二維FM系統的同時故障檢測與控制

吳小雪 丁大偉 任瑩瑩 劉賀平

二維系統與現代過程控制密切相關,在污水處理、多維數字濾波器、衛星氣象云圖分析、圖像處理等領域有廣泛的應用[1?2].由于二維系統具有豐富的工程物理背景,至今仍是控制領域的研究熱點之一.近年來二維系統的分析和控制器設計方面取得了諸多成果,如文獻[3]給出了二維離散線性模型的穩定性判據,文獻[4]給出了二維離散系統的狀態反饋控制器設計方法.在此基礎上,二維系統的濾波器設計、H∞控制等問題也得到了深入研究[5?6].

另一方面,現代工業過程對于系統安全性和可靠性的要求日益提高,因此故障檢測與故障診斷問題越來越受到重視[7?10].與一維系統相比,二維系統由于結構復雜,其故障檢測濾波器/觀測器的設計難度更大,需要提出新技術解決設計過程中遇到的非凸問題.此外,二維系統的殘差評價函數以及閾值的設計亦不同于一維系統,需根據二維系統的特點構造合適的殘差評價函數及閾值.因此,研究二維系統的故障檢測問題是非常必要的,也是存在挑戰的.然而,現有文獻的研究成果相對較少,其中文獻[11?13]研究了二維系統的故障檢測問題,采用了全頻設計方法,即沒有考慮故障發生的有限頻信息;文獻[14]研究了二維Roesser 系統在傳感器失效情況下的故障檢測問題;文獻[15]研究了二維FM 系統的故障檢測問題.

文獻[16]指出,系統設計時控制單元和故障檢測單元是相互關聯和作用的,如果將控制單元和故障檢測單元分開設計,容易忽視兩個單元間的關聯性:設計控制單元時容易影響故障檢測效果,而設計故障檢測單元時可能會影響控制效果.解決該問題的方法之一是采用集成設計策略,一方面可減少設計步驟,一定程度上降低設計的復雜度[17];另一方面,集成設計可以考慮控制單元和故障檢測單元的關聯性和相互作用,即兼顧和平衡控制性能和故障檢測性能.此外,集成設計也有助于在控制器中結合容錯特性[18].目前,集成設計的研究成果主要集中在一維系統[19],二維系統的相關研究成果較少[20].FM 模型作為一類重要的二維系統模型,其同時故障檢測與控制方法具有一定的理論意義和實際應用價值,但該研究未見相關報道,這是本文的研究動機之一.

本文研究二維FM 系統的同時故障檢測與控制問題,采用有限頻性能指標刻畫故障和干擾信號的有限頻特性,提出構造切平面方法和兩步算法來解決設計過程中出現的非凸問題.本文所設計的故障檢測濾波器/控制器可以同時實現控制功能和故障檢測功能.此外,以往研究成果常采用遞增的殘差評價函數,故障被排除后容易產生故障誤報.本文針對二維系統的故障檢測問題,采用新的殘差評價函數,可降低故障誤報率.

1 系統模型

考慮如下二維離散FM 模型[21]:

其中,xxx(i,j)∈Rn為狀態向量,ddd(i,j)∈Rnd為外部擾動,fff(i,j)∈Rnf為故障信號,yyy(i,j)∈Rny為測量輸出,zzz(i,j)∈Rnz為被控輸出,A1,A2,Bu1,Bu2,Bf1,Bf2,Bd1,Bd2,C,Dd,Df,E,Fu為已知的具有適當維數的常數矩陣.

注1.對于FM 模型,由于狀態向量xxx(i+1,j+1) 可以看做i方向上對xxx(i,j+1) 或者是在j方向上對xxx(i,j+1)進行的一步前移運算,故FM 模型需要三個向量來描述[22].

本文目標是構造如下形式的故障檢測濾波器/控制器:

2 問題描述與預備知識

增廣系統從故障fff(i,j)、干擾ddd(i,j) 到殘差?yyy(i,j) 和被控輸出zzz(i,j) 的傳遞函數分別由下式給出:

本文要討論的問題可歸納為:對于給定的二維FM 系統,設計故障檢測濾波器/控制器(2),使增廣系統(3) 漸近穩定,同時滿足如下控制指標和故障檢測指標:

這里,γ1,γ2,β1,β2是給定的正標量,k=1,2.

注2.有限頻H?指標(9) 和有限頻H∞指標(10)～(12)是相應全頻域指標的推廣,當=π時,有限頻性能指標退化為全頻性能指標.

注3.式(9) 和式(11) 為故障檢測性能指標,這兩個指標保證了發生在有限頻域的故障對殘差信號有足夠大的影響,同時外部干擾對殘差信號的影響較小;式(10) 和式(12)為控制性能指標,即抑制故障和干擾信號對被控輸出的影響,保證系統有一定的魯棒性.

本文需要用到如下引理:

引理1[23].對于給定的對稱矩陣Ψ 和矩陣Γ,Λ,存在矩陣X,滿足Ψ+ΓXΛT+ΛXTΓ<0,當且僅當以下等式成立:

3 主要結果

接下來考慮系統故障檢測的魯棒性條件.令f(i,j)=0,則增廣系統變為

下面定理給出增廣系統(3) 滿足性能指標(11) 的充分條件.

定理1～4 給出了故障檢測濾波器/控制器設計需滿足的有限頻域性能條件,由于廣義KYP 引理并不隱含系統的穩定性[28],因此這些條件并不能保證所設計的系統是穩定的.下面給出增廣系統(3) 漸近穩定的充分條件:

4 解決方案

4.1 算法

上述定理中得到的矩陣不等式為非凸的,為了解決該難題,采取兩步算法進行求解:

步驟1.設計狀態反饋控制器,使閉環系統(32) 滿足控制性能指標(10) 和(12),得到控制器參數?Cc.

設計如下形式的狀態反饋控制器:

給定實參數a,b,若上述優化問題可解,則控制器參數=Y X?1.

步驟2.在步驟1 的基礎上(已知),給定實參數a1,a2,b1,b2,求解如下的優化問題:

注5.與一維系統相比,二維系統的穩定性條件和性能條件復雜,其故障檢測濾波器/控制器的設計過程更加困難.求解有限頻H?指標時,一維系統可通過Finsler 定理等避免出現非凸問題,而二維系統由于其廣義KYP 引理的特殊形式,需要通過構造切平面方法來解決設計過程中出現的非凸問題.二維系統的狀態反饋控制器設計難度也更大,需利用廣義KYP 引理的對偶形式進行構造性證明.

4.2 殘差評價函數及閾值

受參考文獻[29]啟發,選擇如下殘差評價函數及閾值:

其中,Jr(i,j) 和Jth分別表示殘差函數及閾值.閾值Jth可借鑒文獻[30]中的算法求出.根據如下的邏輯關系檢測系統是否發生了故障:

注6.對于二維系統而言,殘差評價函數需要從水平和垂直兩個方向定義以反映二維特性.本文選擇水平方向i ?s到i,垂直方向j ?t到j的矩形區域內殘差的平均值作為評價函數.而對于一維系統,殘差評價函數只需要在一個方向上定義,其評估窗口通常為k0到k0+n的時間范圍.

5 仿真例子

考慮文獻[15]中給出的帶鋼軋制過程,如圖1 所示,

圖1 帶鋼軋制過程Fig.1 Strip rolling process

該軋制過程可用如下等式描述:

其中,p表示微分算子d/dt,yyyi(t) 是第i個實際壓輥間隙厚度,FFF m是由電動機產生的力,M是壓輥間隙調節機構的總質量,λ1表示調節機構彈簧,λ2表示帶鋼的硬度,λ=λ1λ2/(λ1+λ2) 是帶鋼和壓輥機構的復合剛度.通過向后差分并用T1表示采樣周期,則上式可以用離散時間形式表示:

令λ1=λ2=1 800,T1=0.8,M=100,假設上述系統中發生了卡死型傳感器故障.利用本文所提出的方法設計故障檢測濾波器/控制器,同時保證一定的故障檢測性能和控制性能.給定加權值a1=0.1,a2=0.4,b1=0.4,b2=0.1,由于故障發生在低頻段,取頻率約束其余參數取為α=1.6537.根據上節所提出的算法,可得如下故障檢測濾波器/控制器參數:

為了驗證該故障檢測濾波器/控制器的有效性,給出仿真結果(圖1～4).在仿真中,考慮卡死型故障

系統初始狀態設為xxxi(k,1)=0,(k,1)=0,xxxi(1,k)=0,(1,k)=0.采用參考文獻[30]中的算法,可得閾值Jth=0.8251.圖2 表示系統的故障,圖3 表示系統干擾,圖4 和圖5 分別給出了三維空間和二維空間的故障檢測效果.從圖5可以看出,當i=15,23,35 時,殘差評價函數的值位于閾值的下方,表明系統沒有發生故障;當i=44,40≤j ≤150 時,殘差評價函數的值位于閾值的上方,表明此時系統發生了故障,這與預設的故障一致,因此該設計可以有效地檢測出故障發生.

圖2 故障fff(i,j)Fig.2 Fault fff(i,j)

圖3 干擾ddd(i,j)Fig.3 Disturbance ddd(i,j)

圖4 三維空間中的殘差評價函數Jr(i,j) 和閾值JthFig.4 Residual evalution function Jr(i,j) and threshold Jth in three-dimensional space

接下來與傳統的分步設計方法[15]進行比較,仍采用上文中的軋制模型中的數據,先設計控制器,再設計故障檢測濾波器.在相同條件下進行仿真研究,仿真結果如圖6～8 所示.圖6 為故障到殘差傳遞函數的奇異值比較,可以看出集成設計方法的故障靈敏性更高(奇異值更大).圖7 和圖8 為兩種方法的控制性能(即擾動抑制性能) 的比較,可以看出當故障發生時,本文所提出的集成設計方法具有更好的擾動抑制能力.

圖5 二維空間中的殘差評價函數Jr(i,j) 和閾值JthFig.5 Residual evalution function Jr(i,j) and threshold Jth in two-dimensional space

圖6 故障到殘差傳遞函數G?yf(ω1,ω2) 的奇異值比較Fig.6 Singular value comparison of transfer functions G?yf(ω1,ω2) from fault to residual signal

6 結論

本文研究了FM 模型的同時故障檢測與控制問題.借助于二維廣義KYP 引理,直接處理系統需要滿足的有限頻性能指標,可避免頻率加權方法的復雜性.所設計的故障檢測濾波器/控制器,在檢測故障發生的同時,還可以滿足給定的控制性能指標.利用構造切平面方法以及兩步法來解決設計過程中出現的非凸問題.仿真例子驗證了方法的有效性.

圖7 集成設計方法的控制性能Fig.7 Control performance of integrated design methods

圖8 分步設計方法的控制性能Fig.8 Control performance of separate design methods