“同心協力”策略研究

徐嘉怡，聶思宇，王 璐

(天津師范大學 津沽學院，天津 300387)

“同心協力”(又名同心鼓)是一項團隊協作能力的拓展項目。要求在保證安全的情況下，盡可能創造更多的顛球記錄。該游戲需要隊員之間的密切配合，過程中每個人的用力方向、發力時機、力度等因素，均會影響游戲結果。要確定并討論鼓面傾斜度與每個人發力時間和力度大小的關系，保持鼓面水平，使球自動下落，自動彈起，完成比賽。為使得連續顛球的次數達到最多，主要研究以下兩個問題。

問題一：在理想狀態下，且每個人都可以精準控制用力方向，制定一個最佳的協作策略，并求出顛球的高度。

問題二：在現實情形下，鼓面會出現傾斜，出現傾斜角度這個量，需要建立模型描述隊員的發力時機和力度與某一特定時刻的鼓面傾斜角度的關系。已知隊員人數8人，繩長1.7 m,鼓面的初始時刻是水平靜止，初始位置較繩子水平下降11 m,設定不同的發力時機和力度，求偏差0.1 s的鼓面不同的傾斜角度。

1 問題分析

問題一的條件是在理想狀態下，忽略空氣阻力，由于球與鼓之間發生的碰撞為彈性碰撞，所以沒有能量的損失，同心鼓是一個質量均勻的鼓體，需要分別分析鼓、球的受力情況，球與鼓的碰撞時刻的受力分析，分別建立滿足各種狀態下的力學模型。分析球與鼓的運動狀態，建立坐標系。可以根據數據信息，利用牛頓第二定律、動能守恒、能量守恒、二階微分方程，求出該策略的顛球高度，制定團隊的最佳協作策略。

問題二相對于問題一復雜一點，因為在現實情況下涵蓋事件的不確定性，隊員的發力時機和力度都不能得到有效控制。從現實情況出發，在顛球過程中，鼓面由于受力不均會出現傾斜，需要建立較理想的模型，描述隊員的發力時機和力度與某一特定時刻的鼓面傾斜角度的關系。根據已知條件：鼓面的初始時刻是水平靜止，因為受力不均衡或者發力時機偏差0.1 s時,鼓面傾斜，我們利用動能定理、沖量、受力情況求解。

2 模型假設

A.同心鼓的人數有偶數個人，且不少于8人。B.忽略空氣阻力。C.每個人可以精確控制發力方向、力度與時機。D.球與鼓的碰撞為彈性碰撞。E.人圍著鼓均勻站立。

3 模型的建立與求解

同心鼓拓展項目問題需要討論每個人的發力時機及力度，使得游戲在團隊協作下能夠使連續顛球次數盡可能更多。根據題目所給信息和要求，建立以下數學模型和算法。

問題一：

假設人數為n，在理想狀態下，每個人繞著鼓均勻站立，每個人用力均為F，方向取向上為正，隊員將鼓從靜止的初始位置拉至水平，與球發生碰撞。鼓的重量為M，球的重量為m。

對鼓的運動過程進行分析：以繩水平的高度建立坐標系，可以得到鼓受力為Fx=Fcosθ1(水平方向所受力)Fy=Fsinθ1(豎直方向所受力)，設繩長為l，繩與水平方向的夾角θ1，則鼓的初始位置為(0,0,z0)，z0=-l·sinθ1，由分析得所有隊員水平拉力和為0，合力方向豎直向上。根據牛頓第二定律，z(t)滿足微分方程

mv1+Mv2=mv1′+Mv2′

解得：

若球從h落下，若想再一次彈到h高度，則v1′=-v1，v=v1，解得：

問題二：

同心鼓在受力過程中，由于每個人發力時機及發力大小的不同，會導致同心鼓轉動，這時鼓在做剛體轉動。

4 模型評價

問題一中為了方便計算，受力分析過程忽略空氣阻力，但由于排球的體積較大，空氣阻力影響也較大。

問題二中在計算鼓的傾斜角度時，將在鼓面所處同一直徑上的兩個人對的鼓抽象為一個木棍模型，實際中鼓是一個整體存在，不能將其分割進行單獨分析。且在受力分析中假設鼓的中心存在一個軸，進行上下旋轉產生傾斜角，實際中鼓的兩端由于受力都會同時向上進行運動。