從牛頓第二定律到伯努利的F=ma

張鴦麗

(浙江省玉環(huán)中學(xué) 浙江 臺(tái)州 317600)

姚珩

(閩南師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院 福建 漳州 363000)

經(jīng)典物理學(xué)以經(jīng)典力學(xué)為基礎(chǔ)，經(jīng)典力學(xué)則以牛頓的外力、第二定律為核心，但牛頓第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式F=ma并非由牛頓本人所提出，然全世界的中學(xué)大學(xué)物理教科書(shū)都將牛頓第二定律寫(xiě)成F=ma，卻都沒(méi)有指出它的來(lái)源，容易給學(xué)生或教師誤以為它就是牛頓寫(xiě)下來(lái)的；并且對(duì)該式到底是有關(guān)力的定義，還是定律，也模糊不清.那么牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律的原意是什么？牛頓是如何看待“力”？明白這些問(wèn)題，對(duì)經(jīng)典力學(xué)的理解，教材掌握與教法呈現(xiàn)，將有所幫助.

1 牛頓之前的力概念——力、沖力、慣性力與離心力

對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的探討最早始于古希臘，他們認(rèn)為物體下落是重物的本性，因任何變化皆有其目的，重物運(yùn)動(dòng)的目的便是朝向世界的中心——地心，此種運(yùn)動(dòng)稱為自然運(yùn)動(dòng).違反自然運(yùn)動(dòng)的稱為受迫運(yùn)動(dòng)，如石頭的上拋，這種運(yùn)動(dòng)必須要有推動(dòng)者給予力，才能發(fā)生.因此，從最初運(yùn)動(dòng)問(wèn)題便與力相關(guān)，力不是用來(lái)討論物體的形變而生.

他們還認(rèn)為推動(dòng)者一定要靠接觸，才能將力傳遞出去，為了要解決拋出石頭后不必接觸而能繼續(xù)運(yùn)動(dòng)下去的困難，經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)時(shí)間，直到中世紀(jì)晚期才有科學(xué)家提出：運(yùn)動(dòng)的物體可從推動(dòng)者獲取讓它能維持運(yùn)動(dòng)下去的動(dòng)力，此動(dòng)力稱為“沖力”.

17世紀(jì)初，笛卡爾保留了沖力的觀點(diǎn)，并以“運(yùn)動(dòng)物體的力”來(lái)代表，提出：“每一物體，受其自身的力，將一直維持于相同的狀態(tài)；一旦它運(yùn)動(dòng)后，則將繼續(xù)運(yùn)動(dòng)下去.”運(yùn)動(dòng)物體的力已不是來(lái)自于推動(dòng)者的作用，笛卡爾認(rèn)為物體會(huì)攜帶運(yùn)動(dòng)力，是由于最初運(yùn)動(dòng)的物體借著碰撞所傳遞出來(lái)的.對(duì)他來(lái)說(shuō)，力只有一種，就是運(yùn)動(dòng)力，也就是后人所稱的慣性力.

惠更斯支持笛卡爾所主張：運(yùn)動(dòng)物體總是會(huì)沿著直線方向，因此“在圓周上運(yùn)動(dòng)的物體總會(huì)試著離開(kāi)圓心，回到原來(lái)的直線上”.這種離開(kāi)圓心的趨勢(shì)，惠更斯于1659年首次稱它為“離心力”.如圖1所示，物體自A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)，則物體在B點(diǎn)上具有回復(fù)到C點(diǎn)的趨勢(shì)，BC長(zhǎng)度可代表離心力的大小.

圖1 惠更斯提出的離心力的圖示

惠更斯在所著《論離心力》一書(shū)中，精確地指出離心力大小與速度平方成正比，與半徑成反比.雖然他沒(méi)寫(xiě)下計(jì)算式，但此發(fā)現(xiàn)則是物理學(xué)史上首次以明確的量化形式表示出力概念，對(duì)牛頓以及后來(lái)的物理學(xué)影響很大.此外，在這特別該注意的是：離心力與速度的變化無(wú)關(guān)，它是以長(zhǎng)度、距離或位置的變化來(lái)表示.

2 牛頓的離心力與圓周運(yùn)動(dòng)

牛頓年輕時(shí)依循著惠更斯的思維，將惠更斯的的結(jié)果用自己的方法，于1669年在《論圓周運(yùn)動(dòng)》一書(shū)中寫(xiě)下非常重要的規(guī)律[1]：在時(shí)間AB中，物體B離開(kāi)圓心O的離心趨勢(shì)與離開(kāi)圓周的距離BC成比例，……有如在無(wú)阻力作用時(shí)，相對(duì)物體在此段時(shí)間可自由沿著切線移動(dòng)，兩者所造成的變化距離(如圖1)，且

此規(guī)律是促成牛頓日后發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力的重要參考，且在此時(shí)牛頓是接受惠更斯的做法，以距離或長(zhǎng)度來(lái)代表力.

3 牛頓的向心力與外力

胡克是首位不依循笛卡爾與惠更斯的離心趨勢(shì)觀點(diǎn)的人，1666年他發(fā)表的兩篇論文中提出“吸引屬性”.并于1679年邀請(qǐng)牛頓參與討論會(huì)，向他提到此種朝向中心的趨勢(shì)，當(dāng)時(shí)牛頓還回信說(shuō)從未聽(tīng)過(guò)此觀點(diǎn).直到1684年，在回應(yīng)哈雷的拜訪與提問(wèn)后，寫(xiě)下《論運(yùn)動(dòng)》的小冊(cè)書(shū)，第一次提到向心力[1]：

定義1 物體被推動(dòng)或吸引，朝向中心點(diǎn)的力，稱為向心力.

唯有在此概念下，萬(wàn)有引力方有可能被發(fā)現(xiàn).向心力的應(yīng)用非常廣泛，如落體、勻速圓周與橢圓運(yùn)動(dòng)全部都是受到向心力的作用.

1686年牛頓在其巨著《原理》中，才首次出現(xiàn)除“慣性力”與“向心力”以外的“力”[2]：

定義4 外力是施加在物體上，用來(lái)改變其靜止或等速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的作用.

由此敘述可知，在牛頓心中，力不是物體的質(zhì)量與加速度的乘積，不是物體的重量，不是推力、拉力或彈力，它是與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)的概念，是一種造成物體運(yùn)動(dòng)有所變化的影響或效果，它更是揭開(kāi)自然現(xiàn)象的關(guān)鍵概念.

4 牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律呈現(xiàn)于1686年

4.1 不使用第二定律仍可得到面積律與距離平方反比律

1684年，牛頓只有向心力概念，尚無(wú)外力一詞，也沒(méi)有第二定律，但他在當(dāng)年《論運(yùn)動(dòng)》著作里卻可得到以下重要結(jié)果[1]：

定理1：在向心力作用下，運(yùn)動(dòng)物體與力心連線描繪出的面積正比于時(shí)間.

此定理意謂開(kāi)普勒面積定律是因行星受到向心力作用所致，它也是日后《原理》中的第一個(gè)定理，其重要性不可輕忽.牛頓此時(shí)是如何在不知道第二運(yùn)動(dòng)定律之下，發(fā)現(xiàn)出來(lái)此重要規(guī)則？他主要是利用了伽利略在平面運(yùn)動(dòng)上位移合成的想法與主張：

力的作用 = 在給定時(shí)間所產(chǎn)生的位移或速度

以此來(lái)表示力作用的效果，由此提出了重要的預(yù)備定理(圖2)[1].

預(yù)備定理1：二力(如AB,AC)合成在某段時(shí)間作用在物體上的結(jié)果為一平行四邊形的對(duì)角線(AD)，其兩邊為各分力在同一時(shí)間下的作用.

將此定理運(yùn)用在受向心力作用的平面運(yùn)動(dòng)物體上時(shí)，最初慣性力AB作用下所造成的物體位移Bc(圖3)，與在B處同時(shí)受到向心力(或脈沖力impulse)F作用造成的效果Bb，二力的合成作用為對(duì)角線BC，此時(shí)cC//BS，故面積△SAB=△SBc=△SBC. 而證得定理1.

圖3 慣性力與向心力合成的作用結(jié)果

他接著使用相同的合成方法，而非第二運(yùn)動(dòng)定律，在《論運(yùn)動(dòng)》中證出:做橢圓運(yùn)動(dòng)物體所受之向心力與物體至焦點(diǎn)的距離平方成反比.由此可看出，牛頓在此時(shí)的力概念只有兩個(gè)：慣性力與向心力，尚無(wú)外力的觀點(diǎn)，且他還不清楚日后的第二運(yùn)動(dòng)定律，也不明白物體做平面運(yùn)動(dòng)的加速度是何意，又該如何描述，但他此時(shí)已快得到行星運(yùn)動(dòng)所受的萬(wàn)有引力形式了.

4.2 第二定律的提出與使用

兩年后，牛頓做了很大的改變，他引入了第二個(gè)新概念——外力，如前第3節(jié)的定義4所述，并在《原理》中寫(xiě)下他劃時(shí)代的第二運(yùn)動(dòng)定律[2]：

定律Ⅱ公理Ⅱ：運(yùn)動(dòng)量的變化與外加的動(dòng)力(或外力)成比例，且運(yùn)動(dòng)量的變化是沿著外力的直線方向上.

其中“運(yùn)動(dòng)量”也就是現(xiàn)在所說(shuō)的動(dòng)量，而“運(yùn)動(dòng)量的變化”不是惠更斯于1659年所言回到慣性運(yùn)動(dòng)上的位移.反之，它是從原初的動(dòng)量(也可視為速度或位移)，指向后來(lái)的動(dòng)量.亦即在第二定律里出現(xiàn)了兩個(gè)前所未有的概念——“動(dòng)量變化”與“外力”，這是其他物理學(xué)家，甚至之前的牛頓本人，從未想過(guò)或使用過(guò)的方法.

牛頓在與友人的信中曾以簡(jiǎn)圖4表示：物體做曲線運(yùn)動(dòng)，從A運(yùn)動(dòng)到b，則運(yùn)動(dòng)量的變化為ab，其大小與作用“在原來(lái)A處”的外力成正比，且方向相同，這就是第二定律的全部意義.其內(nèi)涵卻相當(dāng)新穎，完全創(chuàng)新，這種“動(dòng)量或運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變，以及如何將它量化”是牛頓全新的觀點(diǎn)，它使用此定律推導(dǎo)出《原理》一書(shū)中許多有用結(jié)果，也推導(dǎo)出:若物體受到與距離平方成反比的外力，物體將做橢圓或雙曲線運(yùn)動(dòng).從此，第二定律所揭示分析運(yùn)動(dòng)的方法，對(duì)日后物理學(xué)家探討運(yùn)動(dòng)的思維，起了巨大的指導(dǎo)作用與貢獻(xiàn).

圖4 牛頓第二定律重要示意圖

牛頓自此已傾向于不用慣性力，他認(rèn)為物體由A到a是初動(dòng)量或初狀態(tài)，而不說(shuō)是受到慣性力作用.他也不用二力——慣性力與向心力的合成，而是反過(guò)來(lái)，由動(dòng)量變化或加速度，去尋找外力的數(shù)學(xué)形式.

現(xiàn)以《原理》中定理1的論證內(nèi)容，來(lái)對(duì)比《論運(yùn)動(dòng)》中定理1的證明方法(如4.1節(jié)與圖3所述)，可初步體會(huì)1686年時(shí)牛頓是如何引用他的第二運(yùn)動(dòng)定律，與處理物體動(dòng)量變化的方法:

定理1 做環(huán)繞運(yùn)動(dòng)的物體，其指向穩(wěn)定力心的直線所掠過(guò)的面積位于同一平面上，且正比于時(shí)間.

證明:在不受外力作用下，于相同時(shí)間間隔下，物體在A與B處的動(dòng)量，可以長(zhǎng)度AB與Bc表示，且AB=Bc.若在B處，物體受到外力作用，且指向力心S，造成物體在B點(diǎn)的動(dòng)量為BC，物體的動(dòng)量變化為cC，由第二定律，cC//BS，故面積△SBc=△SBC(同底同高)，如圖5，而得證.

圖5 以第二運(yùn)動(dòng)定律證明面積定律

第二定律最大的特色是在處理非直線的平面運(yùn)動(dòng)，如圓、拋物線或橢圓.對(duì)這些運(yùn)動(dòng),在牛頓之前無(wú)人曾提及物體動(dòng)量(或速度)變化的明確意義. 一般人或許不難理解直線運(yùn)動(dòng)上的速度變化或加速度，因兩者都會(huì)在同一直線上，但做平面運(yùn)動(dòng)的加速度為何是牛頓所規(guī)定的方式：由初速度的端點(diǎn)指向末速度的端點(diǎn)，這是牛頓獨(dú)創(chuàng)的觀點(diǎn)，是相當(dāng)關(guān)鍵與困難的一步.教學(xué)者宜謹(jǐn)慎對(duì)待，并予以強(qiáng)調(diào).

命題11:做橢圓運(yùn)動(dòng)的物體必受到至交點(diǎn)距離平方反比的外力作用.

5 伯努利首次寫(xiě)下f=ma

《原理》一書(shū)使用了大量幾何圖形的論證方式，一般人不易讀懂.瑞士數(shù)學(xué)家伯努利于1736年發(fā)表了《關(guān)于光如何傳播的物理和幾何研究》，他在書(shū)中描述了光傳播的驚人速度，也確信大自然中存在著高速運(yùn)動(dòng)的物體，并嘗試著解釋光傳播的相關(guān)現(xiàn)象.他認(rèn)為力是一個(gè)決定性因素，力或多或少可移動(dòng)一些物體，并且在作用了一段時(shí)間后，都會(huì)在所作用的物體上產(chǎn)生一個(gè)加速度.他寫(xiě)下如圖6所示一段話.[3]

圖6 伯努利第一次寫(xiě)下f=ma

原意為:為求更好的了解，只需要確信所解釋的動(dòng)力實(shí)際上是物體的質(zhì)量和所施予加速度的組合；它意味著通過(guò)命名動(dòng)力f，物體質(zhì)量m和加速度a，就可以得到f=ma.

這便是歷史上第一次清楚以f=ma的形式來(lái)表示牛頓第二定律的數(shù)學(xué)式，之后它也成為世上普遍使用的寫(xiě)法. 它大大簡(jiǎn)化了牛頓的幾何作法，帶來(lái)許多方便，伯努利也使用第二定律的代數(shù)方式開(kāi)啟探討流體運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象.由于它簡(jiǎn)單，容易操作，在教學(xué)上有不少方便，學(xué)生們也可朗朗上口，這是伯努利很大的貢獻(xiàn).

6 討論與結(jié)論

每位物理教師都非常熟悉的牛頓第二定律f=ma，并非只是以“力是產(chǎn)生加速度的原因”或“物體所產(chǎn)生的加速度與外力成正比”，就可呈現(xiàn)出其深刻意義.回顧與明白上述的發(fā)展過(guò)程，可以更豐富教師的教學(xué)內(nèi)涵:

(1)力——何謂力？是彈力、摩擦力或是一種變形？牛頓并未如此說(shuō)，他最初只有慣性力與向心力的概念，最后才加上外力，他所謂的“力”是為了改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的作用，該如何以數(shù)值或幾何方式「量化」外力，是他的首要工作.

(2)動(dòng)量變化或加速度——在直線上運(yùn)動(dòng)的加速度就是速度之差，但是平面運(yùn)動(dòng)的加速度如何求得？牛頓之前無(wú)人知道，也沒(méi)人如此去描述.牛頓首先規(guī)定平面上的加速度是由初速端指向末速端，開(kāi)啟了全新的論證方式.

(3)目的——提出f=ma的目的就是牛頓所言“從運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象去研究自然界中的力，然后從這些力去說(shuō)明其他自然現(xiàn)象”[2]，當(dāng)f=ma中的f未知時(shí)，物理學(xué)家便試著由運(yùn)動(dòng)軌跡中的加速度去尋找力的數(shù)學(xué)形式.相對(duì)地，若f已知，則可由第二定律，描繪出運(yùn)動(dòng)軌跡.

牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律是經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)，了解它背后形成過(guò)程的曲折與創(chuàng)新，對(duì)牛頓力學(xué)的結(jié)構(gòu)可以有更清晰的體會(huì)與掌握.力不是推力與拉力的延伸，它是為了要描述行星與落體運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的一致性而被提出的；其中如何描述在平面上運(yùn)動(dòng)物體的加速度，則是牛頓很關(guān)鍵的突破；后來(lái)的伯努利以f=ma把牛頓的物理精華濃縮成為常人能解的一種標(biāo)準(zhǔn)范式.