基于新型冠狀疫情病毒核酸混合檢測的數學模型及其意義

陳本晶，陳敏娜

(廣東環境保護工程職業學院基礎部，廣東 佛山 528216)

0 引言

自2019年12月以來，由新型冠狀病毒感染引起的肺炎疫情，已蔓延至全球212個國家和地區。截至2021年7月12日15時07分，數據來自WHO和霍普金斯大學網站[1]，全球新冠肺炎累計確診187 443 664例，現有確診27 769 106例，累計死亡4 039 389例，累計治愈155 635 169例。中國大陸自2020年3月21日之后本土確診較少（http://www.nhc.gov.cn），數據來自國家及各地衛健委每日信息發布，主要為境外輸入。2020年在北京，東北，河北，云南局部區域也出現過幾十例、幾百例確診的影響公共安全的突發事件，這些地區的中高風險地區，多次實行全員核酸檢測，自從2019年末武漢疫情發生以來，“核酸檢測”這一醫學名詞頻頻出現在普通市民的日常生活里。核酸檢測的結果成為判斷確診病例，疑似病例的標準。由于待檢人數數量龐大，第三方檢測機構采用混合檢測模式。混合檢測指將多人的樣本混合入同一檢測管開展檢測，降低檢測時間和成本，增加核酸檢測便利性等。北京市疾病預防控制中心發布《北京市新型冠狀病毒核酸混合檢測采樣、樣本處理及結果判定技術指南》（第一版），對之前熱議已久的“混樣檢測”進行了規范[2]。

1 國內外混合檢驗情況介紹

2020年5月14日開始[3]，19天的時間，武漢累計共有1 090.9萬人完成核酸檢測，基本做到武漢常駐居民和暫住居民全覆蓋，其中有 1/4的采樣樣本采取了混合檢驗法。2020年6月11日[4]，北京市報告1例新冠肺炎確診病例，打破了56天無新增本地確診病例的狀態。6月11日～23日，北京累計報告確診病例256例。疫情發生后北京市立即對重點人群、重點行業和重點區域實施“應檢盡檢”，對廣大市民實行“愿檢盡檢”，幾天之內完成超過1 100萬人次的檢測量[4]。從武漢全員核酸檢測到北京大規模核酸檢測，短短一個月時間，檢測效率大幅提高。2020年7月15日[3]，烏魯木齊發現新冠肺炎確診病例1例，截至2020年7月24日，烏魯木齊累計采樣230萬份，2020年7月22日，大連發現新冠肺炎確診病例3例，截至7月28日，大連累計采樣352.6萬份。2020年10月11日，青島發現新冠肺炎確診病例3例，截至10月16日，青島累計采樣1 090萬份，平均一天200多萬份采樣。2021年1月30日，針對春節期間大量返鄉人員核酸檢測的需求[5]，按照衛生健康部門技術條件和標準，受檢人員可以自愿選擇混合檢測，5人混合檢測，每人每次30-40元不等；10人混合檢測每人每次在15-30元不等。相對于單人單管檢測每人次60-150元不等，混合檢測既減輕了受檢人員的經濟負擔，也提高了檢測機構的效率。2021年5月21日，廣州發現新冠肺炎確診病例1例。2021年6月4日以來[6]，廣州陸續啟動11個區的全市全員核酸檢測，并在6月4日-6日3天時間內累計核酸采樣1 869.67萬人次。在廣州新聞辦6月13日召開的廣州市疫情防控新聞發布會上，記者獲悉，5月21日至6月12日21時，全市累計核酸檢測3602.3萬例，發現陽性感染者43例，集中在重點區域、重點人群。隨著全員檢測的落實，病毒的傳播途徑和規律，感染者的范圍正愈加清晰起來。及時隔離，控制傳染源，切斷傳播途徑，我們見證了三天檢測一個中國一線城市的“廣州速度”[7]。此次廣州疫情全員核酸檢測新冠病毒全部采用混合檢測，開始是采用5人樣本混合檢測，后面數次都是10人樣本混合檢測，混合檢測對于廣州進行大規模人群多次快速篩查的重要意義除了提高效率和降低檢測成本外，還可以最快速鎖定感染者的范圍，及時隔離，減少病毒傳播途徑。

混合檢測法最早是在 1943年第二次世界大戰期間R.Dorfman為美國公共健康服務和篩選服務系統設計的方法[3]，在二戰期間，美國政府在征兵過程中，需要對報名參軍的年輕人體檢驗血，篩查攜帶淋病病毒的年輕人。什么情況下混合檢測法可以減少檢測的次數呢？1960年P.Ungar假設所需檢測的N個樣本有pN個是陽性的，其中0≤p<1，每組可以包含任意多的樣本（不再限于5個或者10個），而且每一個樣本可以重復使用，在這些假設下，他證明了當少于 38.2%的樣本是陽性的時候，混合檢測法平均需要的檢測次數比逐一檢測法需要的檢測次數少。1981年黃光明與合作者證明[3][8]：當時，若已知有2/5以上的樣本是壞的，則逐一檢測法就是最好的。1982年黃光明與堵丁柱證明：當時，若已知有8/21以上的樣本是壞的，則逐一檢測法就是最好的。1998年底他們證明：若已知有1/2.70951129以上的樣本是壞的，則逐一檢測法就是最好的。廣州的常住人口是 1 800萬，而疫情的確診人數是幾十例，密接者和次密接者，高風險區域、中風險區域和涉疫的低風險區域占廣州的總人口數量比例較低，非常適合用混合檢測。

2 模型假設與建立

模型假設[9]：（1）被檢測為陽性的概率p在較短時間內假設為常數，不是變量。（2）檢測的樣本混合后不會產生化學反應，即性質不發生改變。（3）混合樣本檢查法的靈敏度較高，如果混合樣本中有一份樣本是陽性，則混合樣本必須是陽性。如果混合樣本結果是陰性，則混合樣本中每個樣本都是陰性。（4）若有N個人的檢測樣本分別化驗，要化驗N次。若把N個人檢測樣本分成若干組，每組K個人的檢驗樣本混在一起。對混合樣本進行檢測，若是陰性的樣本，說明每個人都健康。如果結果為陽性，則需要進行逐個化驗，亦即對這K個人共進行K+1次化檢，再篩查出患病的和不患病的。那么已知有N個人的樣本要化驗，K取多少時效率最高？就要建立數學期望模型。

若用隨機變量X表示每組中每個人需要的檢測次數，則X是離散型隨機變量[10-11]，假設每個樣本可能被檢測為陽性的概率為p，檢測為陰性的概率是q=1–p。

易得X的分布律為：

X 1 k 1 1 k+P k k q 1 k q-

這樣，隨機變量X的數學期望E(X)表示每組中每個人的平均檢測次數，且

為了有效降低檢測工作量，對給定的q，只要選取每組人數k，使得

即可，而且E(X)的取值越小越好。

同時，對不同的p值，用軟件計算得最優k值及對應的數學期望值，見表1。

表1 不同p值對應的最優k值Tab.1 the optimal k values corresponding to different p values

從表1的結果可以看出，若p較大，每組的樣本數k應選小。若p較小，每組的樣本數k應選大。如p=0.3，每組樣本數應為k=3，此時每個人需要的平均檢測次數為 0.99，非常接近于 1。這說明混合樣本檢測與獨立檢測的效率，成本相當，即便進行混合樣本檢測也不會減少檢測工作量，節省成本。如p=0.01，每組樣本數k=11，此時每個人需要的平均檢測次數為 0.196。也就是說：如果每組11人（左右），大約可減少80%的檢測工作量，這時混合樣本檢測可以大大減少檢測工作量，這就是混合檢測的巨大優勢。如p=0.001，每組樣本數k=32，此時每個人需要的平均檢測次數為0.0628，大約可減少94%的檢測工作量。中國新冠疫情確診人數遠遠低于0.001，密接者和次密接者，高風險區域、中風險區域和涉疫的低風險區域占全國的總人口數量比例較低，我國采用較多的是混合檢測每組10人，準確性有保證，效率大幅提高，混合檢測意義非凡。對于疫情常態化下防控工作，核酸混合檢測對于降低檢測成本也具有重要意義。

混合檢測模型理論和實踐分析表明，當大量的待檢測樣本中含陽性樣本較少時，如果混合檢測在敏感性方面與獨立檢測相當，特異性不受影響[12]，混合檢測法比逐一檢測法的檢測效率要高很多，如高考考生體檢驗血、新兵入伍復查體檢驗血等，尤其適用于群體陽性率低且檢測樣本量大的疾病。混合檢測法還可以做基因序列的檢測。混合檢測模型除了本文介紹的概率模型，組合模型外，還有序貫模型，競爭模型，容錯模型等[3]。數學在生活中無處不在，人工智能，大數據時代，數學知識，數學模型，數學算法起重要決定作用。

3 結論

中國將混合檢測方法發揚光大，疫情之下，每一次“清零”背后都離不開黨中央的高度重視，各級政府部門的有序組織和廣大醫務工作者們的辛勤付出。下一步防控工作除了繼續保持高度的防護意識，還離不開疫苗接種，截至2021年7月12日，全球累計接種34.2億劑，全球每百人接種43.83劑。中國累計接種 13.8億劑，中國每百人接種96.05劑[1]。全球疫情仍在蔓延，國內新冠肺炎疫情防控形勢依然嚴峻，境外輸入壓力依然巨大，鞏固來之不易的防控成果，希望早日迎來這場戰“疫”的最終勝利。