透視折疊的紙帶

文周淑芳

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市西漳中學(xué)）

在“平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）”這一章中，有些同學(xué)怕做折疊類(lèi)題，生怕出錯(cuò)。周老師現(xiàn)挑出折疊問(wèn)題中的一個(gè)典型案例與同學(xué)們分享，以期幫助大家理清思路，正視錯(cuò)誤，引以為戒。

例題如圖1，一條兩邊平行的紙帶折疊后仍在同一平面內(nèi)，已知α=76°，則∠1=（ ）。

圖1

A.28° B.30° C.38° D.45°

【錯(cuò)誤】錯(cuò)誤1：猜測(cè)∠1 與α 互余，沒(méi)有選項(xiàng)可選，隨便選擇一個(gè)選項(xiàng)。錯(cuò)誤2：度量∠1 的度數(shù)，憑經(jīng)驗(yàn)取整得選項(xiàng)B。

【錯(cuò)因】找不到角與角之間的關(guān)系；想把折疊前的紙帶重新畫(huà)出來(lái)，但畫(huà)圖不準(zhǔn)確，難以入手。

【解析】題目的情境是一張折疊的紙帶，“互相平行”這個(gè)條件不容忽視。本題的關(guān)鍵詞有兩個(gè)：折疊與平行。折疊，前后圖形一樣；平行，三類(lèi)角關(guān)系確定。

如何把折疊的紙帶還原圖畫(huà)出來(lái)呢？動(dòng)手折疊，打開(kāi)直觀感知，然后抓住原來(lái)兩邊互相平行，不難畫(huà)出圖2。

圖2

折疊，得到∠GCD=∠ECD=∠2+∠α，由平角的定義得到∠ACD+∠GCD=180°，即∠2+2∠α=180，解得∠2=28°，根據(jù)紙帶平行得CE∥DF，由其性質(zhì)得∠1=∠2，最后求得∠1 的度數(shù)為28°。當(dāng)然，也可以由平行得到∠CDH=∠α，折疊得到∠CDH=∠CDF，進(jìn)而求得∠FDB，由平行得∠1=∠FDB。

【總結(jié)】折疊的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為角平分線(xiàn)的問(wèn)題，折痕所在直線(xiàn)即為角平分線(xiàn)，再綜合運(yùn)用平角的定義與平行線(xiàn)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題。

【練習(xí)】圖3 是長(zhǎng)方形紙帶，∠DEF=15°，將紙帶沿EF折疊成圖4，則∠AEG=______度，再沿BF折疊成圖5，則圖中的∠CFE=______度。

圖3

圖4

圖5

【解析】先將圖4還原成折疊前的紙帶，折痕EF就是角平分線(xiàn)。

圖3

圖4（還原）

則∠1=∠2=15°，因此∠AEG=180°-2×15°=150°。

再將圖5還原。

圖3

圖4（還原）

圖5（還原）

第二次折疊后不難發(fā)現(xiàn)折痕GF也是角平分線(xiàn)，

∴∠FGD′=∠FGD，

∴∠GFC′=∠GFC。

由于紙條是長(zhǎng)方形，

∴AH∥BF，F(xiàn)C′∥ED′，

∴∠EFG=∠FEH=15°，

且∠EFC′=180°-∠FEG=165°，

∴∠GFC=∠GFC′=165°-15°=150°，

∴∠CFE=∠GFC-∠GFE=150°-15°=135°。

【總結(jié)】折疊紙帶問(wèn)題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行線(xiàn)的性質(zhì)，難點(diǎn)是轉(zhuǎn)化為角平分線(xiàn)問(wèn)題，關(guān)鍵是畫(huà)出還原圖。具體思路是：畫(huà)出還原圖，折痕即角平分線(xiàn)；結(jié)合平行性質(zhì)，找到角之間的數(shù)量關(guān)系。思路如下：