的振動頻率的比值(不可約分數)等于李薩如圖左(右)側和上(下)側“峰”的個數的比值．

圖6 頻率比相同的李薩如圖相同

3.2.3 探究3

李薩如圖有曲線“不閉合”現象，如圖7所示．我們發現，一根線要計數1，一個“峰”要計數2，這樣“峰”數比和頻率比才能相等．為什么呢？下面我們繼續探究．

圖7 不閉合的李薩如圖

以頻率比為5∶4的李薩如圖為例，相位差每隔15°截取一圖形，如圖8所示．從動態的李薩如圖中可以觀察到一個現象，好像一簇線條在“三維空間”里繞豎直軸轉動，當“前后”的線條出現遮蔽時就出現了線條不閉合的現象，如圖8的右邊3圖，這些有端點的線條實際是一個“峰”，從側面看變成線了．圖中的一個“峰”背后“遮擋”另外一個“峰”，因此，當遇到李薩如圖的有端點圖線時，我們的計數方法是：一根“斷線”計數1，一個“峰”計數2．

圖8 頻率比為5∶4相位差不同的李薩如圖

GeoGebra既有電腦版，還有網頁版和手機版，讀者可以在網頁或手機上制作李薩如圖，探究其變化規律，為實驗操作做準備[2，3]．