艦艇隨船備件需求量的數學模型研究

敬 軍

（中國艦船研究設計中心，湖北 武漢，430064）

0 引言

在艦艇的保障工作中，備品備件供應是保障工作的主要內容之一，它不僅直接影響到故障裝備的及時修復，也是保障工作中經費投入最大的工作，有時達到壽命周期內所有使用與維修保障經費的一半左右。如果不能科學合理地確定備品備件的品種與數量，將對裝備的戰備完好產生非常大的影響。艦艇出海時，備件不足會影響任務的完成，而備件數量過多，不僅會增加部隊保養的工作量和經費的浪費，而且對于一些特殊的航行器，例如本身空間狹小的潛艇，會帶來嚴重的負面影響。因此，艦艇備件量的精確確定對提高艦艇裝備的戰備完好率，控制艦艇的使用和維修成本具有重要意義。

近年來，許多學者在備件保障度模型、備件最優庫層模型等諸多方面展開了較深入的研究[1-7]，并給出了一系列的預測備件需求量的數學模型。這些模型在計算時都需要大量的經驗數據進行支撐，適用于成熟的裝備。而對于新研的裝備，特別是跟已有裝備存在較大差別的，原有經驗數據不能適用，其初始備件數量的計算結果往往偏離實際需要。據統計，有些新裝備在部署部隊初期，為了解決保障資源配套建設問題，同步確定了備品備件的品種與數量。但經過一段時間的使用過程后發現，盡管配發了大量的新裝備器材，但使用的器材品種只占總品種的10%，而且還缺少10%的器材，在大量器材積壓的情況下，并沒有有效地解決好器材的保障問題。

本文在前人的工作基礎上，分析現有的備件數量計算模型，針對艦艇隨船備件需求，建立了基于經濟性和任務成功性的備件需求量數學模型，給出了實例計算方法，對于裝備備件數量的確定具有指導作用。

1 隨船備件需求量計算模型

1.1 典型備件模型

備件可用概率是指一旦需用該備件時能取得它的概率，也稱為備件滿足率。備件數量與可用概率之間的關系可按非工作儲備模型計算。非工作儲備系統，有時也稱為旁聯系統，即組成系統的n個單元只有1個單元工作，其余處于待命狀態。一旦工作單元發生故障，通過故障監測裝置及轉換裝置接到另一個旁待的單元，使系統繼續工作。非工作儲備模型的可靠性框圖如圖1所示。

圖1 非工作儲備模型的可靠性框圖Fig.1 Reliability block diagram of non-working reserve model

當所有單元相同，而且壽命服從指數分布，故障監測和轉換裝置的可靠度為 1時，系統任務成功的概率（系統可靠度）服從泊松過程。其數學模型為

式中：n為系統非工作儲備單元數；λ為每個單元的故障（失效）率；K為系統中相同工作單元數量（單機基數）。

如果把不工作的儲備單元看作是備件，在工作單元有故障時都能通過換件予以排除，這樣式（1）中的任務成功概率RS（t）就是備件可用概率P（S）。當系統中相同的單元有K個時，將式（1）中RS（t）表為備件可用概率P（S），并用累積泊松概率形式表達，則有：

為了便于計算，可將式（2）做成累計泊松概率曲線，如圖2，其縱坐標值可看成備件可用概率，橫坐標值為Kλt，而以n標明的一組曲線，就是備件需求量。

圖2 泊松概率曲線Fig.2 Poisson probability curve

式（2）稱為泊松備件模型，是最常用的備件模型。從式（2）可以看出，只有給出了備件可用概率，才能反推計算出備件需求量。對于研制階段的艦艇來講，由于缺乏實際使用的經驗數據，即使借鑒已有裝備的使用數據，也會因為裝備之間的差異帶來較大的問題，因此很難給出一個合理的備件可用概率，不能得到適當的備件需求量。

下文將從艦艇經濟性和任務成功性的角度分別出發，建立備件可用概率的計算模型，和式（2）聯合，即可確定備件需求量。

1.2 基于經濟性原則的備件需求量計算模型

從經濟性角度考慮，艦艇出海時要求保證在建立和保存備件上的花費是最小的。假定購買和保存一個備件的花費為c1，缺乏備件時的損失費用為c2，備件需求分布函數為F（n）。當儲備M個備件時，如果備件需求量n≤M，即備件供應是充分的，則成本為（M－n）c1；如果備件需求量n＞M，即備件供應不足，則損失費用為（n-M）c2。

對于M個備件，建立備件期望費用方程為

式中，假定備件需求分布函數F（n）滿足泊松分布，則F（n）和備件可用概率P（S）滿足下式關系

根據式（3）計算Q（S+1），有以下推導：

同理計算Q（S-1），可以得到：

當備件處于最佳數量S0時，總費用Q（S0）最小，有：

1.3 基于任務成功性的備件需求量計算模型

艦艇出海時，對于備件需求量的首要要求是能保證任務的成功性。因此對于一些不重要的、不涉及執行任務的設備可以按照經濟性原則來確定備件數量，但對于關重件設備或涉及任務的設備，必須從保證任務成功的角度來確定備件數量。

由于備件采購和配置是間斷進行的，在采購間隔期內，必須保證每次任務的成功，因此備件數量應該滿足間隔期內成功執行k1次任務的需要。一般來講，對于艦艇，備件采購間隔期可以按照1年確定，而執行任務次數k1如果不易確定，可以間隔期最大可能值代替。

而備件可用概率可以用任務可靠度Rm來替代。任務可靠度在研制階段，通過可靠性建模、預計和分配，就已經分解到設備層面了，其分配、預計方法詳見相關文獻[8]，本文不加以冗述。

假定要求某艦艇執行一項使命任務的成功度不低于Rm0，該任務在備件采購或配置間隔期內執行k1次，則備件數量n應滿足下式：

2 實例分析

已知某艦艇出海時間為30 d，執行某項任務時要求可靠度不低于0.80，該任務共有7個設備以串聯關系參與，其中A設備的平均故障間隔時間（MTBF）是150 h，任務工作時間為20 h，備件成本為500元，損失費用為10 000元，試計算船上A設備的備件數量。

3 結束語

1）對于新研裝備，由于缺乏大量使用數據，只能采用相似裝備的經驗數據，如果新研裝備中存在較多新研設備或部件，則傳統的備件需求量模型不再適用，應用本文的隨船備件需求量模型則可以相對準確、合理地確定備件數量。

2）一般來講，從經濟性原則出發確定的可用概率比任務成功性得到的要低，因此基于任務成功性的備件數量通常比經濟角度的備件數量多。因此對于空間比較狹小的新研裝備，及不涉及任務的設備可以從經濟性原則出發確定備件數量，在保證任務成功性的同時盡可能縮減備件數量。