數(shù)學思想方法大盤點

數(shù)學思想方法是數(shù)學基礎(chǔ)知識的重要組成部分，教材中沒有專門的章節(jié)介紹它，而是伴隨著基礎(chǔ)知識的學習展開．我們在學習中一定要重視對常用數(shù)學思想方法的總結(jié)與提煉，它們是數(shù)學知識的精髓，是解題的指導思想，使人受益終身．現(xiàn)將七年級上冊數(shù)學課本中的數(shù)學思想方法歸納如下，供同學們復習參考．

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)(量)與(圖)形結(jié)合起來分析、研究、解決問題的一種思想方法，是數(shù)學中最常用的方法．

例1 設(shè)a＜b＜c，那么y=|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值是___________．

解：根據(jù)絕對值的意義及題設(shè)，在數(shù)軸上作出數(shù)a、b、c對應(yīng)的點A、B、C，如圖1．數(shù)x對應(yīng)的點與A、B、C三點的距離之和不可能小于AC的長．僅當數(shù)x對應(yīng)的點與點B重合時，y取得最小值|AC|，而|AC|=|c-a|=c-a，即y_最小值=c-a．

二、分類討論思想

某些數(shù)學問題，涉及到的概念、法則、性質(zhì)、公式是分類給出的，或在解答過程中，條件或結(jié)論不惟一時，會產(chǎn)生幾種可能性，就需要分類討論，從而得出各種情形下的結(jié)論，這種處理問題的思想方法就是分類討論思想．

例2 比較3a與-3a的大小．

分析：由于題中沒有給出a的取值范圍，故需分三種情況來進行討論．

解：由于3a-(-3a)=3a+3a=6a，所以，

(1)當a＞0時，6a＞0，此時3a＞-3a；

(2)當a=0時，6a=0，此時3a=-3a；

(3)當a＜0時，6a＜0，此時3a＜-3a．

分類必須遵循以下兩條原則：(1)每一次分類要按照同一標準進行；(2)分類要做到不重復、不遺漏．例如，把有理數(shù)分為正數(shù)和負數(shù)兩類就錯了，錯誤原因是漏掉了零．

三、整體思想

所謂整體思想，就是在解決某些數(shù)學問題時，不是“一葉障目”，而是有意識地放大考慮問題的“視角”，從大處著眼，由整體入手，通過細心的觀察和深入的分析，找出整體與局部的有機聯(lián)系，從而在宏觀上尋求解決問題的途徑．

例3 解方程：3(x+1)－1/3(x-1)=2(x-1)-1/2(x+1)．

分析：題目中有兩個(x+1)和(x-1)，可把它們都看作整體，先移項合并，這樣可化難為易．

解：移項得：

3(x+1)+1/2(x+1)=2(x-1)+1/3(x-1)．

合并得：1/2(x+1)=1/3(x-1)，即3(x+1)=2(x-1)，解得x=-5．

四、方程思想

方程思想是指在解決數(shù)學問題時，從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，分析已知量與未知量之間的制約和聯(lián)系，通過布列方程和解方程將未知量轉(zhuǎn)化為已知量，最終使問題獲得解決的一種數(shù)學思想．

例4 (2006年江蘇省泰州市中考試題)揚子江藥業(yè)集團生產(chǎn)的某種藥品包裝盒的側(cè)面展開圖如圖2所示．如果長方體盒子的長比寬多4cm，求這種藥品包裝盒的體積．

分析：這是一個求長方體的體積問題，要解決它必須求出長方體的長、寬、高．由于題目中已給出三者之間的關(guān)系，因此可以通過設(shè)未知數(shù)列方程來求解．

解：設(shè)這種藥品包裝盒的寬為xcm，則高為1/2(14-2x)cm，由題知長為(x+4)cm，從而由圖2可得方程：

(x+4)+2x1/2(14-2x)=13，解得x=5．

因此這種藥品包裝盒的體積V=(x+4)·x·1/2(14-2x)=9×5×2=90(cm³)．(答略)．

五、用字母表示數(shù)的思想

用字母表示數(shù)的思想，也就是代數(shù)思想．用字母表示數(shù)，用含有字母的式子表示現(xiàn)實生活中的數(shù)量關(guān)系，使我們從算術(shù)跨進了代數(shù)的大門．

例5 撲克牌游戲(2005年泰州市中考試題)

小明背對小亮，讓小亮按下列四個步驟操作：第一步，分發(fā)左、中、右三堆牌，每堆牌不少于兩張，且各堆牌現(xiàn)有的張數(shù)相同；第二步，從左邊一堆拿出兩張，放人中間一堆；第三步，從右邊一堆拿出一張，放人中間一堆；第四步，左邊一堆有幾張牌，就從中間一堆拿幾張牌放入左邊一堆．這時，小明準確說出了中間一堆牌現(xiàn)有的張數(shù)，你認為中間一堆牌現(xiàn)有的張數(shù)是___________．

分析：本題初看上去過程比較復雜．若用字母表示出第一步后每堆牌的張數(shù)，列代數(shù)式并化簡，很快能得到結(jié)果．設(shè)第一步后每堆牌的張數(shù)為x，則第四步后中間一堆牌的張數(shù)是x+2+1-(x-2)=5．

六、主元思想

在解字母系數(shù)方程時，我們將未知數(shù)以外的字母當成常數(shù)處理，這就是主元思想．

例6 已知3a+b+2c=3，a+3b+2c=1，則2a+c的值為__________．

分析：所求式中不含字母b，不妨消去b，再視a(或c)為主元，求出a(或c)，代入即可求值．

解：由3a+b+2c=3有b=3-3a-2c，代入a+3b+2c=1中有：a+3(3-3a-2c)+2c=1，即c=-2a+2．因此，2a+c=2a+(-2a+2)=2．

七、特殊與一般的辯證思想

“從特殊到一般”就是從特殊、個別的事例中推測一般規(guī)律的過程，是一個歸納、創(chuàng)新的過程．“從一般到特殊”是解決數(shù)學問題的一種思想方法，特殊情形有時掩蓋了問題的實質(zhì)，從一般情形入手，容易發(fā)現(xiàn)解題思路．用字母表示數(shù)，歸納猜想規(guī)律等都是運用了從特殊到一般的思想，而求代數(shù)式的值則是典型的從一般到特殊思想的應(yīng)用．前面的例5是從特殊到一般的例子，下面舉一個從一般到特殊的例子．

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