數字電路設計中的化簡方法

李音 薛娓娓

（延安大學西安創新學院 陜西省西安市 710100）

1 數字邏輯電路中學習化簡的必要性

在數字電子技術這門課程中，在開始的邏輯代數基礎章節中，學習完數制、碼制、邏輯代數的基本運算之后就要進行公式法化簡與卡諾圖化簡的內容了，作為基礎內容存在于第一章節，雖然是基礎內容，但是卻是數字電路設計里面的一個主要部分，它奠定了邏輯電路設計思路的基礎。在這部分內容的講述中，主要要跟學生說清楚、講明白為什么要進行化簡，目標是什么樣的。化簡是為了得到最簡式，要根據最簡式設計電路，這樣設計出來的電路才是最簡單的。

2 公式法化簡

2.1 公式定理兩種處理方案

在利用公式法化簡之前，首先要對所有的基本公式、常用公式、基本定理進行學習，學習這部分內容時要進行分類學習，在邏輯代數中，有些公式是與普通代數是一樣的，很容易理解，例如：0?A=0，0+A=A，AB=BA，A+B=B+A，因為這些完全符合普通代數的乘法和加法。但是也有一些是很容易弄錯的，例如，A?A=A , A+A=A，1+A=A，這些就和普通代數有著很大的區別，所以要提醒學生，在這個部分的學習過程中，必須注意與普通代數之間的區別，要提醒學生，邏輯代數只有：”0”和”1”，這樣比較好理解，提醒學生邏輯與和邏輯或的特點，0 與任何值等于0，1 或任何值等于1。另外有些定理比較好推導，和普通代數一樣例如A+AB=A，這種不需要記憶，現場推導出來就可以使用。但也有一些不易于推導，例如還有多余項定理這種，就需要學生熟練，最好直接記下來，直接使用。

2.2 公式法化簡的思路

公式法化簡的思路是最終得到的化簡式中項越少越好，每個項里面變量越少越好。這里只針對與或式。

上面這道例題屬于公式法化簡的一種典型例題，這種使用公式法化簡最好，這個做法現在最后兩項中，提取出，剩下1+A，1 或任何值等于1，所以接著最后在表達式里面找A 與，有A 的項直接可以消去，有的項直接消去就可以。

2.3 需要注意的問題

（1）在利用公式法進行化簡時，邏輯代數中只有邏輯與和邏輯或，沒有除法也沒有減法，例如AB=AC,即B=C。還有A+B=A+C,即B=C，這兩個式子都是錯誤命題，前一個用了除法，兩邊同時除以A，才可以得到B=C，第二個用了減法，兩邊同時減去A，得到B=C，可以給學生舉例像第一個式子中A=0，B=0,C=1所以AB=AC 成立，但是B 不等于C，第二個式子中A=1，B=0，C=1 所以A+B=A+C 成立，但是B 不等于C。

（2）公式法化簡存在的問題就是有時候沒有辦法很快的確定，我們得到的式子是不是最簡式，那么公式法化簡就可以彌補這樣的缺陷。

3 卡諾圖化簡

3.1 卡諾圖化簡的根本依據

這種利用卡諾圖化簡的依據就是相鄰的最小項可以合并，并消去不同的變量，那么我們就需要卡諾圖中所有對應的最小項是邏輯相鄰的。圖1分別為二變量、三變量、四變量所對應的最小項的卡諾圖。

圖1：二變量、三變量、四變量所對應的最小項的卡諾圖

3.2 卡諾圖化簡的步驟

（1）如果已知表達式，要求利用卡諾圖化簡，首先把表達式寫成最小項和的式子，注意變量都有哪些，按照缺什么補什么的辦法，使每一項都成為最小項。

上式中共有三項，可以觀察出變量為A、B、C、D 四個變量，第一項已經是最小項，最小項就是要求每個變量都有，而且都是以變量或者反變量的形式出現并且與起來。第二項只有A、B、D 三個變量，缺C，給第二項與上，這樣就得到了兩項，均為最小項。第三項只有A、C、D 三個變量，缺B，給第二項與上，這樣就得到了兩項，均為最小項。最后根據每個最小項判斷都是哪個最小項，m 的角碼是多少，原變量為“1”，反變量為“0”，對應0101 轉換成十進制為5，即是m5，對應1010 轉換成十進制為10，即是m10，對應，1000 轉換成十進制為8，即是m8，對應，1111 轉換成十進制為15，即是m15，對應1011 轉換成十進制為11，即是m11，這樣就得到上面的最終表達式。

（2）“填1”，按照卡諾圖中最小項的位置，對應位置填1，得到卡諾圖2。

圖2：例題1 的卡諾圖

“圈圈”，規則：2n（1,2,4,8...）個1 圈起來，1 均是是邏輯相鄰的關系，注意以橫豎中線對折，重合的部分均是邏輯相鄰；圈起來的圈為正方形或長方形，注意邊邊角角的相鄰關系；每個1 都可以被重復圈；每個圈里面至少有一個1 沒有被其他圈圈過；注意：圈數越少越好，則對應的項越少，圈越大越好，每項對應的變量數越少。

（3）寫表達式。

每個圈對應一個項，最后把所有的項或起來就得到表達式了，方法是留下相同的變量，去掉不同的變量。

3.3 舉例分析

例1：

圖3中總共圈了兩個圈，其中四個1 被重復圈了，左側四個1 與右側四個1 是一個圈，注意這個是一個圈，以豎中線折疊具有相鄰性，所以是一個圈，對應項為，因為A、B、C、D 值中只有相同值D=0，其他A、B、C 值都不同，0 對應反變量，所以為。對應的下面8 個1 是一個圈，A、B、C、D 值中只有相同值A=1，其他B、C、D 值都不同，1 對應原變量，所以為A。故得到

圖3：例題2 的卡諾圖

例2：如圖4，對卡諾圖進行圈1，并寫出最簡式。

圖4：例題3 的卡諾圖

圖4（a）中有6 個1，四個1 不能圈，圈出來不是正方形，也不是長方形，只能兩個1 圈，總共3 個圈，對應的表達式為另外我們應該注意到這個卡諾圖還有另一種圈法，但是還是3 個圈，每個圈有兩個1，所以就結果來看都是對的，而且電路簡易程度是一樣的。

圖4（b）中有8 個1，只能兩個1 圈，總共4 個圈，對應的表達式為另外和圖（a）一樣，這個卡諾圖也還有另一種圈法，但是還是4 個圈，每個圈有兩個1。由此可見，有時候我們在進行化簡時結果可能不一樣，但是都是正確的。

圖4（c）中有8 個1，總共3 個圈，四個1 圈，對應的表達式為但是明顯這個結果是不對的，可以八個1 圈，通過表達式我們也可以發現有C 也有，相加是等于1 的，那么像這種，所有最小項都存在，加起來是等于1 的。

圖4（d）中有12 個1，公用四個1，八個1 圈，總共2 個圈，對應的表達式為

3.4 注意的幾點問題

從以上可以看出來，卡諾圖圈法不是唯一的，最簡式不是唯一的；另外在填1 時，也可以根據表達式直接填1，例如表達式中有A，所有A=1 的格子都填1，像，所有A=1 且B=0 的格子都填1；最后圈1 時要注意邊邊角角的相鄰的1。

4 總結

以上為公式法化簡和卡諾圖化簡需要注意的一些問題，公式法化簡適用于變量比較多時使用，由其是多余項定理的使用，但是缺點是無法確定是不是最簡式，卡諾圖優點是可以根據圈圈確定是最簡式，但是存在當變量太多，卡諾圖太復雜不易于圈圈的問題。