擬合目標反應譜的高精度人工加速度時程生成算法及應用

高付海，高 岳

(中國原子能科學研究院 反應堆工程技術研究部，北京 102413)

時程法是進行核電廠系統和設備抗震分析的主要方法之一，設計規范規定可使用單組時程法和多組時程法，單組時程法對采用的時程輸入要求更加嚴格。通過反演擬合設備安裝標高處的樓層反應譜或系統與子系統交界處的交界面反應譜可獲得用于時程法分析的人工加速度時程(以下簡稱人工時程)。文獻[1-3]對人工時程提出明確的要求：1) 低于目標反應譜的控制點數不超過5個；2) 低于目標反應譜的控制點的最大相對偏差不超過10%；3) 單組時程法額外要求時程包絡目標功率譜(PSD)的80%，以保證人工時程在主頻控制點上的能量足夠分布。國內外學者針對擬合目標反應譜生成人工時程(或人工地震波)提出多種方法[4-9]，基本分為兩種：1) 頻域法[4-6]，此方法為傳統做法，它基于共振原理，通過調整頻域傅里葉系數反復反演迭代以逼近目標反應譜，其優點是算法適用性強，對于不同形式的目標反應譜均能較快生成滿足一定精度的時程，缺點是對高頻控制點的擬合精度不可控；2) 時域法[7-8]，其原理是根據計算譜與目標反應譜差值反演出增量時程，疊加到初始時程，反復迭代校正時程，直到滿足收斂要求，該方法的突出優點是能針對不符合頻率控制點的擬合精度實現精準控制。

本文采用一種改進的窄帶時程構造函數，綜合運用頻域法和時域法，提出一種新的人工時程擬合算法，擬合出滿足核安全法規要求的高精度人工時程，提高高頻區控制點的擬合精度。通過RG1.60標準反應譜和樓層反應譜的多次擬合測試證明本文提出算法的有效性和穩健性。

1 算法基本原理

1.1 頻域法

頻域法對目標反應譜的擬合和目標功率譜的包絡通過頻域傅里葉系數調整和強度非平穩包絡來實現。根據反應譜與功率譜密度轉換關系[4]，得到功率譜密度G(ω)為：

(1)

通過三角級數疊加，構造出平穩高斯過程X(t)為：

Δω=2π/T

S(ωk)=0.5G(ωk)

ωk=2πk/T

(2)

式中：φk為在區間(0,2)上隨機分布的相位角；T為周期。

利用強度包絡，生成非平穩初始時程a(t)為：

a(t)=f(t)X(t)

(3)

式中，f(t)為強度包絡線，采用的經驗公式為：

(4)

式中：t1為時程上升段時間；t2為時程下降段開始時刻；c為時程下降段衰減系數。

對a(t)進行傅里葉變換，根據目標反應譜和時程計算譜的比值，修正傅里葉系數C(ωk)為：

(5)

式中，Sa(ω)為人工時程的計算反應譜。

功率譜要求包絡目標功率譜的80%，若檢查到功率譜不滿足要求，通過式(6)調整控制點附近的諧波分量的傅里葉系數[6]：

(6)

式中：PSDT(ω)為目標功率譜；PSDa(ω)為人工時程的計算功率譜。

1.2 時域窄帶時程疊加法

文獻[7]基于數字信號處理中的sinc函數和窄帶載波原理，提出一種有效的窄帶時程構造方法。本文在此基礎上，根據計算經驗，增加sinc函數的階次，提出一種窄帶時程構造的新形式：

(7)

式中：ωc為時程在頻域的帶寬；ω0為主頻控制點頻率。該時程在t0時刻等于1，以t0時刻為中心沿時間軸向兩端衰減。與sinc函數的1次形式相比，本文采用的窄帶形式在鎖定主頻主波信號的同時，加速窄帶余波衰減，大幅減小疊加增量窄帶時程后對原時程的改變。

假設已知人工時程在控制點ωj處的計算反應譜Sa(ωj,ζ)、絕對加速度響應最大響應發生的時刻tmax及響應最大值aa,j(tmax,j)的正負號，基于提出的窄帶時程形式構造出增量窄帶時程Δaa(t)為：

Δaa(t)=ΔS(ωj,ζ)×

ΔS(ωj,ζ)=sgn(aa,j(tmax,j))×

ω0,j=ωj

(8)

式中：ΔSa(ωj,ζ)為控制點ωj處的計算譜與目標反應譜的差值；sgn表示符號函數。

通過在原始加速度響應aa(t)上疊加上Δaa(t)，可保證控制點ωj處的計算譜值精確滿足目標反應譜。文獻[7]推導出單自由度系統的絕對加速度響應與輸入地面運動的傳遞函數Ha(ω)為：

(9)

利用傅里葉變換，反演出與增量時程Δaa(t)相對應的地面運動增量時程Δag(t)為：

(10)

式中：F為傅里葉變換算子；F-1為傅里葉逆變換。

2 算法流程

首先使用頻域法調整，促使人工時程靠近目標反應譜，完成時程粗調。若時程不滿足精度要求，再應用窄帶時程疊加法繼續進行時程的細調，直到滿足收斂要求和擬合精度，基本流程如下。

6) 控制點ωj的計算反應譜滿足擬合精度要求后，開始下一控制點的擬合。所有控制點均擬合1輪后，檢查人工時程是否滿足收斂要求，若不滿足返回步驟5開始下一輪調整。

7) 反應譜滿足收斂要求后，檢查功率譜是否滿足80%的包絡要求，若不滿足，返回步驟1重新迭代。計算經驗表明，窄帶疊加法對功率譜的改變較小，經過頻域的多次調整后再應用窄帶疊加法調整，功率譜較易滿足包絡要求。

3 工程應用實例測試驗證

選用3個不同類型的目標反應譜測試驗證本文提出的人工時程擬合算法的有效性和穩健性。算例1是美國核管會發布的用于核電廠抗震設計的RG1.60標準反應譜[10]，它由大量天然地震波的統計分析確定，具備天然地震波的頻譜特征。算例2和3是核電廠抗震樓層反應譜，它由設備安裝標高處的計算反應譜拓寬獲得，頻譜特征受人為因素影響較大，擬合難度較RG1.60標準反應譜偏大。算例2和3分別是單峰譜和雙峰譜，隨譜峰數量增加，譜形復雜度增加，相應擬合難度增大。

3.1 RG1.60標準反應譜擬合測試

選用RG1.60標準反應譜的阻尼比ζ=0.05。人工時程上升段時間為5 s，平穩段時間為10 s，總持續時間為30 s，零周期加速度為1.0g，時程時間步長為0.01 s，生成的人工時程如圖1所示。

圖1 以RG1.60標準反應譜作為目標反應譜擬合得到的人工時程Fig.1 Matching artificial time history with RG1.60 standard response spectrum as targeted spectrum

以RG1.60標準反應譜為目標反應譜，圖2為擬合時程對應的計算反應譜與目標反應譜的對比，圖3為擬合時程對應的計算反應譜相對于目標反應譜(RG1.60)的相對偏差，可看出，只有兩個控制點低于目標反應譜，且相對偏差在0.5%以內，所有控制點的最大相對偏差均控制在2.5%以內。圖4為擬合時程對應的功率譜與目標功率譜的包絡對比，可看出，其符合包絡要求。同時測試本算例時發現：由于RG1.60標準反應譜由天然地震波統計分析而來，譜本身的譜頻協調性較好，僅使用頻域法也能獲得較高精度的時程，頻域傅里葉系數一般調整30次即達到收斂要求。

圖2 目標反應譜(RG1.60)與擬合時程對應的計算反應譜的比較Fig.2 Comparison between targeted response spectrum (RG1.60) and calculated response spectrum for matching time history

圖3 擬合時程對應的計算反應譜相對于目標反應譜(RG1.60)的相對偏差Fig.3 Relative deviation of calculated response spectrum for matching time history and targeted response spectrum (RG1.60)

3.2 單峰樓層反應譜測試驗證

圖5為擬合獲得的人工時程，其中時程的上升段時間為5 s，平穩段時間為15 s，總持續時間為40 s，峰值加速度為0.53g，步長為0.01 s。圖6為目標反應譜(算例2)與擬合時程對應的計算反應譜的比較，可看出，算例2的目標反應譜僅有1個峰值平臺，占據一定的頻率范圍，阻尼比ζ取0.04，目標反應譜與擬合時程對應的計算反應譜匹配性較好。擬合時程對應的計算反應譜相對于目標反應譜(算例2)的相對偏差如圖7所示，可看出，僅有1個控制點低于目標反應譜，相對偏差不超過1%，所有控制點的最大相對偏差不超過4%。同時高頻區控制點擬合一致性較好。本算例說明窄帶時程疊加法可實現控制點擬合精度的精準控制和改善，彌補傳統傅里葉系數調整法的不足。圖8為擬合時程對應的功率譜與目標功率譜對比，其符合包絡要求。

圖4 擬合時程對應的功率譜與目標功率譜(RG1.60)的比較Fig.4 Comparison between calculated PSD for matching time history and targeted PSD (RG1.60)

圖5 以算例2樓層譜作為目標反應譜擬合得到的人工時程Fig.5 Matching artificial time history with sample 2 floor spectrum as targeted spectrum

樓層反應譜是由廠房結構時程響應的計算反應譜拓寬獲得的，相較于RG1.60標準反應譜，受人為因素影響較大，譜頻協調性差。試算經驗表明：若只采用頻域法，迭代周次多，又不滿足收斂性要求，而使用窄帶時程疊加法對所有控制點迭代調整30輪后即可達到收斂條件，收斂性獲得顯著改善。

圖6 目標反應譜(算例2)與擬合時程對應的計算反應譜的比較Fig.6 Comparison between targeted response spectrum (sample 2) and calculated response spectrum for matching time history

圖7 擬合時程對應的計算反應譜相對于目標反應譜(算例2)的相對偏差Fig.7 Relative deviation of calculated response spectrum for matching time history and targeted response spectrum (sample 2)

3.3 雙峰樓層反應譜測試驗證

圖9為以算例3樓層反應譜作為目標反應譜擬合得到的人工時程，其中上升段時間為5 s，平穩段時間為15 s，總持續時間為40 s，時間步長為0.01 s。圖10為目標反應譜(算例3)與擬合時程對應的計算反應譜的比較，阻尼比ζ取0.04，算例3的目標反應譜有兩個峰值平臺，各占據一定的頻段范圍，擬合難度較單峰樓層反應譜大，目標反應譜(算例3)與擬合時程對應的計算反應譜匹配性較好。圖11為擬合時程對應的計算反應譜相對于目標反應譜(算例3)的相對偏差，可看出，有4個控制點低于目標反應譜，偏離程度不超1%，所有控制點的最大相對偏差不超2%，高頻段控制點擬合精度較高。圖12為擬合時程對應的功率譜與目標功率譜對比，其符合包絡性要求。

圖8 擬合時程對應的功率譜與目標功率譜(算例2)的比較Fig.8 Comparison between calculated PSD for matching time history and targeted PSD (sample 2)

圖9 以算例3樓層反應譜作為目標反應譜擬合得到的人工時程Fig.9 Matching artificial time history with sample 3 floor spectrum as targeted spectrum

4 結論

本文采用一種改進的窄帶時程構造函數，綜合運用頻域法和時域法，提出一種新的人工時程擬合方法，可擬合出滿足核安全法規要求的高精度人工時程，顯著提高了高頻區控制點的擬合精度。RG1.60標準反應譜和單峰、雙峰樓層反應譜的擬合測試結果表明本文提出的算法是有效和穩健的。本文提出的人工時程擬合算法可應用到核電工程抗震設計中。

圖10 目標反應譜(算例3)與擬合時程對應的計算反應譜的比較Fig.10 Comparison between targeted response spectrum (sample 3) and calculated response spectrum for matching time history

圖11 擬合時程對應的計算反應譜相對于目標反應譜(算例3)的相對偏差Fig.11 Relative deviation of calculated response spectrum for matching time history and targeted response spectrum (sample 3)

圖12 擬合時程對應的功率譜與目標功率譜(算例3)的比較Fig.12 Comparison between calculated PSD for matching time history and targeted PSD (sample 3)